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% Project Gutenberg's Leçons de Géométrie Supérieure, by Ernest Vessiot   %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
%                                                                         %
%                                                                         %
% Title: Leçons de Géométrie Supérieure                                   %
%        Professées en 1905-1906                                          %
%                                                                         %
% Author: Ernest Vessiot                                                  %
%                                                                         %
% Editor: Anzemberger                                                     %
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% Release Date: January 24, 2011 [EBook #35052]                           %
% Most recently updated: June 11, 2021                         %
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% Language: French                                                        %
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% Character set encoding: UTF-8                                           %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LEÇONS DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE ***
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\def\ebook{35052}
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%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% book:     Required.                                              %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
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%% calc:     Infix arithmetic. Required.                            %%
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%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%% mathrsfs: AMS script fonts. Required.                            %%
%%                                                                  %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%% array:    Enhanced tabular features. Required.                   %%
%%                                                                  %%
%% indentfirst: Required.                                           %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required.   %%
%% wrapfig:  Illustrations surrounded by text. Required.            %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   Minor spelling and punctuation corrections are marked with     %%
%%   \DPtypo{original}{corrected}. Errata listed in the original    %%
%%   typed manuscript are applied with \Err{}{}. Punctuation added  %%
%%   for uniformity is marked with \Add{}. Spelling modernizations  %%
%%   are marked with \DPchg{}{}. Other changes are [** TN: noted]   %%
%%   in this file.                                                  %%
%%                                                                  %%
%%   The original typed manuscript contained an unusually large     %%
%%   number of abbreviations, errors, and inconsistencies. To the   %%
%%   extent feasible, these have been regularized. Particularly,    %%
%%                                                                  %%
%%   1. In Chapter 3, there were two sections "3". Section numbers  %%
%%      3--7 were incremented to 4--8.                              %%
%%                                                                  %%
%%   2. The original used numerals for both cardinals and ordinals. %%
%%      The \Card{} and \Ord{}{} macros convert these to words.     %%
%%                                                                  %%
%%   3. Exercises were moved to the end of the respective chapters. %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 244                                                   %%
%% PDF page size: A4 (210 × 297 mm)                                 %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%% 50 PDF diagrams.                                                 %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * Six harmless overfull hboxes.                                  %%
%% * One underfull vbox, sixteen underfull hboxes.                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% January, 2011: adhere (Andrew D. Hwang)                          %%
%%              texlive2007, GNU/Linux                              %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x3                                                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% January 2011: pglatex.                                           %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 35052-t.tex ..... THREE times                         %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\listfiles
\documentclass[12pt,leqno,a4paper]{book}[2005/09/16]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding
\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]

\usepackage[french]{babel}    % the language

\usepackage{calc}[2005/08/06]

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols
\usepackage{mathrsfs}[1996/01/01]%% AMS script fonts

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

\usepackage{array}[2005/08/23]   %% extended array/tabular features

\usepackage{indentfirst}[1995/11/23]

\usepackage{graphicx}[1999/02/16]%% For a diagram,
\usepackage{wrapfig}[2003/01/31] %% wrapping text around it,

% for running heads; no package date available
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[body={5.6in,9.5in},hmarginratio=2:3]{geometry}[2002/07/08]

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperfootnotes=false,
  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Laura Wisewell,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               University of Glasgow Department of Mathematics},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
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  pdfdisplaydoctitle,
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  bookmarksopenlevel=1,
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  linkcolor=black]{hyperref}[2007/02/07]

% Set title, author here to avoid numerous hyperref warnings from accents
\hypersetup{pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook:%
    L'\texorpdfstring{Leçons de Géométrie Supérieure}{Lecons de Geometrie Superieure}},
  pdfauthor={Ernest Vessiot}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}

% Basic fancyhdr setup
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\setlength{\headheight}{15pt}

\newcommand{\SetPageNumbers}{\fancyhead[RO,LE]{\thepage}}

\newcommand{\SetHead}[1]{%
  \fancyhead[CE]{GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE}
  \fancyhead[CO]{#1}%
}

\AtBeginDocument{%
  \renewcommand{\contentsname}{%
    {\protect\begin{center}%
        \protect\large TABLE DES MATIÈRES%
     \protect\end{center}
 \protect\vspace*{-2\baselineskip}}
  }
}

\newcommand{\Heading}{\centering}
\newcommand{\RunInHeadFont}[1]{\textit{#1}}

\setlength{\marginparsep}{24pt}
\setlength{\marginparwidth}{1.125in}

%[** TN: Using centered headings instead of marginal notes.]
\iffalse
\newcommand{\MarginNote}[1]{%
  \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{\mbox{}
    \marginpar{\footnotesize\raggedright#1}}{}%
}
\fi
\newcommand{\MarginNote}[1]{\subsubsection*{\Heading\normalsize #1}}

\newcommand{\Preface}{%
  \cleardoublepage
  \thispagestyle{empty}
  \SetPageNumbers
  \SetHead{PREFACE}
  \section*{\large\Heading\MakeUppercase{Preface.}}
}

\newcommand{\ExSection}[1]{%
  \SetHead{EXERCICES}
  \section*{\large\Heading\MakeUppercase{Exercices.}}
  \pdfbookmark[1]{Exercices.}{Exercices.#1}
}

\newcommand{\Chapitre}[2]{%
  \cleardoublepage
  \thispagestyle{empty}
  \SetPageNumbers
  \phantomsection
  \section*{\LARGE\Heading\MakeUppercase{Chapitre #1}.}
  \subsection*{\normalsize\Heading\MakeUppercase{#2}}
  \ifthenelse{\equal{#1}{Premier}}{%
    \addcontentsline{toc}{chapter}{Chapitre~I. #2}%
    \SetHead{CHAPITRE~I.}%
  }{%
    \addcontentsline{toc}{chapter}{Chapitre~#1. #2}
    \SetHead{CHAPITRE~#1.}%
  }
}

\newcommand{\SubChap}[1]{%
  \phantomsection
  \subsection*{\normalsize\Heading\MakeUppercase{#1}}
  \addtocontents{toc}{%
    \protect\subsection*{\protect\centering\protect\normalsize\protect#1}%
  }
}

%\Section[ToC entry]{Centered Heading.}{Number.}{Run-in heading}
\newcommand{\Section}[4][]{%
  \medskip\par%
  \MarginNote{#2}%
  \phantomsection%
  % If there's a section number, add a ToC entry
  \ifthenelse{\not\equal{#3}{}}{%
    \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{%
      \addcontentsline{toc}{section}{#3 #1}%
    }{%
      \addcontentsline{toc}{section}{#3 #2}%
    }%
  }{}%
  % Use #3 and/or #4 as run-in heading
  \ifthenelse{\not\equal{#4}{}}{%
    \ifthenelse{\not\equal{#3}{}}{%
      #3 \RunInHeadFont{#4}%
    }{%
      \RunInHeadFont{#4}%
    }%
  }{%
    #3%
  }%
  \quad\ignorespaces
}

\newcommand{\Paragraph}[1]{%
  \medskip\par \RunInHeadFont{#1}\quad\ignorespaces
}

\newcommand{\ParItem}[2][]{%
  \medskip\par%
  \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{\MarginNote{#1}}{}#2 \ignorespaces
}

% Illustrations
\newcommand{\Input}[2][2in]{%
  \includegraphics[width=#1]{./images/#2.pdf}
}

\newcommand{\Illustration}[2][2in]{%
  \begin{wrapfigure}{O}{#1+0.125in}
    \Input[#1]{#2}
  \end{wrapfigure}%
  \ignorespaces
}
\newcommand{\Figure}[2][2in]{%
  \begin{figure}[hbt]
    \centering\Input[#1]{#2}
  \end{figure}%
  \ignorespaces
}

\newcommand{\Figures}[3][2in]{%
  \begin{figure}[hbt]
    \centering\Input[#1]{#2}\hfil\Input[#1]{#3}
  \end{figure}%
  \ignorespaces
}


\newenvironment{Exercises}{%
  \begin{list}{}{%
      \setlength{\leftmargin}{\parindent}%
      \setlength{\labelwidth}{\parindent}%
      \setlength{\listparindent}{\parindent}%
      \small%
    }%
  }{%
  \end{list}%
  \tb
  \normalsize%
}


% Change from the book's list of errata
\newcommand{\Err}[2]{#2}

% Changes and notes made for stylistic or notational consistency
\newcommand{\DPtypo}[2]{#2} % presumed error
\newcommand{\DPchg}[2]{#2}  % modernization of spelling
\newcommand{\DPnote}[1]{}
\newcommand{\Add}[1]{\DPtypo{}{#1}}
\newcommand{\Del}[1]{} % For unwanted multiplication mid-dots

\newcommand{\tb}{%
  \nopagebreak\begin{center}\rule{1in}{0.5pt}\end{center}\pagebreak[1]
}

\newlength{\TmpLen}
\newcommand{\PadTo}[3][c]{%
  \settowidth{\TmpLen}{$#2$}%
  \makebox[\TmpLen][#1]{$#3$}%
}

\newcommand{\PadTxt}[3][c]{%
  \settowidth{\TmpLen}{#2}%
  \makebox[\TmpLen][#1]{#3}%
}

\newcommand{\Tag}[1]{\tag*{\ensuremath{#1}}}
\newcommand{\Eq}[1]{\ensuremath{#1}}

\DeclareMathOperator{\arc}{arc}
%[** Original uses Cos and cos indiscriminately. Macros match original]
\DeclareMathOperator{\Cos}{cos}

\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
\DeclareMathOperator{\cotg}{cotg}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

%[** TN: Matrix fraction]
\newcommand{\mfrac}[2]{\dfrac{#1}{#2}\rule[-12pt]{0pt}{30pt}}

%[** Tall \strut for two-row matrices]
\newcommand{\MStrut}[1][0.5in]{\rule{0pt}{#1}}

\newcommand{\Area}{\mathcal{A}}

\newcommand{\scrA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\scrB}{\mathcal{B}}

\newcommand{\scrE}{\mathscr{E}}
\newcommand{\scrF}{\mathscr{F}}
\newcommand{\scrG}{\mathscr{G}}
\newcommand{\scrH}{\mathscr{H}}

% Cardinals and ordinals
\newcommand{\Card}[2][]{% Only need to handle 0, ..., 7
  \ifthenelse{\equal{#2}{1}}{%
    \ifthenelse{\equal{#1}{f}}{une}{un}%
  }{%
    \ifthenelse{\equal{#2}{2}}{deux}{%
      \ifthenelse{\equal{#2}{3}}{trois}{%
        \ifthenelse{\equal{#2}{4}}{quatre}{%
          \ifthenelse{\equal{#2}{5}}{cinq}{%
            \ifthenelse{\equal{#2}{6}}{six}{%
              \ifthenelse{\equal{#2}{7}}{sept}{zéro}}}}}}}%
}

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        }{% Not \Ord{1}{e}
          premi#3% Expands to premier or première(s)
        }%
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    }%
  }%
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% For use in \Paragraph argument
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\renewcommand{\)}{{\upshape)}}

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\phantomsection
\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate.}{Boilerplate}

\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
Project Gutenberg's Leçons de Géométrie Supérieure, by Ernest Vessiot

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Leçons de Géométrie Supérieure
       Professées en 1905-1906

Author: Ernest Vessiot

Editor: Anzemberger

Release Date: January 24, 2011 [EBook #35052]
Most recently updated: June 11, 2021

Language: French

Character set encoding: UTF-8     

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LEÇONS DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}

\clearpage


%%%% Credits and transcriber's note %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Andrew D. Hwang, Laura Wisewell, Pierre Lacaze
and the Online Distributed Proofreading Team at
http://www.pgdp.net (The original copy of this book was
generously made available for scanning by the Department
of Mathematics at the University of Glasgow.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\begin{minipage}{0.85\textwidth}
\small
\pdfbookmark[0]{Note sur la Transcription.}{Note sur la Transcription}
\subsection*{\centering\normalfont\scshape%
\normalsize\MakeLowercase{Notes sur la transcription}}%

\raggedright
  Ce livre a été réalisé à l'aide d'un manuscrit dactylographié, dont
  les images ont été fournies par le Département des Mathématiques de
  l'Université de Glasgow.
  \bigskip

  Des modifications mineures ont été apportées à la présentation,
  l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques. Le
  fichier \LaTeX\ source contient les notes de ces corrections.
\end{minipage}

%% -----File: 001.png---Folio xx-------
\clearpage
\frontmatter
\setlength{\TmpLen}{18pt}%
\begin{center}
\small PUBLICATIONS DU LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES \\[\TmpLen]
\textsf{\bfseries De l'Université de Lyon}

\vfill
% [** Decoration]

\textbf{\LARGE LEÇONS} \\[2\TmpLen]
\footnotesize DE \\[3\TmpLen]
\textbf{\Huge GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE} \\[2\TmpLen]
\textsf{\bfseries Professées en 1905--1906} \\[2\TmpLen]
\Large PAR M. E. VESSIOT \\[2\TmpLen]
\textsc{\small Rédigées par M. ANZEMBERGER}
\vfill
% [** Decoration]
\vfill
\setlength{\TmpLen}{9pt}
\footnotesize IMPRIMERIES RÉUNIES \\[\TmpLen]
\scriptsize ANCIENNES MAISONS \\[\TmpLen]
\normalsize DELAROCHE ET SCHNEIDER \\[\TmpLen]
\scriptsize\textsf{\bfseries 8, rue Rachais} \\[\TmpLen]
\footnotesize BUREAUX $\bigl\{$%
\settowidth{\TmpLen}{\scriptsize\textit{85, rue de la République}}%
\parbox[l]{\TmpLen}{\scriptsize\itshape%
    85, rue de la République \\
    9, quai de l'Hôpital} \\[9pt]
\textsf{\bfseries\footnotesize LYON}
\end{center}
%% -----File: 002.png---Folio xx-------
\clearpage
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\thispagestyle{empty}
\SetPageNumbers
\SetHead{TABLE DES MATIÉRES}
\tableofcontents

\iffalse
TABLE  DES  MATIERES.

Pages

CHAPITRE I.--REVISION DES POINTS ESSENTIELS DE LA THEORIE DES
COURBES GAUCHES ET DES SURFACES DEVELOPPABLES:

I.--Courbes gauches:

1. Trièdre de Serret-Frenet............................  1

2. Formules de Serret-Frenet...........................  2

3. Courbure et Torsion.................................  4

4. Discussion. Centre de Courbure .....................  5

5. Signe de la torsion. Forme de la courbe.............  6

6. Mouvement du trièdre de Serret-Frenet...............  8

7. Calcul de la courbure...............................  9

8. Calcul de la Torsion................................ 10

9. Sphère osculatrice.................................. 11

II.--Surfaces développables:

10. Propriétés générales............................... 12

11. Réciproques........................................ 15

12. Surface rectifiante. Surface polaire............... 16

CHAPITRE II.--SURFACES.

1. Courbes tracées sur une surface. Longueurs d'arc et
angles................................................. 19

2. Déformation et représentation conforme.............. 20

3. Les directions conjuguées et la forme \Sigma ld^2x.. 24

4. Formules fondamentales pour une courbe de la surface 27
%% -----File: 003.png---Folio xx-------

CHAPITRE III.--ETUDE DES ELEMENTS FONDAMENTAUX DES COURBES
D'UNE SURFACE.

1. Courbure normale................................... 33

2. Variations de la courbure normale.................. 35

3. Lignes minima...................................... 40

3. Lignes asymptotiques............................... 43

4. Surfaces minima.................................... 48

5. Lignes de courbure................................. 50

6. Courbure géodésique. Propriétés des géodésiques.... 52

7. Torsion géodésique. Théorèmes de Joachimsthal...... 57

CHAPITRE IV.--LES SIX INVARIANTS.--LA COURBURE TOTALE.

1. Les six invariants................................. 61

2. Les conditions d'intégrabilité..................... 66

3. Courbure totale.................................... 69

4. Coordonnées orthogonales et isothermes............. 71

5. Relations entre la courbure totale et la courbure
géodésique............................................ 74

CHAPITRE V.--SURFACES REGLEES.

1. Surfaces développables............................. 80

2. Développées des courbes gauches.................... 84

3. Lignas de courbure................................. 87

4. Développement d'une surface développable sur un plan
Réciproque............................................ 89

5. Lignes géodésiques d'une surface développable...... 93

6. Surfaces réglées gauches--trajectoires orthogonales
des génératrices...................................... 97

7. Cône directeur. Point central. Ligne de striction.. 98
%% -----File: 004.png---Folio xx-------

8. Variations du plan tangent le long d'une génératrice.. 101

9. Elément linéaire...................................... 106

10. La forme \Sigma ld^2x et les lignes asymptotiques.... 110

11. Lignes de courbure................................... 118

12. Centre de courbure géodésique........................ 118

CHAPITRE VI.--CONGRUENCES DE DROITES[**.]

1. Points et plans focaux................................ 121

2. Développables de la congruence. Examen des divers
cas possibles. Cas singuliers ........................... 129

3. Sur le point de vue corrélatif. Congruences de
Koenigs. Surfaces de Joachimsthal........................ 136

4. Détermination des développables d'une congruence...... 145

CHAPITRE VII.--CONGRUENCES DE NORMALES.

1. Propriété caractéristique des congruences de normales. 150

2. Relations entre une surface et sa développée. Surface
canal. Cyclide de Dupin. Cas singulier................... 153

3. Etude des surfaces enveloppes de sphères. Correspondance
entre les droites et les sphères. Equation de
la cyclide de Dupin. Surface canal isotrope.............. 158

4. Lignes de courbure et lignes asymptotiques. Bandes
asymptotiques et bandes de courbure...................... 164

5. Lignes de courbure des enveloppes de sphères.......... 168

6. Cas où l'une des nappes de la développée est une
développable............................................. 171

CHAPITRE VIII.--LES CONGRUENCES DE DROITES ET LES CORRESPONDANCES
ENTRE DEUX SURFACES.

1. Nouvelle représentation des congruences............... 181

2. Emploi des coordonnées homogènes...................... 183
%% -----File: 005.png---Folio xx-------

3. Correspondance entre les points M, M_1 de deux
surfaces, telle que les développables de la
congruence des droites MM_1 coupent les deux
surfaces suivant deux réseaux conjugués homologues.... 189

4. Correspondance par plans tangents parallèles....... 197

CHAPITRE IX.--COMPLEXES DE DROITES.

1. Eléments fondamentaux d'un complexe de droites..... 201

2. Surfaces du complexe............................... 205

3. Complexes spéciaux. Surface des singularités. Surfaces
et courbes des complexes spéciaux..........  211

4. Surfaces normales aux droites du complexe.......... 218

CHAPITRE X.--COMPLEXES LINEAIRES.

1. Généralités sur les complexes algébriques............ 220

2. Coordonnées homogènes................................ 221

3. Complexe linéaire.................................... 226

4. Faisceau de complexes linéaires...................... 226

5. Complexes linéaires en involution.................... 228

6. Droites conjuguées................................... 230

7. Réseau de complexes linéaires........................ 235

8. Courbes d'un complexe linéaire. Leurs propriétés..... 236

9. Surfaces normales aux droites d'un complexe linéaire. 240

10. Surfaces réglées d'un complexe linéaire............. 243

CHAPITRE XI.--TRANSFORMATIONS DUALISTIQUES. TRANSFORMATION DE
SOPHUS LIE.

1. Eléments de contact et multiplicités................. 245

2. Transformations de contact. Transformations dualistiques.... 249
%% -----File: 006.png---Folio xx-------

3. Transformation de Sophus Lie........................ 255

4. Transformation des droites en sphères............... 260

5. Transformation des lignes asymptotiques............. 263

6. Transformation des lignes de courbure............... 265

CHAPITRE XII.--SYSTEMES TRIPLES ORTHOGONAUX.

1. Théorème de Dupin................................... 268

2. Equation aux dérivées partielles de Darboux......... 269

3. Systèmes triples orthogonaux contenant une surface.. 274

4. Systèmes triples orthogonaux contenant une famille de
plans.................................................. 275

5. Systèmes triples orthogonaux contenant une famille de
sphères ............................................... 275

CHAPITRE [** VIII missing].--CONGRUENCES DE SPHERES ET SYSTEMES CYCLIQUES.

1. Généralités......................................... 280

2. Congruences spéciales............................... 283

3. Théorème de Dupin................................... 285

4. Congruence des droites D............................ 289

5. Congruence des droites \Delta....................... 291

6. Le système triple de Ribaucour...................... 293

7. Congruences de cercles et systèmes cycliques.
Transformation de contact de Ribaucour................. 294

8. Surfaces de Weingarten.............................. 301

EXERCICES.                                             307
\fi
%% -----File: 007.png---Folio xx-------


\Preface

Ces leçons ont été professées en 1905--1906, pour répondre
au programme spécial d'Analyse Mathématique de l'Agrégation.
Elles ont été autographiées à la demande de mes étudiants, et
rédigées par l'un d'eux.

Peut-être pourront-elles être utiles aux étudiants désireux
de s'initier à la géométrie supérieure, et leur être
une bonne préparation à l'étude des livres de M.~Darboux et
des mémoires originaux.

J'ai supposé connus seulement les principes les plus
simples de la théorie du contact; j'ai repris les points essentiels
de la théorie des courbes gauches et de la théorie
des surfaces, en mettant en évidence le rôle essentiel des
formules de Frenet et des deux formes quadratiques différentielles
de Gauss.

L'objet principal de mes leçons était l'étude des systèmes
de droites, et leur application à la théorie des surfaces.
Il était naturel d'y joindre l'étude des systèmes de
sphères, que j'ai poussée jusqu'aux propriétés élémentaires,
si attrayantes, des systèmes cycliques de Ribaucour. J'ai
insisté sur la correspondance des droites et des sphères, je
l'ai éclairée par l'emploi des notions d'éléments de contact
et de multiplicités, qui est également utile dans la théorie
des congruences de droites; j'ai montré comment elle se traduisait
par la transformation de contact de Lie.
%% -----File: 008.png---Folio xx-------

J'ai cherché à développer les diverses questions par
la voie la plus naturelle et la plus analytique; voulant
montrer à mes élèves comment la recherche méthodique, la discussion
approfondie des questions même les plus simples,
l'étude attentive et l'interprétation des résultats conduisent
aux \DPtypo{consequences}{conséquences} les plus intéressantes.

\null\hfil\hfil
\parbox[c]{2in}{\centering
Le 1\textsuperscript{er} Juin 1906. \\
\textsc{E.~Vessiot}.}\hfil
%% -----File: 009.png---Folio 1-------

\mainmatter

\Chapitre{Premier}{Révision des points essentiels de la théorie des Courbes Gauches et des Surfaces \DPtypo{Developpables}{Développables}.}

\SubChap{I. Courbes Gauches.}

\Section{Trièdre de Serret-Frenet\Add{.}}
{1.}{} Les coordonnées d'un point d'une courbe gauche peuvent
s'exprimer en fonction d'un paramètre~$t$
\[
x = f(t)\Add{,}\qquad y = g(t)\Add{,}\qquad z = h(t)\Add{.}
\]
Nous considérerons dans une telle courbe la \emph{tangente}, qui a
pour paramètres directeurs $\dfrac{dx}{dt}$, $\dfrac{dy}{dt}$, $\dfrac{dz}{dt}$ et le \emph{plan osculateur}
qui contient la tangente $\left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}, \dfrac{dz}{dt}\right)$ et l'accélération
$\left(\dfrac{d^2x}{dt^2}, \dfrac{d^2y}{dt^2}, \dfrac{d^2z}{dt^2}\right)$ et dont par suite les coefficients sont les
déterminants du \Ord{2}{e} ordre déduits du tableau
\[
\begin{Vmatrix}
\mfrac{dx}{dt}     & \mfrac{dy}{dt}     & \mfrac{dz}{dt} \\
\mfrac{d^2x}{dt^2} & \mfrac{d^2y}{dt^2} & \mfrac{d^2z}{dt^2}
\end{Vmatrix}
\]

\Paragraph{Remarque.} Si on change de paramètre, en posant $t = \phi(u)$\Add{,}
l'accélération nouvelle $\left(\dfrac{d^2x}{du^2}, \dfrac{d^2y}{du^2}, \dfrac{d^2z}{du^2}\right)$ est toujours dans le
plan osculateur.

Considérons en un point~$M$ d'une courbe la tangente~$MT$,
la normale située dans le plan osculateur, ou \emph{normale principale}~$MN$,
et la normale~$MB$ perpendiculaire au plan osculateur,
ou \emph{binormale}. Ces \Card{3} droites forment un trièdre trirectangle
que nous \DPtypo{appelerons}{appellerons} \emph{trièdre de Serret ou de Frenet}. L'une de
ses faces, celle déterminée par la tangente et la normale principale,
est le plan osculateur; celle déterminée par la normale
principale et la binormale est le plan normal; enfin celle
déterminée par la tangente et la binormale s'appelle le \emph{plan
%% -----File: 010.png---Folio 2-------
rectifiant}.

Prenons sur la courbe une origine des arcs quelconques,
et un sens des arcs croissants également quelconque. La différentielle
de l'arc~$s$ est donnée par la formule
\[
ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2
\]
d'où
\[
\frac{ds}{dt}
  = ± \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2
          + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2
          + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}
\]
et
\[
\left(\frac{dx}{ds}\right)^2
  + \left(\frac{dy}{ds}\right)^2
  + \left(\frac{dz}{ds}\right)^2 = 1\Add{,}
\]
$\dfrac{dx}{ds}$, $\dfrac{dy}{ds}$, $\dfrac{dz}{ds}$ sont ainsi les cosinus directeurs d'une des directions
de la tangente, celle qui correspond au sens des arcs
croissants; soient $a\Add{,} b\Add{,} c$ ces cosinus directeurs, nous avons
\[
\Tag{(1)}
a = \frac{dx}{ds}\Add{,}\qquad
b = \frac{dy}{ds}\Add{,}\qquad
c = \frac{dz}{ds}\Add{.}
\]

Nous prendrons sur la normale principale une direction
positive arbitraire de cosinus directeurs $a'\Add{,} b'\Add{,} c'$ et sur
la binormale une direction positive de cosinus directeurs $a''\Add{,} b''\Add{,} c''$
telle que le trièdre constitué par ces \Card{3} directions
ait même disposition que le trièdre de coordonnées. On a alors
\[
\begin{vmatrix}
a   & b   & c \\
a'  & b'  & c' \\
a'' & b'' & c''
\end{vmatrix}
= 1
\]
et chaque élément de ce déterminant est égal à son coefficient.

\Section{Formules de Serret-Frenet\Add{.}}
{2.}{} Il existe entre ces cosinus directeurs et leurs différentielles
des relations importantes. Nous avons en effet
\[
a^2 + b^2 + c^2 = 1
\]
d'où en dérivant par rapport à~$s$
\[
\sum a\, \frac{da}{ds} = 0\Add{.}
\]
Mais d'après les relations~\Eq{(1)} on a
\[
\frac{da}{ds} = \frac{d^2x}{ds^2}\Add{,}\qquad
\frac{db}{ds} = \frac{d^2y}{ds^2}\Add{,}\qquad
\frac{dc}{ds} = \frac{d^2z}{ds^2}\Add{,}
\]
et la relation précédente s'écrit:
%% -----File: 011.png---Folio 3-------
\[
\sum a\, \frac{d^2x}{\DPtypo{ds}{ds^2}} = 0\Add{.}
\]

La direction de coefficients directeurs
\[
\frac{d^2x}{ds^2},\quad
\frac{d^2y}{ds^2},\quad
\frac{d^2z}{ds^2}\quad \text{ou}\quad
\frac{da}{ds},\quad
\frac{db}{ds},\quad
\frac{dc}{ds}
\]
est donc perpendiculaire à la tangente; d'autre part elle est
dans le plan osculateur, c'est donc la normale principale, et
on a des relations de la forme:
\[
\Tag{(2)}
\frac{da}{ds} = \frac{1}{R}\, a'\Add{,}\qquad
\frac{db}{ds} = \frac{1}{R}\, b'\Add{,}\qquad
\frac{dc}{ds} = \frac{1}{R}\, c'\Add{.}
\]
On en déduit, pour le facteur $\dfrac{1}{R}$,
\[
\Tag{(3)}
\frac{1}{R} = \sum a'\, \frac{da}{ds}\Add{.}
\]
De ces relations\DPnote{(2)} on tire, en multipliant par $a''\Add{,} b''\Add{,} c''$ et
ajoutant
\[
\sum a''\, \frac{da}{ds} = 0\Add{.}
\]
D'autre part on a
\[
\sum aa'' = 0
\]
d'où en dérivant
\[
\sum a\, \frac{da''}{ds} + \sum a''\, \frac{da}{ds} = 0
\]
et par suite
\[
\sum a\, \frac{da''}{ds} = 0\Add{.}
\]
On a d'ailleurs
\[
\sum a''{}^2 = 1
\]
d'où
\[
\sum a''\, \frac{da''}{ds} = 0
\]
et les deux relations précédentes montrent que la direction
$\dfrac{da''}{ds}, \dfrac{db''}{ds}, \dfrac{dc''}{ds}$ est perpendiculaire à la tangente et à la binormale.
C'est donc encore la normale principale, et on a des
relations de la forme\DPtypo{;}{:}
\[
\Tag{(4)}
\frac{da''}{ds} = \frac{1}{T}\, a'\Add{,}\qquad
\frac{db''}{ds} = \frac{1}{T}\, b'\Add{,}\qquad
\frac{dc''}{ds} = \frac{1}{T}\, c'\Add{.}
\]
On en déduit, pour le facteur $\dfrac{1}{T}$,
\[
\Tag{(5)}
\frac{1}{T} = \sum a'\, \frac{da''}{ds}\Add{.}
\]
Enfin de la relation
\[
\sum a'a'' = 0
\]
on tire
\[
\sum a'\, \frac{da''}{ds} + \sum a''\, \frac{da'}{ds} = 0\Add{,}
\]
ou
\[
\sum a''\, \frac{da'}{ds} = -\sum a'\, \frac{da''}{ds} = -\frac{1}{T}\Add{.}
\]
%% -----File: 012.png---Folio 4-------
De la relation
\[
\sum a'a = 0
\]
on tire de même
\[
\sum a\, \frac{da''}{ds} = -\sum a'\, \frac{da}{ds} = -\frac{1}{R}\Add{,}
\]
et enfin de
\[
\sum a'{}^2 = 0
\]
on tire
\[
\sum a'\, \frac{da'}{ds} = 0\Add{.}
\]
On a ainsi \Card{3} équations en $\dfrac{da'}{ds}, \dfrac{db'}{ds}, \dfrac{dc'}{ds}$,
\begin{align*}
\sum a\, \frac{da'}{ds} &= -\frac{1}{R}\Add{,} \\
\sum a'\, \frac{da'}{ds} &= 0\Add{,} \\
\sum a''\, \frac{da'}{ds} &= -\frac{1}{T}\Add{,}
\end{align*}
et l'on en tire
\[
\Tag{(6)}
\frac{da'}{ds} = -\frac{a}{R} - \frac{a''}{T},\qquad
\frac{db'}{ds} = -\frac{b}{R} - \frac{b''}{T},\qquad
\frac{dc'}{ds} = -\frac{c}{R} - \frac{c''}{T}.
\]

Les \Card{3} groupes de relations \Eq{(2)}\Add{,}~\Eq{(4)}\Add{,}~\Eq{(6)} constituent \emph{les
formules de Serret ou de Frenet}.

\Section{Courbure et \DPtypo{Torsion}{torsion}\Add{.}}
{3.}{Interprétation de~$R$.} Considérons le point~$t$ de coordonnées
$a\Add{,} b\Add{,} c$. Les formules~\Eq{(2)} expriment une propriété de la
courbe lieu de ces points; cette courbe est tracée sur une
sphère de rayon~$1$, on l'appelle \emph{indicatrice
sphérique} de la courbe~$(C)$,
et les formules~\Eq{(2)} montrent que \emph{la
tangente en~$t$ à l'indicatrice sphérique
est parallèle à la normale
principale en~$M$ à la courbe~$C$}. Soit $u$
l'arc de cette indicatrice compté à
partir d'une origine arbitraire dans
un sens également arbitraire, on aura
\[
\frac{da}{du} = ea',\qquad
\frac{db}{du} = eb',\qquad
\frac{dc}{du} = ec',\qquad (e = ±1)
\]

\Illustration[1.75in]{012a}
\noindent d'où, en tenant compte des formules~\Eq{(2)}
\[
\frac{1}{R} = e\, \frac{du}{ds}\Add{.}
\]
%% -----File: 013.png---Folio 5-------

Considérons alors les points $t$,~$t'$ correspondant aux
points $M$,~$M'$; $\dfrac{du}{ds}$~est la limite du rapport $\dfrac{\arc tt'}{\arc MM'}$ quand $M'$~se
rapproche indéfiniment de~$M$. L'arc~$tt'$ étant infiniment petit
peut être remplacé par l'arc de grand cercle correspondant,
qui n'est autre que la mesure de l'angle~$tOt'$ des \Card{2} tangentes
infiniment voisines; c'est \emph{l'angle de contingence}; cette limite
s'appelle la \emph{courbure} de la courbe au point~$C$; $R$~est le \emph{rayon
de courbure}.

\Paragraph{Interprétation de~$T$.} Pour interpréter~$T$, on \DPtypo{considèrera}{considérera}
de même le lieu du point~$b$ de coordonnées $a\Add{,} b\Add{,} c$, ou \emph{deuxième
indicatrice sphérique}. On pourra remarquer que d'après les
formules \Eq{(2)}\Add{,}~\Eq{(4)}, \emph{les tangentes en $t$,~$b$ aux deux indicatrices
sont parallèles à la normale principale en~$M$}. Si $v$~est l'arc
de cette deuxième indicatrice sphérique, on trouvera comme
précédemment que
\[
\frac{1}{T} = e'\, \frac{dv}{ds}\qquad (e' = ±1)
\]
et que $\dfrac{1}{T}$ est la limite du rapport de l'angle des plans
osculateurs en $M$,~$M'$ à l'arc~$MM'$; c'est la \emph{torsion} en~$M$, et $T$~est
le \emph{rayon de torsion}.

\emph{Les deux indicatrices sont polaires réciproques sur la
sphère.}


\Section{Discussion. Centre de courbure.}
{4.}{} Les cosinus directeurs que nous avons introduits dépendent
de \Card{3} hypothèses arbitraires sur la disposition du
trièdre de coordonnées, le sens des arcs croissants, et le sens
positif choisi sur la normale principale. Si nous changeons
ces hypothèses, et si nous désignons par $e_1, e_2, e_3$ des nombres
égaux à~$±1$, $s$~sera remplacé par~$e_1s$, $a\Add{,} b\Add{,} c$ par $e_1a, e_1b, e_1c$;
$a'\Add{,} b'\Add{,} c'$ par $e_2a, e_2b, e_2c$; et enfin, d'après les relations
%% -----File: 014.png---Folio 6-------
\[
a'' = e_3 (bc' - cb'),\qquad
b'' = e_3 (ca' - ac'),\qquad
c'' = e_3 (ab' - ba'),
\]
$a''\Add{,} b''\Add{,} c''$ seront remplacés par $e_1e_2e_3a'', e_1e_2e_3b'', e_1e_2e_3c''$. Les
formules~\Eq{(2)} donnent alors
\[
\frac{e_1\, da}{e_1\, ds} = \frac{1}{R}\, e_2a',\qquad \text{etc}\ldots,
\]
c'est à dire $R$~se change en~$e_2R$; et son signe ne dépend que
de la direction positive choisie sur la normale principale.

Donc le point~$C$ de la normale principale, tel que l'on
%[** TN: MC has an overline accent; only instance, omitting]
ait $MC = R$ ($R$~étant défini algébriquement comme précédemment),
est un élément géométrique attaché à la courbe donnée. Ce
point~$C$ s'appelle \emph{centre de courbure en~$M$}.

Voyons maintenant~$T$. Les formules~\Eq{(4)} donnent
\begin{align*}
\frac{e_1e_2e_3\, da''}{\DPtypo{e}{e_1}\, ds}
  &= \frac{1}{T}\, e_2a'\Add{,}\qquad \text{etc.} \\
\intertext{ou}
\frac{e_3\, da''}{ds} &= \frac{1}{T}\, a'\Add{,}\qquad \text{etc.}
\end{align*}

Donc $T$~se change en~$e_3T$; et le signe de~$T$ dépend uniquement
de la disposition du trièdre de coordonnées. Il n'y a
donc pas lieu de définir un centre de torsion.

\Section{Signe de la torsion. Forme de la courbe.}
{5.}{} Pour interpréter le signe de~$T$, nous allons étudier
la rotation d'un plan passant par la tangente~$MT$ et par un
point~$M'$ de la courbe infiniment voisin. Rapportons la courbe
au trièdre de Serret, la tangente étant~$OX$, la normale principale~$OY$,
la binormale~$OZ$. Alors $a = 1$, $a' = 0$, $a'' = 0$, $b = 0$,
$b' = 1$, $b'' = 0$, $c = 0$, $c' = 0$, $c'' = 1$. Nous allons chercher
les développements des coordonnées d'un point de la courbe
infiniment voisin de~$M$ suivant les puissances croissantes de~$ds$,
($ds$~étant l'arc de la courbe compté à partir du point~$O$).

Nous avons
\begin{align*}%[** TN: Added elided equations]
X &= \frac{ds}{1}\, \frac{dx}{ds}
   + \frac{ds^2}{2}\, \frac{d^2x}{ds^2}
   + \frac{ds^3}{6}\, \frac{d^3x}{ds^3} + \dots\Add{,} \\
Y &= \frac{ds}{1}\, \frac{dy}{ds}
   + \frac{ds^2}{2}\, \frac{d^2y}{ds^2}
   + \frac{ds^3}{6}\, \frac{d^3y}{ds^3} + \dots\Add{,} \\
Z &= \frac{ds}{1}\, \frac{dz}{ds}
   + \frac{ds^2}{2}\, \frac{d^2z}{ds^2}
   + \frac{ds^3}{6}\, \frac{d^3z}{ds^3} + \dots\Add{.}
\end{align*}
%% -----File: 015.png---Folio 7-------

Or:
\begin{align*}
\frac{dx}{ds} &= a = 1\Add{,} \\
\frac{d^2x}{ds^2} &= \frac{da}{ds} = \frac{a'}{R} = 0\Add{,} \\
\frac{d^3x}{ds^3} &= \frac{d^2a}{ds^2}
  = \frac{1}{R}\, \frac{da'}{ds} + \frac{d\left(\dfrac{1}{R}\right)}{ds}\, a'
  = \frac{1}{R} \left(-\frac{a}{R} - \frac{a''}{T}\right) - \frac{1}{R^2}\, a'\, \frac{dR}{ds}
  = -\frac{1}{R^2}\Add{,}
\end{align*}
et de même pour les autres coordonnées. On trouve ainsi
\[
\Tag{(7)}%[** TN: Added brace]
\left\{
\begin{aligned}
X &= ds &                    &-\frac{1}{6R^2}\, \Err{ds}{ds^3} + \dots\Add{,} \\
Y &=    &\frac{1}{2R}\, ds^2 &-\frac{1}{6R^2}\, \frac{dR}{ds}\, ds^3 + \dots\Add{,} \\
Z &=    &                    &-\frac{1}{6RT}\, ds^3 + \dots\Add{.}
\end{aligned}
\right.
\]
Tels sont les \DPtypo{developpements}{développements} des coordonnées, du point~$M'$ voisin
de~$M$.

Le plan que nous considérons passe par la tangente; le
sens de sa rotation est donné par le signe de~$\dfrac{Z}{Y}$, coefficient
angulaire de sa trace sur le plan des~$YZ$. Or,
\[
\frac{Z}{Y} = -\frac{ds}{3T}\, \bigl[1 + ds\, (\dots\dots)\bigr]\Add{.}
\]

\Illustration[3in]{015a}
Ce coefficient angulaire est positif si $T\Err{\ }{<}0$, pour $s$~croissant,
c'est à dire si le point se déplace dans la direction
de la tangente; le plan va alors tourner dans le sens positif.
Le point~$M'$ étant au-dessus du
plan des~$\DPtypo{xy}{XY}$, l'arc~$MM'$ de la courbe
est en avant du plan~$XZ$, si $T<0$; il
est au contraire en arrière si $T>0$.

Les formules~\Eq{(7)} permettent de
représenter les projections de la
courbe sur les \Card{3} faces du trièdre de
Serret dans le voisinage du point~$M$.
%% -----File: 016.png---Folio 8-------
Nous supposerons pour faire ces projections $R > 0$ et $T < 0$.

La considération des formules~\Eq{(7)} prises deux à deux
montre que sur le plan rectifiant~$(XZ)$ la projection a au
point~$m_1$ un point d'inflexion, la tangente inflexionnelle étant~$OX$.
Sur le plan osculateur, la projection a au point~$m$ un point
ordinaire, la tangente étant~$OX$; enfin sur le plan normal~$(Y\Add{,}Z)$
la projection a en~$m_2$ un point de rebroussement, la tangente de
rebroussement étant~$OY$.


\Section{Mouvement du trièdre de Serret-Frenet.}
{6.}{Remarque.} Considérons un point~$P$ invariablement lié
au trièdre de Serret, et soient $X\Add{,} Y\Add{,} Z$ ses coordonnées constantes
par rapport à ce trièdre; soient $\xi, \eta, \zeta$ les coordonnées de
ce point par rapport à un système d'axes fixes. Lorsque le sommet
du trièdre de Serret décrit la courbe donnée, les projections
de la vitesse du point~$P$ sur les axes fixes sont, en remarquant
que l'on a
\begin{gather*}
\begin{alignedat}{4}
\xi   &= x &&+ aX &&+ a'Y &&+ a''Z, \\
\eta  &= y &&+ bX &&+ b'Y &&+ b''Z, \\
\zeta &= z &&+ cX &&+ c'Y &&+ c''Z\Add{,}
\end{alignedat} \\[6pt]
\begin{alignedat}{4}
\frac{d\xi}{dt}
  &= \frac{dx}{dt} &&+ X\frac{da}{dt} &&+ Y\frac{da'}{dt} &&+ Z\frac{da''}{dt},\\
\frac{d\eta}{dt}
  &= \frac{dy}{dt} &&+ X\frac{db}{dt} &&+ Y\frac{db'}{dt} &&+ Z\frac{db''}{dt},\\
\frac{d\zeta}{dt}
  &= \frac{dz}{dt} &&+ X\frac{dc}{dt} &&+ Y\frac{dc'}{dt} &&+ Z\frac{dc''}{dt}\Add{,}
\end{alignedat}
\end{gather*}
ou encore
\begin{align*}%[** TN: Added elided equations]
\frac{d\xi}{dt}
  &= \frac{ds}{dt}\, a + X\, \frac{a'}{R} + Y \left(-\frac{a}{R} - \frac{a''}{T}\right) + Z\, \frac{a'}{T}, \\
\frac{d\eta}{dt}
  &= \frac{ds}{dt}\, b + X\, \frac{b'}{R} + Y \left(-\frac{b}{R} - \frac{b''}{T}\right) + Z\, \frac{b'}{T}, \\
\frac{d\zeta}{dt}
  &= \frac{ds}{dt}\, c + X\, \frac{c'}{R} + Y \left(-\frac{c}{R} - \frac{c''}{T}\right) + Z\, \frac{c'}{T}\Add{.}
\end{align*}

Les projections de la vitesse sur les axes mobiles sont
alors
\begin{alignat*}{4}
V_x &= a\, \frac{d\xi}{dt} &&+ b\, \frac{d\eta}{dt} &&+ c\, \frac{d\zeta}{dt}
     &&= \frac{ds}{dt} \left(1 - \frac{Y}{R}\right)\Add{,} \\
V_y &=  a'\, \frac{d\xi}{dt} &&+ b'\, \frac{d\eta}{dt} &&+ c'\, \frac{d\zeta}{dt}
     &&= \frac{ds}{dt} \left(\frac{X}{R} + \frac{Z}{T}\right)\Add{,} \\
V_z &=  a''\, \frac{d\xi}{dt} &&+ b''\, \frac{d\eta}{dt} &&+ c''\, \frac{d\zeta}{dt}
     &&= -\frac{ds}{dt}\, \frac{Y}{T}\Add{,}
\end{alignat*}
$\dfrac{ds}{dt}$ est la vitesse du sommet du trièdre. Si nous ne considérons
que la vitesse de rotation, nous savons que, si $p\Add{,} q\Add{,} r$ sont les
composantes de la rotation instantanée sur les axes mobiles,
%% -----File: 017.png---Folio 9-------
on a
\[
V_x = qZ - rY\Add{,}\qquad
V_y = rX - pZ\Add{,}\qquad
V_z = pY - qX\Add{,}
\]
et nous trouvons ainsi, en identifiant avec les expressions
précédentes (dans l'hypothèse $t = s$)
\[
p = -\frac{1}{T}\Add{,}\qquad
q = 0\Add{,}\qquad
r = \frac{1}{R}\Add{,}
\]
ce qui montre qu'\emph{à chaque instant, la rotation instantanée
est dans le plan rectifiant et a pour composantes suivant la
tangente et la binormale la torsion et la courbure}.

Si l'on suppose le trièdre de Serret transporté à l'origine,
il tourne autour de son sommet, l'axe instantané de rotation
est dans le plan rectifiant, et le mouvement du trièdre
est obtenu par le roulement de ce plan sur un certain cône.


\Section[Calcul de la courbure.]{Calcul de~$R$.}
{7.}{} Reprenons la formule~\Eq{(3)}
\[
\frac{1}{R} = \sum a'\, \frac{da}{ds}\Add{.}
\]
Nous avons
\[
a = \frac{dx}{ds},
\]
d'où
\[
\frac{da}{ds} = \frac{ds\, d^2x - dx\, d^2s}{\DPtypo{ds^2}{ds^3}}.
\]
Soit maintenant
\[
A = dy\, d^2z - dz\, d^2y\DPtypo{.}{,}\qquad
B = dz\, d^2x - dx\, d^2z,\qquad
C = dx\, d^2y - dy\, d^2x,
\]
et posons
\[
\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = D.
\]
$A\Add{,} B\Add{,} C$ sont les coefficients du plan osculateur, et par suite
les cosinus directeurs de la binormale sont
\[
a'' = \frac{A}{D}\Add{,}\qquad
b'' = \frac{B}{D}\Add{,}\qquad
c'' = \frac{C}{D}\Add{,}
\]
et les cosinus directeurs de la normale principale, perpendiculaire
aux deux droites précédentes, sont
\begin{align*}% [** TN: Elided equations not added]
a' &= \frac{B\, dz - C\, dy}{D\, ds}
    = \frac{\DPtypo{dx^2}{dx^2}\, (dz^2 + dy^2) - dx\, (dz\, \DPtypo{dz^2}{d^2z} + dy\, \DPtypo{dy^2}{d^2y})}{D\, ds} \\
   &= \frac{\DPtypo{dx^2}{d^2x}·ds^2 - dx·ds\, \DPtypo{ds^2}{d^2s}}{D\, ds}
    = \frac{ds\, d^2x - dx\, d^2s}{D}\Add{,} \\[6pt]
b' &= \dots \qquad  c' = \dots\Add{,}
\end{align*}
\iffalse%%%%[** TN: Code for elided equations]
b' &= \frac{C\, dx - A\, dz}{D\, ds}
    = \frac{dy^2\, (dx^2 + dz^2) - dy\, (dx\, d^2x + dz\, d^2z)}{D\, ds} \\
   &= \frac{d^2y·ds^2 - dy·ds\, d^2s}{D\, ds}
    = \frac{ds\, d^2y - dy\, d^2s}{D}\Add{,} \\[6pt]
c' &= \frac{A\, dy - B\, dx}{D\, ds}
    = \frac{dz^2\, (dy^2 + dx^2) - dz\, (dy\, d^2y + dx\, d^2x)}{D\, ds} \\
   &= \frac{d^2z·ds^2 - dz·ds\, d^2s}{D\, ds}
    = \frac{ds\, d^2z - dz\, d^2s}{D}\Add{,}
\fi %%%% End of code for elided equations
%% -----File: 018.png---Folio 10-------
et alors
\[
\frac{1}{R} = \sum a'\, \frac{da}{ds}
  = \sum \frac{B\, dz - C\, dy}{D\DPtypo{}{\,ds}}\,
    \frac{ds\, d^2x - dx\, d^2s}{\DPtypo{ds^2}{ds^3}}
\]
ce qui peut s'écrire
%[** TN: Original exponents unclear, but math checked by hand.]
\begin{align*}
\frac{1}{R}
  &= \frac{1}{D\, ds^3}  \sum d^2x\, (B\, dz - C\, dy)
   - \frac{d^2s}{D\, ds^4} \sum dx\, (B\, dz - C\, dy) \\
\intertext{et se réduit à:}
\frac{1}{R}
  &= \frac{1}{D\, ds^3} \sum d^2x\, (B\, dz - C\, dy)
   = \frac{1}{D\, ds^3}
  \begin{vmatrix}
  dx   &  dy  &  dz  \\
  d^2x & d^2y & d^2z \\
    A  &  B   &  C
  \end{vmatrix} = \frac{D}{ds^3}\Add{,}
\end{align*}
d'où enfin:
\[
\frac{1}{R} = \frac{\sqrt{\sum (dy\, d^2z\DPtypo{_}{-} dz\, d^2y)^2}}
                   {(dx^2 + dy^2 + dz^2)^{\tfrac{3}{2}}}.
\]


\Section[Calcul de la torsion]{Calcul de~$T$.}
{8.}{} On aura de même
\begin{align*}
\frac{1}{T}
  &= \sum a'\, \frac{da''}{ds}
   = \sum \frac{B\, dz \DPtypo{_}{-} C\, dy}{D·ds}\,
          \frac{D·dA - A\, dD}{D^2\, ds} \\
\intertext{ce qui peut s'écrire}
\frac{1}{T}
  &= \frac{1}{D^2\, \DPtypo{ds}{ds^2}} \sum dA\, (B\, dz - C\, dy)
   - \frac{dD}{\DPtypo{D^2}{D^3}\, ds^2} \sum A\, (B\, dz - C\, dy)
\end{align*}
et se réduit à
\begin{align*}
\frac{1}{T}
  &= \frac{1}{D^2\, ds^2} \sum dA\, (B\, dz - C\, dy)
   = \frac{1}{D^2\, ds} \sum (dy\, d^3z - dz\, d^3y) (ds\, d^2x - dx\, d^2s) \\
\intertext{ou}
\frac{1}{T}
  &= \frac{1}{D^2} \sum d^2x (dy\, d^3z - dz\, d^3y)
   - \frac{d^2s}{D^2\, ds} \sum dx\, (dy\, d^3z - dz\, d^3y); \\
\intertext{la \Ord{2}{e} somme est nulle, et il reste}
\frac{1}{T}
  &= \frac{1}{\DPtypo{D}{D^2}} \sum d^2x\, (dy\, d^3z - dz\, d^3y)
   = -\frac{1}{D^2}
     \begin{vmatrix}
     dx &  dy  &  dz \\
     d^2x & d^2y & d^2z \\
     d^3x & d^3y & d^3z
  \end{vmatrix}
\end{align*}
avec
\[
D^2 = \sum (dy\, d^2z - dz\, d^2y)^2\Add{.}
\]

\Paragraph{Remarque.} Pour que la torsion d'une courbe soit constamment
nulle, il faut et il suffit que l'on ait constamment
\[
\begin{vmatrix}
  dx &  dy  &  dz \\
  d^2x & d^2y & d^2z \\
  d^3x & d^3y & d^3z
\end{vmatrix} = 0,
\]
ce qui exige que $x, y, z$ soient liés par une relation linéaire,
à coefficients constants, c'est-à-dire que la courbe soit plane.
Ainsi \emph{les courbes à torsion constamment nulle sont des
%% -----File: 019.png---Folio 11-------
courbes planes.}

\Section{Sphère osculatrice.}
{9.}{} Cherchons les sphères qui ont en~$M$, avec la courbe
considérée, un contact du second ordre. Le centre $(x_0\Add{,} y_0\Add{,} z_0)$ et
le rayon~$R_0$ d'une telle sphère sont, d'après la théorie du
contact, déterminés par les équations suivantes, que nous développons
au moyen des formules de Serret-Frenet:
\begin{align*}
&\sum (x - x_0)^2 - R_0^2 = 0, \\
&\frac{d}{ds} \left\{ \sum (x - x_0)^2 - R^2 \right\} = 0,\quad
  \text{\DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire}}\quad \sum a(x - x_0) = 0, \\
&\frac{d^2}{ds^2} \left\{ \sum (x - x_0)^2 - R^2 \right\} = 0,\quad
  \text{\DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire}}\quad 1 + \frac{1}{R} \sum a' (x - x_0) = 0.
\end{align*}

Si on prend le trièdre de Serret-Frenet pour trièdre
de coordonnées, comme on l'a fait plus haut, elles se réduisent
à
\[
\sum X_0 - R_0^2 = 0,\qquad X_0 = 0,\qquad Y_0 = -R;
\]
et l'équation générale des sphères cherchées est, $Z_0$~restant
arbitraire,
\[
X^2 + Y^2 + Z^2 - 2RY - 2Z_0Z = 0\Add{.}
\]

C'est un faisceau de sphères, dont fait partie le plan
osculateur $Z = 0$. On vérifie ainsi la propriété de contact
du plan osculateur.

Le cercle commun à toutes ces sphères est, de plus,
d'après la théorie du contact des courbes, celui qui a un
contact du second ordre avec la courbe, \DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire} le \emph{cercle
osculateur}. Les équations sont
\[
Z = 0,\qquad X^2 + Y^2 - 2RY = 0,
\]
\DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire} qu'il est dans le plan osculateur, a pour centre
le centre de courbure~$C$ ($X = 0$, $Y = R$), et passe en~$M$. Le
lieu des \Err{}{centres des }sphères considérées est l'axe du cercle osculateur.

Parmi toutes ces sphères, il y en a une qui a un contact
%% -----File: 020.png---Folio 12-------
du troisième ordre avec la courbe. On l'obtient en introduisant
la condition nouvelle:
\begin{gather*}
\frac{d^3}{ds^3} \left\{ \sum (x - x_0)^2 - R^2 \right\} = 0\Add{,} \\
\intertext{\DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire}}
-\frac{1}{R^2}\, \frac{dR}{ds} \sum a'(x - x_0)
  -\frac{1}{R} \left\{ \frac{1}{R} \sum a(x - x_0) + \frac{1}{T} \sum a''(x - x_0) \right\} = 0,
\end{gather*}
qui se réduit, avec les axes particuliers employés, à
\[
Z_0 = -T\, \frac{dR}{ds}.
\]
Le centre de cette \emph{sphère osculatrice} est donc défini par les
formules:
\[
X_0 = 0,\qquad Y_0 = -R,\qquad Z_0 = -T\, \frac{dR}{ds}.
\]
Et son rayon est donné par
\[
R_0^2 = R^2 + T^2\, \frac{dR^2}{ds^2}.
\]


\SubChap{II. Surfaces développables.}

\Section{Propriétés générales.}
{10.}{} Une courbe gauche est le lieu de $\infty^{1}$~points; corrélativement
nous \DPtypo{considèrerons}{considérerons} une surface développable, enveloppe
de $\infty^{1}$~plans; la caractéristique de l'un de ces plans
correspond corrélativement à la tangente en un point de la
courbe, puisqu'elle est l'intersection de deux plans infiniment
voisins.

Soit
\[
\Tag{(1)}
uX + vY + wZ + h = 0,
\]
l'équation générale des plans considérés, de sorte que $u, v, w, h$
désignent des fonctions données d'un paramètre~$t$.

Les caractéristiques ont, d'après la théorie des enveloppes,
pour équations générales,
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{aligned}
&uX + uY + wZ + h = 0\Add{,} \\
&du·X + dv·Y + dw·Z + dh = 0.
\end{aligned}
\right.
\]

La surface développable, enveloppe des plans~\Eq{(1)}, est,
%% -----File: 021.png---Folio 13-------
d'après la théorie des enveloppes, le lieu des droites~\Eq{(2)},
qui en sont, par conséquent, les génératrices rectilignes;
et, toujours d'après la théorie des enveloppes, chacun des
plans~\Eq{(1)} est tangent à la surface tout le long de la génératrice~\Eq{(2)}
correspondant à la même valeur de~$t$.

Considérons alors la courbe~$(C)$, lieu des points $(x,y,z)$
définis par les équations:
\[
\Tag{(3)}
\left\{
\begin{aligned}
&ux + vy + wz + h = 0\Add{,} \\
&\DPtypo{x\, du}{u\, dx} + v\, dy + w\, dz + dh = 0\Add{,} \\
&\DPtypo{x\, d^2u}{u\, d^2x} + v\, d^2y + w\, d^2z + d^2h = 0\Add{.}
\end{aligned}
\right.
\]

L'un quelconque de ses points~$M$ est sur la droite~\Eq{(2)},
correspondant à la même valeur de~$t$, et, par conséquent, dans
le plan~\Eq{(1)} correspondant. Cherchons la tangente à~$(C)$ en~$M$.
Il faut différentier les équations~\Eq{(3)}; différentiant chacune
des deux premières, en tenant compte de la suivante, nous
trouvons
\[
\Tag{(4)}
\left\{
\begin{aligned}
&u·dx +  v·dy +  w·dz = 0\Add{,} \\
&du·dx + dv·dy + dw·dz = 0,
\end{aligned}
\right.
\]
ce qui exprime que la direction de la tangente est la même
que celle de la droite~\Eq{(2)}. Donc les tangentes à~$(C)$ sont
les génératrices de la développable.

Cherchons encore le plan osculateur à~$(C)$ en~$M$. Il doit
passer par la tangente, et être parallèle à la direction $(d^2x, d^2y, d^2z)$.
Or\Add{,} si on différentie la première des équations~\Eq{(4)},
en tenant compte de la seconde, on trouve
\[
u·d^2x + v·d^2y + w·d^2z = 0,
\]
ce qui montre que le plan~\Eq{(1)} satisfait à ces conditions.
Donc le plan osculateur de~$(C)$ est le plan qui enveloppe la
développable.

$(C)$~s'appelle l'\emph{arête de rebroussement} de la développable
%% -----File: 022.png---Folio 14-------

Donc \emph{toute développable est l'enveloppe des plans osculateurs
de son arête de rebroussement, et est engendrée par
les tangentes à son arête de rebroussement}.%--

\Paragraph{Remarques.} Nous avons fait implicitement diverses hypothèses.
D'abord que le déterminant des équations~\Eq{(3)} n'est pas nul.
S'il l'est, on a
\[
\begin{vmatrix}
u  &  v  &  w  \\
du &  dv &  dw \\
d^2u & d^2v & d^2w
\end{vmatrix} = 0\Add{,}
\]
ce qui exprime que $u, v, w$ sont liés par une relation linéaire
homogène à coefficients constants; \DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire} que les plans~\Eq{(1)}
sont parallèles à une droite fixe. Dans ce cas, les droites~\Eq{(2)}
sont parallèles à cette même direction, et la surface est
un \emph{cylindre}. Dans ce cas figure, comme \emph{cas singulier}, celui où
tous les plans~\Eq{(1)} passent par une droite fixe, qui est alors
l'enveloppe.

\DPchg{Ecartant}{Écartant} ce cas, nous avons admis qu'il y avait un lieu
des points~$M$. Ceci suppose que $M$~n'est pas fixe. S'il en était
ainsi les équations~\Eq{(3)} étant vérifiées par les coordonnées
de ce point fixe, les plans~\Eq{(1)} passeraient par ce point fixe,
ainsi que les droites~\Eq{(2)}. L'enveloppe serait un \emph{cône}.

\DPchg{Ecartons}{Écartons} encore ce cas. Nous avons admis encore que les
droites~\Eq{(2)} engendraient une surface. Mais cela n'est en défaut
que si elles sont toutes confondues, ce qui est le cas
singulier \DPtypo{déja}{déjà} examiné.

Remarquons enfin que la courbe~$(C)$ est \DPtypo{forcèment}{forcément} gauche,
car si elle était plane, son plan étant son plan osculateur
unique, et nos raisonnements ne cessant pas de s'appliquer,
tous les plans~\Eq{(1)} seraient confondus. Il n'y aurait donc
pas $\infty^{1}$~plans~\Eq{(1)}.
%% -----File: 023.png---Folio 15-------


\Section{Réciproques.}
{11.}{Réciproquement les plans osculateurs en tous les
points d'une courbe gauche enveloppent une développable.} En
effet, si nous reprenons les notations du §1, le plan osculateur
en un point~$x\Add{,}y\Add{,}z$ d'une courbe a pour équation
\[
\sum a'' (X - x) = 0.
\]
Sa caractéristique est représentée par l'équation précédente
et
\[
\sum  \frac{da''}{ds}\, (X - x) - \sum a''\, \frac{dx}{ds} = 0;
\]
mais on a
\[
\sum a''\, \frac{dx}{ds} = 0,\qquad \frac{da''}{ds} = \frac{1}{T}\, a';
\]
les équations de la caractéristique sont donc
\[
\sum a'(X - x) = 0,\qquad \sum a''(X - x) = 0.
\]
Et, si on prend comme trièdre de coordonnées le trièdre de
Serret-Frenet, elles se réduisent à
\[
Y = 0,\qquad Z = 0.
\]
\emph{Donc la \DPtypo{caracteristique}{caractéristique} du plan osculateur en un point d'une
courbe gauche est la tangente à cette courbe}, et l'enveloppe
de ce plan est bien une surface développable. L'arête de rebroussement
a pour équations
\[
\sum a''(X - x) = 0,\quad
\sum a' (X - x) = 0,\quad
\sum \frac{da'}{ds}\, (X - x) - \sum a'\, \frac{dx}{ds} = 0.
\]

Considérons la \DPtypo{3éme}{\Ord{3}{ème}}~équation; remarquons que l'on a
\[
\sum a'\, \frac{dx}{ds} = 0,\qquad
\frac{da'}{ds} = -\left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right);
\]
elle s'écrit alors
\[
\sum \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right) (X - x) = 0,
\]
ou encore, en tenant compte de la \Ord{1}{ère} équation
\[
\sum a(X - x) = 0.
\]
Nous avons ainsi \Card{3} équations linéaires et homogènes en $X - x$,
$Y - y$, $Z - z$, dont le déterminant est~$1$; donc
\[
X - x = 0,\qquad
Y - y = 0,\qquad
Z - \DPtypo{Z}{z} = 0;
\]
\DPtypo{l'arète}{l'arête} de rebroussement est la courbe elle-même.
%% -----File: 024.png---Folio 16-------

\Paragraph{Remarque.} Le nom \DPtypo{d'arète}{d'arête} de rebroussement provient de ce fait
que la \emph{section de la développable par le plan normal en~$M$ à
l'arête de rebroussement présente au point~$M$ un point de rebroussement}.
En effet, rapportons la courbe au trièdre de Serret
relatif au point~$M$: les coordonnées d'un point de la courbe
voisin du point~$M$ sont, d'après les formules établies au~\no5
\begin{alignat*}{3}
x &= ds &{}- \frac{1}{\Err{6R}{6R^2}}\, ds^3 &+ \dots, \\
y &=    &  \frac{1}{2R}\, ds^2 &- \frac{1}{6R^2}\, \frac{dR}{ds}\, ds^3 + \dots, \\
z &=    &                      &- \frac{1}{6RT}\, ds^3 + \dots\Add{.}
\end{alignat*}
Les coordonnées d'un point de la tangente au point~$x\Add{,}y\Add{,}z$ sont
\begin{align*}
X &= x + \lambda\, \frac{dx}{ds}
   = \!\left(ds - \frac{1}{6R^2}\, ds^3 + \dots\right)
       + \lambda\! \left(1 - \frac{1}{2R^2}\, ds^2 + \dots\right)\Add{\!,} \\
Y &= y + \lambda\, \frac{dy}{ds}
   = \!\left(\!\frac{1}{2R}\, ds^2 - \frac{1}{6R^2}\, \frac{dR}{ds}\, ds^3 + \dots\!\right)
       + \lambda\! \left(\!\frac{1}{R}\, ds - \frac{1}{2R^2}\, \frac{dR}{ds}\, ds^2 + \dots\!\right)\Add{\!,} \\
Z &= z + \lambda\, \frac{dz}{ds}
   = \!\left(-\frac{1}{6RT}\, ds^3 + \dots\right)
       + \lambda\! \left(-\frac{1}{2RT}\, ds^2 + \dots\right)\Add{\!.}
\end{align*}
Prenons l'intersection de cette tangente avec le plan normal
$X = 0$, nous avons
\[
\lambda = -\frac{ds + \dots}{1 + \dots} = -ds + \dots
\]
et la courbe d'intersection \DPtypo{à}{a} pour équations
%
\begin{align*}
&\smash{\raisebox{-0.25in}{\Input[1.5in]{024a}}}&&
\begin{aligned}[b]
Y &= -\frac{1}{2R}\, ds^2 + \dots\Add{,} \\
Z &= \frac{1}{3RT}\, ds^3 + \dots\Add{.}
\end{aligned}
\end{align*}
On voit qu'elle a au point~$M$ un point de rebroussement, la
tangente de rebroussement étant la normale principale.%--

\Section{Surface rectifiante. Surface polaire\Add{.}}
{12.}{Remarques.} Cherchons les surfaces développables enveloppes
des faces du trièdre de Serret dans une courbe \DPtypo{gauch}{gauche}~$(C)$.
Nous venons de voir que \emph{le plan osculateur enveloppe la
surface développable qui admet pour arête de rebroussement~$(C)$}\Add{.}
%% -----File: 025.png---Folio 17-------

Considérons maintenant le plan rectifiant
\[
\sum a'(X - x) = 0
\]
la caractéristique est représentée par l'équation précédente
et par
\[
\frac{1}{R} \sum a(X - x) + \frac{1}{T} \sum a''(X - x) = 0\Add{.}
\]
Si on prend les axes de Serret ces équations deviennent
\[
Y=0,\qquad \frac{1}{R}\, X + \frac{1}{T}\, Z = 0,
\]
la caractéristique contient le point $Y = 0$, $X = -\dfrac{1}{T}$, $Z = \dfrac{1}{R}$,
extrémité du \Err{secteur}{vecteur} qui représente la rotation instantanée
du trièdre; \emph{c'est l'axe instantané de rotation du trièdre de
Serret}. Son lieu s'appelle la \emph{surface rectifiante}. Elle contient
la courbe~$(\DPtypo{c}{C})$.

Considérons enfin le plan normal
\[
\sum a(X - x) = 0;
\]
la \Ord{2}{e} équation de la caractéristique est
\[
\sum \frac{da}{ds}\, (X - x) - \sum a\, \frac{dx}{ds} = 0,
\]
ou
\[
\frac{1}{R} \sum a'(X - x) - 1 = 0.
\]
Cette caractéristique s'appelle la \emph{droite polaire}, et son
lieu s'appelle la \emph{surface polaire}.

Prenant de nouveau les axes de Serret, les équations de la
droite polaire deviennent
\[
X = 0,\qquad Y = R;
\]
Elle se confond donc avec \emph{l'axe du cercle osculateur}.

Si nous cherchons le point d'intersection de la droite
polaire avec l'arête de rebroussement de la surface polaire,
nous avons les \Card{3} équations
%% -----File: 026.png---Folio 18-------
\[
\sum a(X - x) = 0,\quad
\sum a'(X - x) - R = 0,\quad
\frac{1}{T} \sum a''(X - x) + \frac{dR}{ds} = 0\Add{,}
\]
qui deviennent, en prenant les axes de Serret,
\[
X = 0,\qquad Y = R,\qquad Z = -\frac{1}{T}\, \frac{dR}{ds}.
\]

Or\Add{,} ce sont les coordonnées du centre de la sphère osculatrice.
(Voir \No9).

Donc \emph{le point ou la droite polaire touche son enveloppe
est le centre de la sphère osculatrice à la courbe~$(\DPtypo{c}{C})$.
On peut dire encore que la courbe~$(\DPtypo{c}{C})$ est\DPtypo{}{ la} trajectoire orthogonale
des plans osculateurs au lieu des centres de ses sphères
osculatrices}.


\ExSection{I}

\begin{Exercises}
\item[1.] Trouver l'axe instantané de rotation et de glissement
du trièdre de Serret.

\item[2.] Trouver les hélices circulaires osculatrices à une
courbe gauche. Déterminer celle de ces hélices qui a même torsion
que la courbe \DPtypo{donnee}{donnée}.

\item[3.] Approfondir les relations entre une courbe et le lieu
des centres de ses sphères osculatrices (courbure, torsion,
\DPtypo{élement}{élément} d'arc).

\item[4.] Chercher la condition nécessaire et suffisante pour
qu'une courbe soit une courbe \DPtypo{spherique}{sphérique}.

\item[5.] Déterminer toutes les courbes satisfaisant aux relations:
\[
\frac{dR}{ds} = F(R),\qquad T = G(R),
\]
où $F$~et~$G$ sont des fonctions données.

\item[6.] Déterminer toutes les courbes à courbure constante.

\item[7.] Déterminer toutes les courbes à torsion constante.
\end{Exercises}

%Voir les énoncés, page 18.
%% -----File: 027.png---Folio 19-------


\Chapitre{II}{Surfaces.}

\Section[Courbes tracées sur une surface. Longeurs d'arc et angles.]
{Le $ds^2$ de la surface, et les angles.}
{1.}{Courbes tracées sur une surface. Longueurs d'arc et
angles.} Les coordonnées d'un point d'une surface peuvent
s'exprimer en fonction de deux paramètres arbitraires
\[
\Tag{(S)}
x = f(u\Add{,} v),\qquad
y = g(u\Add{,} v),\qquad
z = h(u\Add{,} v);
\]
$u\Add{,} v$ sont les \emph{coordonnées curvilignes} d'un point de la surface~$(S)$.
On définira une courbe~$(c)$ de la surface en établissant
une relation entre $u, v$; ou, ce qui revient au même, en exprimant
$u, v$ en fonction d'un même paramètre~$t$
\[
\Tag{(c)}
u = \phi(t),\qquad
v = \psi(t).
\]
La tangente à cette courbe a pour paramètres directeurs
\[
\Tag{(1)}
dx = \frac{\dd x}{\dd u}\, du + \frac{\dd x}{\dd v}\, dv,\qquad
dy = \frac{\dd y}{\dd u}\, du + \frac{\dd y}{\dd v}\, dv,\qquad
dz = \frac{\dd z}{\dd u}\, du + \frac{\dd z}{\dd v}\, dv;
\]
la tangente est déterminée par les différentielles $du, dv$.

L'élément d'arc a pour expression:
\[
\Tag{(2)}
ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2
  = E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2 = \Phi(du, dv)
\]
en posant
\[
E = \sum \left(\frac{\dd x}{\dd u}\right)^2,\qquad
F = \sum \frac{\dd x}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\Err{\dd v^2}{\dd v}},\qquad
G = \sum \left(\frac{\dd x}{\dd v}\right)^2.
\]

Imaginons \Card{2} courbes passant par un même point $(u, v)$ de la
surface; soient $du, dv$ les différentielles correspondant à l'une
d'elles; $\delta u, \delta v$ celles correspondant à l'autre; $ds, \delta s$ les différentielles
des arcs correspondants. Si $V$~est l'angle des deux
courbes, nous avons
\[
\Cos V = \sum \frac{dx·\delta x}{ds·\delta s};
\]
or,
\begin{align*}
\sum dx·\delta x
  &= \sum \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, du       + \frac{\dd x}{\dd v}\,  dv\right)
          \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, \delta u + \frac{\dd x}{\dd \DPtypo{u}{v}}\, \delta v\right) \\
  &=  E\, du\, \delta u + F (du\, \delta v + dv\, \delta u) + G\, dv\, \delta v;
\end{align*}
%% -----File: 028.png---Folio 20-------
c'est une forme polaire de la forme quadratique $\Phi(du, dv)$
et on a
\[
\Tag{(3)}
\Cos V = \frac{1}{2}\, \frac{\delta u\, \dfrac{\dd\Phi(du, dv)}{\dd·du}
                           + \delta v\, \dfrac{\dd\Phi(du, dv)}{\dd·dv}}
   {\sqrt{\Phi(du, dv) · \Phi(\delta u, \delta v)}}
\]

Pour que les deux courbes soient orthogonales, il faut et
il suffit que $\Cos V = 0$, ou
\[
\Tag{(4)}
E\, du·\delta u + F(du·\delta v + dv·\delta u) + G·dv·\delta v = 0.
\]
En particulier, cherchons à quelles conditions les courbes coordonnées
$u = \Cte$ et $v = \Cte$ forment un réseau orthogonal;
alors $dv = 0$, $\DPtypo{du}{\delta u} =0$, la condition précédente se réduit à
\[
F\, du\, \delta v = 0,
\]
et comme $du\Add{,} \DPtypo{dv}{\delta v}$ ne sont pas constamment nuls, on a $F = 0$. Dans
ce cas, le carré de l'élément d'arc prend la forme
\[
ds^2 = E\, du^2 + G\, dv^2.
\]

\Paragraph{Remarque.} Si on définit la surface par une équation de
la forme
\[
Z = f(x\Add{,} y)
\]
en désignant comme d'habitude par $p, q$ les dérivées partielles
de~$Z$ par rapport à $x, y$, on a
\[
ds^2 = dx^2 + dy^2 + (p\, dx + q\, dy)^2
  = (1 + p^2)\, ds^2 + 2pq\, dx\, dy + (1 + q^2)\, dy^2\Add{,}
\]
\DPtypo{C.à.d.}{\DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire}}
\[
E = 1 + p^2,\qquad F = pq,\qquad G = 1 + q^2.
\]


\Section{Déformation et représentation conforme.}
{2.}{Surfaces applicables. Représentations conformes.}
Considérons deux surfaces $(\Err{S'}{S})\Add{,} (S')$
\begin{alignat*}{3}
\Tag{(S)}
x &= f(u, v),   &y &= g(u, v),   &z &= h(u\Add{,} v) \\
\Tag{(S')}
x &= F(u', v'),\qquad &y &= G(u', v'),\qquad &z &= H(u', v')
\end{alignat*}
on peut établir une correspondance point par point entre ces
deux surfaces, et cela d'une infinité de manières. Il suffit
de poser
\[
u' = \phi(u, v),\qquad
v' = \psi(u\Add{,} v),
\]
les fonctions $\psi, \phi$ étant quelconques; à condition toutefois que
%% -----File: 029.png---Folio 21-------
les équations précédentes soient résolubles en $u, v$. Les équations
de la surface~$(S')$ peuvent alors se mettre sous la forme
\[
\Tag{(S')}%[** TN: Duplicate label, re-expresses earlier equation (S')]
x = \Err{F}{F_{1}}(u\Add{,} v),\qquad
y = \Err{G}{G_{1}}(u\Add{,} v),\qquad
z = \Err{H}{H_{1}}(u\Add{,} v),
\]
ce qui revient à dire que les points correspondants correspondent
aux mêmes systèmes de valeurs des paramètres.

Soient les éléments d'arcs sur ces \Card{2} surfaces
\begin{alignat*}{3}
ds^2   &= E\,   du^2 &&+ 2F\,   du·dv &&+ G\,   dv^2 \\
ds_1^2 &= E_1\, du^2 &&+ 2F_1\, du·dv &&+ G_1\, dv^2
\end{alignat*}
Supposons ces éléments d'arc identiques, $E \equiv E_1$, $F \equiv F_1$, $G \equiv G_1$.
Si alors $u, v$ sont exprimés en fonction du paramètre~$t$, les arcs
des deux courbes correspondantes sur les deux surfaces compris
entre \Card{2} points correspondants ont tous deux pour expression
\[%[** TN: Not displayed in original]
\int_{t_0}^{t_1} \sqrt{E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2},
\]
$t_0, t_1$ étant les valeurs de~$t$ correspondant
aux extrémités. Réciproquement, si les arcs homologues
de deux courbes homologues sur les deux surfaces ont même
longueur, les éléments d'arc sont identiques sur les deux surfaces.
On dit que les deux surfaces sont \emph{applicables} l'une
sur l'autre, ou résultent l'une de l'autre par \emph{déformation}.

Dans cette correspondance, la fonction~$\Phi$ étant la même
pour les \Card{2} surfaces, la formule~\Eq{(3)} montre que les angles se
conservent. Mais la réciproque n'est pas vraie. L'expression
de~$\Cos V$ est homogène et du \Ord{1}{er} degré en $E\Add{,} F\Add{,} G$; pour que les angles
de deux courbes homologues soient égaux, il faut et il suffit
que
\[
\Err{\frac{E_1}{E} = \frac{F_1}{F} = \frac{G_1}{G}}
    {\frac{E}{E_1} = \frac{F}{F_1} = \frac{G}{G_1}} = \chi(u,v),
\]
ce rapport étant indépendant de $du, dv$. On dit dans ce cas qu'il
y a \emph{représentation conforme} des deux surfaces l'une sur l'autre.


\Section{Problème de la représentation conforme.}
{}{\DPchg{Etant}{Étant} données deux surfaces, il est toujours possible d'établir
entre elles une représentation conforme.} Ceci revient
à dire que l'on peut exprimer $u_1, v_1$ en fonction de $u, v$ de
%% -----File: 030.png---Folio 22-------
telle sorte que l'on ait,
\[
E\, du^2 + 2F\, du·dv + G\, dv^2 = \chi(u, v)(E_1\, du^2 + 2F_1\, du·dv + G_1\, dv^2).
\]
Décomposons les deux $ds^2$ en facteurs du \Ord{1}{er} degré. Remarquons
que $EG - F^2$ est la somme des carrés des déterminants déduits du
tableau
\[
\begin{Vmatrix}
\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\
\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v}
\end{Vmatrix};
\]
$EG - F^2$ est positif pour toute surface réelle. Posons
\[
EG - F^2 = H^2;
\]
alors
\[
ds^2 = E\left(du + \frac{F + iH}{E}\, dv\right)
        \left(du + \frac{F - iH}{E}\, dv\right);
\]
chacun des facteurs du \Ord{2}{e} membre admet un facteur intégrant.
On a donc
\begin{align*}
du + \frac{F + iH}{E}\, dv &= M(u, v)\, d\alpha(u\Add{,} v)\Add{,} \\
du + \frac{F - iH}{E}\, dv &= N(u, v)\, d\beta(u\Add{,} v)\Add{.}
\end{align*}
Les fonctions $\alpha\Add{,} \beta$ sont indépendantes; en effet $d\alpha$~et~$d\beta$ ne
peuvent s'annuler en même temps si $H \neq 0$, ce que nous supposons.
Nous pouvons donc prendre $\alpha, \beta$ comme coordonnées curvilignes
sur la \Ord{1}{ère} surface, et nous avons
\begin{align*}
ds^2 &= P(u, v)\, d\alpha·d\beta
  = \Theta(\alpha, \beta)\, d\alpha·d\beta\Add{.} \\
\intertext{De même pour la \Ord{2}{e} surface, nous pourrons écrire}
ds_1^2 &= P_1(u_1, v_1)\, d\alpha_1·d\beta_1
  = \Theta_1(\alpha_1, \beta_1)\, d\alpha_1·d\beta_1.
\end{align*}
Nous aurons alors à satisfaire à l'équation
\[
\Theta(\alpha, \beta)\, d\alpha · d\beta
  = \Omega(\alpha, \beta)\, \Theta_1(\alpha_1, \beta_1)\, d\alpha_1 · d\beta_1\Add{.}
\]

Remarquons que pour $d\alpha = 0$, on doit avoir $d\alpha_1 · d\beta_1 = 0$.
Si nous prenons $d\alpha_1 = 0$,  $\alpha_1$~sera fonction de~$\alpha$ et de même $\beta_1$~sera
fonction de~$\beta$
\[
\alpha_1(u_1, v_1) = \phi\bigl(\alpha(u, v)\bigr)\Add{,}\qquad
\beta_1 (u_1, v_1) = \psi\bigl(\beta (u, v)\bigr)\Add{.}
\]
%% -----File: 031.png---Folio 23-------
Au contraire en prenant $d\beta_1 = 0$, $\beta_1$~sera fonction de~$\alpha$ et de
même~$\alpha_1$, de~$\beta$
\[
\beta_1 (u_1, v_1) = \phi\bigl(\alpha(u, v)\bigr)\qquad
\alpha_1(u_1, v_1) = \psi\bigl(\beta (u, v)\DPtypo{}{\bigr)}\Add{.}
\]
On voit donc bien que l'on peut toujours établir une représentation
conforme. Et nous avons de plus la solution \DPtypo{génerale}{générale}
de ce problème.


\Section{Condition pour que deux surfaces soient applicables.}
{}{Deux surfaces données ne sont pas en général applicables
l'une sur l'autre.}

Autrement dit, étant données deux surfaces, il est impossible
d'établir entre elles une correspondance telle que $ds^2 = ds_1^2$\Add{.}
En effet, en reprenant le calcul précédent, il faudrait satisfaire
à la relation
\[
\Theta(\alpha, \beta)\, d\alpha · d\beta = \Theta_1(\alpha_1, \beta_1)\, d\alpha_1 \Add{·} d\beta_1,
\]
il faudrait comme \DPtypo{précedemment}{précédemment}, prendre par exemple
\[
\alpha_1 = \phi(\alpha)\qquad \beta_1 = \psi(\beta);
\]
et la relation à satisfaire devient
\[
\Theta(\alpha, \beta)
  = \Theta_1\bigl(\phi(\alpha), \psi(\beta)\bigr)\, \phi'(\alpha)\, \psi'(\beta);
\]
il est facile de voir que, les fonctions $\Theta, \Theta_1$\DPtypo{,}{} étant données\Add{,}
il est impossible en général de trouver des fonctions $\phi, \psi$,
satisfaisant à cette relation. Considérons en effet le cas
particulier où la deuxième surface est le plan $z = 0$. Dans
ce cas $ds_1^2 = dx^2 + dy^2 = d\alpha_1 · d\beta_1$ et on devrait avoir
\[
\Theta(\alpha, \beta) = \phi'(\alpha)\, \psi'(\beta)\Add{;}
\]
or\Add{,} la fonction $\Theta$ étant quelconque, n'est pas le produit d'une
fonction de~$\alpha$ par une fonction de~$\beta$.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'on ait
\[
\log \Theta(\alpha, \beta) = \log \phi'(\alpha) + \log \psi'(\beta),
\]
ou
\[
\frac{\dd^2 \log \Theta(\alpha, \beta)}{\dd\alpha · \dd\beta} = 0.
\]
%% -----File: 032.png---Folio 24-------
Nous venons ainsi de montrer qu'une surface n'est pas en
général applicable sur un plan, et de trouver la condition
pour qu'une surface soit applicable sur un plan.


\Section{Les \DPtypo{Directions}{directions} conjuguées et la forme \texorpdfstring{$\sum l\, d^{2}x$}{}\Add{.}}
{3.}{Développables circonscrites. Directions conjuguées\Add{.}}

Corrélativement aux courbes tracées sur la surface,
lieux de $\infty^{1}$~points de la surface, nous considérerons les
développables circonscrites, enveloppes de $\infty^{1}$~plans tangents
à la surface. Définissons le plan tangent en un point de
la surface. Soient $l, m, n$ les coefficients directeurs de la
normale, et supposons les coordonnées rectangulaires. Nous
devons avoir pour toute courbe de la surface
\[
l\, dx + m\, dy + n\, dz = 0;
\]
en particulier, pour les courbes coordonnées, $u = \cte$ et $v = \cte$
nous aurons
\begin{align*}
l\, \frac{\dd x}{\dd u} + m\, \frac{\dd y}{\dd u} + n\, \frac{\dd z}{\dd u} &= 0\Add{,} \\
l\, \frac{\dd x}{\dd v} + m\, \frac{\dd y}{\dd v} + n\, \frac{\dd z}{\dd v} &= 0\Add{,}
\end{align*}
et ces relations montrent que $l, m, n$, sont proportionnels aux
déterminants fonctionnels $A, B, C$,
\[
\Tag{(1)}
A = \frac{\dd y}{\dd u}\, \frac{\dd z}{\dd v} - \frac{\dd z}{\dd u}\, \frac{\dd y}{\dd v}
  = \frac{D(y, z)}{D(u, v)},\qquad
B = \frac{D(z, x)}{D(u, v)},\qquad
C = \frac{D(x, y)}{D(u, v)};
\]
nous avons vu d'ailleurs que $A^2 + B^2 + C^2 = H^2$;
donc les \DPtypo{cosimus}{cosinus} directeurs de la normale sont
\[
\Tag{(2)}
\lambda = \frac{A}{H},\qquad \mu = \frac{B}{H},\qquad \nu = \frac{C}{H}.
\]

Considérons une développable circonscrite; nous pourrons
la définir en exprimant $u, v$ en fonction d'un paramètre~$t$,
%% -----File: 033.png---Folio 25-------
\[
u = \phi(t),\qquad
v = \psi(t);
\]
alors le point $(u\Add{,} v)$ décrit une courbe de la surface, soit~$(c)$,
et les plans tangents à la surface aux divers points de~$(c)$
enveloppent la développable considérée. Le plan tangent
à la surface au point $(x\Add{,} y\Add{,} z)$ est, $X\Add{,} Y\Add{,} Z$ étant les coordonnées courantes,
\[
l·(X - x) + m·(Y - y) + n·(Z - z) = 0;
\]
la caractéristique est définie par l'équation précédente et
par l'équation
\[
dl·(X - x) + dm·(Y - y) + dn·(Z - z) = 0
\]
obtenue en différentiant la précédente par rapport à~$t$, et
remarquant que l'on~a
\[
l\, dx + m\, dy + n\, dz = 0\Add{.}
\]

Voyons quelle est la direction de cette caractéristique\Add{.}
Soient $\delta x, \delta y, \delta z$ ses coefficients de direction. Elle est
tangente à la surface, donc on peut poser
\[
\delta x = \frac{\dd x}{\dd u}\, \delta u + \frac{\dd x}{\dd v}\, \delta v,\quad
\delta y = \frac{\dd y}{\dd u}\, \delta u + \frac{\dd y}{\dd v}\, \delta v,\quad
\delta z = \frac{\dd z}{\dd u}\, \delta u + \frac{\dd z}{\dd v}\, \delta v;
\]
en remplaçant $X-x, Y-y, Z-z$ par les quantités proportionnelles
$\delta x, \delta y, \delta z$, on obtient
\[
dl · \delta x + dm · \delta y + dn · \delta z = 0;
\]
or\Add{,} on a
\[
dl = \frac{\dd l}{\dd u}\, du + \frac{\dd l}{\dd v}\, dv,\quad
dm = \frac{\dd m}{\dd u}\, du + \frac{\dd m}{\dd v}\, dv,\quad
dn = \frac{\dd n}{\dd u}\, du + \frac{\dd n}{\dd v}\, dv;
\]
donc la relation
\[
\sum dl · \delta x = 0\DPtypo{.}{}
\]
s'écrit
\[
\sum \left(\frac{\dd l}{\dd u}\, du + \frac{\dd l}{\dd v}\, dv\right)
     \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, \delta u + \frac{\dd x}{\dd v}\, \delta v\right) = 0.
\]
%% -----File: 034.png---Folio 26-------
Ordonnons par rapport à $du, dv$, $\delta u, \delta v$. Remarquons que l'on a
\[
\sum l\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0;
\]
d'où en dérivant par rapport à~$u$
\[
\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2} + \sum \frac{\dd l}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0;
\]
de même, la relation
\[
\sum l\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0
\]
donne
\[
\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd v^2} + \sum \frac{\dd l}{\dd v}\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0;
\]
et
\[
\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v} + \sum \frac{\dd l}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0;
\]
de sorte que la relation précédente s'écrit
\[
\Tag{(3)}
\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2}\, du · \delta u +
\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\, (du · \delta v + dv\Add{·} \delta u) +
\DPtypo{}{\sum} l\, \frac{\dd^2 x}{\dd v^2}\, dv · \delta v = 0\Add{.}
\]
Telle est la relation qui existe entre les coefficients de direction
de la caractéristique et de la tangente à la courbe de
contact. Elle serait visiblement la même en coordonnées obliques,
$l, m, n$ étant alors les coefficients de l'équation du plan tangent
soit
\[
\Tag{(4)}
E' = \sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2},\qquad
F' = \sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v},\qquad
G' = \sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd v^2},
\]
et
\[
\Tag{(5)}
\Psi(du\Add{,} dv) = E'\, du^2 + 2F'\, du\, dv + G'\, dv^2.
\]
On a, en particulier, quand on prend $l = A$, $m = B$, $n = C$:
\[
E' = \begin{vmatrix}
\mfrac{\dd^2 x}{\dd u^2} & \mfrac{\dd^2 y}{\dd u^2} & \mfrac{\dd^2 z}{\dd u^2} \\
\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\
\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v}
\end{vmatrix},\
%
F' = \begin{vmatrix}
\mfrac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^2 y}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^2 z}{\dd u\, \dd v} \\
\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\
\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v}
\end{vmatrix},\
%
G' = \begin{vmatrix}
\mfrac{\dd^2 x}{\dd v^2} & \mfrac{\dd^2 y}{\dd v^2} & \mfrac{\dd^2 z}{\dd v^2} \\
\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\
\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v}
\end{vmatrix}\Add{.}
\]
La relation précédente s'écrira alors
\[
E' · du\, \delta u + F' · (du\, \delta v + dv\, \delta u) + G' · dv\, \delta v = 0,
\]
ou
\[
\Tag{(6)}
\frac{\dd\Psi(du, dv)}{\dd\Add{·} du}\, \delta u + \frac{\dd\Psi(du, dv)}{\dd\Add{·} dv}\, \delta v = 0.
\]
%% -----File: 035.png---Folio 27-------
Cette relation est symétrique par rapport à $d, \delta$; \emph{il y a donc
réciprocité entre la direction de la tangente à la courbe de
contact de la développable et la direction de la caractéristique
du plan tangent à cette développable}. Ces deux directions
sont dites \emph{directions conjuguées}.

Cherchons en particulier la condition pour que les courbes
$u = \cte$, $v = \cte$ forment un réseau conjugué. Alors, $dv = 0$\Add{,} $\delta u = 0$
la condition est $F' = 0$.

\Paragraph{Remarque.} On a
\begin{gather*}
dx = \frac{\dd x}{\dd u}\, du + \frac{\dd x}{\dd v}\, dv, \\
d^2 x = \frac{\dd x}{\dd u}\, d^2 u
      + \frac{\dd x}{\dd v}\, d^2 v
      + \frac{\dd^2 x}{\DPtypo{\dd u}{\dd u^2}}\, du^2
      + 2 \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\, du\, dv
      + \frac{\dd^2 x}{\DPtypo{\dd v}{\dd v^2}}\, dv^2.
\end{gather*}
On en conclut, à cause de
\[
\sum l\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0,\qquad
\sum l\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0,
\]
l'identité
\[
\sum l\, d^2x
  = \left(\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2}\right) du^2
  + 2 \left(\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\right) du\, dv
  + \left(\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd v^2}\right) dv^2\Add{,}
\]
c'est-à-dire
\[
\sum l\, d^2 x = \Psi(du, dv).
\]


\Section{Formules fondamentales pour une courbe de la surface.}
{4.}{\DPchg{Eléments}{Éléments} fondamentaux d'une courbe de la surface.}

Nous considérerons en un point de la courbe le trièdre
de Serret, et un trièdre constitué par la tangente à la courbe,
la normale~$MN$ à la surface, et la tangente~$MN'$ à la surface
qui est normale à la courbe. Nous choisirons les directions
positives de telle façon que le trièdre ainsi constitué
ait même disposition que le trièdre de Serret, de sorte que
%% -----File: 036.png---Folio 28-------
si $l, m, n$ sont les cosinus directeurs de la normale à la surface,
$a_1, b_1, c_1$ de la tangente à la surface normale
à la courbe, on ait
\[
\begin{vmatrix}
a   & b   & c   \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
l   & m   & n
\end{vmatrix} = 1.
\]

\Illustration[2.5in]{036a}
Les \Card{2} trièdres considérés ont un axe
commun et de même direction, qui est
la tangente. Pour les définir l'un par rapport à l'autre, il
suffira de se donner l'angle d'une des arêtes de l'un avec
l'une des arêtes de l'autre. Nous nous donnerons l'angle
dont il faut faire tourner la demi-normale principale~$MP$ pour
l'amener à \DPtypo{coincider}{coïncider} avec la demi-normale à la surface~$MN$, le
sens positif des relations étant défini par la direction positive
$MT$ de l'axe de rotation. Cherchons les relations qui existent
entre les cosinus directeurs des arêtes de ces trièdres.
Quand on passe de l'un à l'autre, on fait en réalité une
transformation de coordonnées autour de l'origine dans le
plan normal. Considérons le point à l'unité de distance de~$M$ sur
$MN(l, m, n)$. Rapporté au système~$PMB$ il a pour coordonnées $\cos\theta$
et $\sin\theta$, donc
\[
\Tag{(1)}
l = a' \cos \theta + a'' \sin \theta\Add{,}\qquad
m = b' \cos \theta + b'' \sin \theta\DPtypo{;}{,}\qquad
n = c' \cos \theta + c'' \sin \theta;
\]
de même le point à l'unité de distance sur $MN'(a_1, b_1, c_1)$ rapporté
au système $PMB$ a pour coordonnées $\cos (\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin \theta$
et $\sin (\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos \theta$, donc
%% -----File: 037.png---Folio 29-------
\[
\Tag{(1')}%[** TN: Renumbered duplicate equation (1)]
a_1 = a' · \sin \theta - a'' · \cos \theta,\quad
b_1 = b' · \sin \theta - b'' · \cos \theta,\quad
c_1 = c' · \sin \theta - c'' · \cos \theta.
\]
On aura donc, en faisant la transformation de coordonnées
inverse
\[
\Tag{(2)}
\begin{aligned}
a'  &= l \cos \theta + a_1 \sin \theta, &
b'  &= m \cos \theta + b_1 \sin \theta, &
c'  &= n \cos \theta + c_1 \sin \theta, \\
a'' &= l \sin \theta - a_1 \cos \theta, &
b'' &= m \sin \theta - b_1 \cos \theta, &
c'' &= n \sin \theta - c_1 \cos \theta.
\end{aligned}
\]
Différentions les formules~\Eq{(1)} par rapport à~$s$: il vient
\begin{alignat*}{5}
&\frac{dl}{ds}
  = (-a'\Add{·}\sin \theta + a'' · \cos\theta)\, &&\frac{d\theta}{ds}
  &&+ \cos \theta\, \frac{da'}{ds} &&+ \sin\theta\, \frac{da''}{ds},
  \quad&&\text{et les analogues;} \\
&\frac{da_1}{ds}
  = (a'\Add{·}\cos\theta + a'' · \sin \theta )\, &&\frac{d\theta}{ds}
  &&+ \sin \theta\, \frac{da'}{ds} &&- \cos\theta\, \frac{da''}{ds},
  \quad&&\text{et les analogues;}
\end{alignat*}
d'où, en tenant compte des formules de Frenet et des relations \Eq{(1)}\Add{,}~\Eq{(2)}
\begin{align*}
\Tag{(3)}
\frac{dl}{ds}
  &= a_1 \left(\frac{1}{T} - \frac{d\theta}{ds}\right) - \frac{a \cos\theta}{R}
    \qquad\text{et les analogues}; \\
\Tag{(4)}
\frac{da_1}{ds}
  &= -l \left(\frac{1}{T} - \frac{d\theta}{ds}\right) \Err{}{-} \frac{a \sin\theta}{R}
    \qquad\PadTxt{et les analogues}{(id.)}; \\
\intertext{\DPtypo{Enfin}{enfin} nous avons}
\Tag{(5)}
\frac{da}{ds}
  &= \frac{a'}{R} = l\, \frac{\cos \theta}{R} + a_1\, \frac{\sin \theta}{R}
    \quad\qquad\PadTxt{et les analogues}{(id.)};
\end{align*}
\emph{les formules fondamentales \Eq{(3)}\Add{,} \Eq{(4)}\Add{,} \Eq{(5)} permettent de calculer
$\theta, R\Add{,} T$, c'est-à-dire de déterminer le plan osculateur, la
courbure et la torsion de la courbe considérée}.

\MarginNote{Formule pour $\dfrac{\cos\theta}{R}$\Add{.}}
En effet, les formules~\Eq{(5)} nous donnent d'abord
\[
\frac{\cos \theta}{R}
  = \sum l\, \frac{da}{ds}
  = \sum l\, \frac{d^2x}{ds^2}
  = \frac{1}{H} \sum A\, \frac{d^2x}{ds^2},
\]
c'est-à-dire, d'après le calcul du paragraphe précédent, et
%% -----File: 038.png---Folio 30-------
et en posant:
\begin{gather*}
E' = \sum A\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2},\qquad
F' = \sum A\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v},\qquad
G' = \sum A\, \frac{\dd^2 x}{\dd v^2}, \\
\frac{\cos\theta}{R}
  = \frac{1}{H}\, \frac{E' · du^2 + 2F' · du\, dv + G'\Add{·} dv^2}{ds^2},
\end{gather*}
ou enfin
\[
\Tag{(6)}
\frac{\cos \theta}{R} = \frac{1}{H} · \frac{\Psi(du, dv)}{\Phi(du, dv)}.
\]

\MarginNote{Formule pour $\dfrac{\sin\theta}{R}$\Add{.}}
Les formules~\Eq{(5)} donnent encore
\[
\frac{\sin \theta}{R}
  = \sum a_1\, \frac{da}{ds}
  = \sum a_1\, \frac{d^2x}{ds^2}\Add{.}
\]
Remarquons que
\[
\sum a_1\, \frac{d^2x}{\Err{ds}{ds^2}}
  = \frac{1}{ds^2}
  \begin{vmatrix}
    a     & b     & c     \\
    d^2 x & d^2 y & d^2 z \\
    l     & m     & n
  \end{vmatrix}
  = \frac{1}{ds^3}
  \begin{vmatrix}
    dx    & dy    & dz    \\
    d^2 x & d^2 y & d^2 z \\
    l     & m     & n
  \end{vmatrix};
\]
pour calculer le déterminant, multiplions-le par
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd x}{\dd u} &  \mfrac{\dd y}{\dd u} &  \mfrac{\dd z}{\dd u} \\
\mfrac{\dd x}{\dd v} &  \mfrac{\dd y}{\dd v} &  \mfrac{\dd z}{\dd v} \\
l & m & n
\end{vmatrix}
= Al + Bm + Cn = \frac{A^2 + B^2 + C^2}{H} = H;
\]
le produit est
\[
\begin{vmatrix}
\sum \mfrac{\dd x}{\dd u}\, dx   & \sum \mfrac{\dd x}{\dd v}\, dx   & \sum l\, dx   \\
\sum \mfrac{\dd x}{\dd u}\, d^2x & \sum \mfrac{\dd x}{\dd v}\, d^2x & \sum l\, d^2x \\
\sum l\, \mfrac{\dd x}{\dd u}    & \sum l\, \mfrac{\dd x}{\dd v}    & \sum l^2
\end{vmatrix};
\]
or\Add{,} nous avons
\begin{gather*}
\sum \frac{\dd x}{\dd u} · dx  = \sum \frac{\dd x}{\dd u} · \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, du + \frac{\dd x}{\dd v}\, dv\right) = E\, du + F\, dv, \\
\sum \frac{\dd x}{\dd v} · dx  = \DPtypo{}{\sum} \frac{\dd x}{\dd v} · \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, du + \frac{\dd x}{\dd v}\, dv\right)  = F\, du + G\, dv, \\
\sum l\, dx = \sum l\, \frac{\dd x}{\dd u} = \sum l\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0,
\end{gather*}
%% -----File: 039.png---Folio 31-------
\begin{align*}
\sum \frac{\dd x}{\dd u}\, d^2x
  &= \sum \frac{\dd x}{\dd u} \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, d^2u + \frac{\dd x}{\dd v}\, d^2v
   + \frac{\dd^2 x}{\dd u^2}\, du^2 + 2\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\, du\, dv + \frac{\dd^2 x}{\dd v^2}\, dv^2\right) \\
%
  &= E\, d^2u + F\, d^2v + \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd u}\, du^2 + \frac{\dd E}{\dd v}\, du·dv + \left(\frac{\dd F}{\dd v} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd u}\right) dv^2, \\
%
\sum \frac{\dd x}{\dd v}\, d^2x
  &= \sum \frac{\dd x}{\dd v} \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, d^2u + \frac{\dd x}{\dd v}\, d^2v
   + \frac{\dd^2 x}{\dd u^2}\, du^2 + 2\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\, du\, dv + \frac{\dd^2 x}{\dd v^2}\, dv^2\right) \\
%
  &= F\, d^2u + G\, d^2v + \left(\frac{\dd F}{\dd u} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v}\right) du^2 + \frac{\dd G}{\dd u}\, du\, dv + \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd v}\, dv^2.
\end{align*}

Le produit précédent s'écrit donc
\[
\begin{vmatrix}
E\, du + F\, dv & F\, du + G\, dv  & 0 \\
\left[
\begin{aligned}%[** TN: Reformatted very wide entry]
  &E\, d^2u + F\, d^2v \\
  &+ \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd u}\, du^2
  + \mfrac{\dd E}{\dd v}\, du\, dv
  + \left(\mfrac{\dd F}{\dd v} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd u}\right) dv^2
\end{aligned}
\right]
  & F\, d^2u + G\, d^2v + \dots  & \sum l\, d^2x \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
\]
ou
\[
-\begin{vmatrix}
E\, d^2u + F\, d^2v
  + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd u}\, du^2
  + \mfrac{\dd E}{\dd v}\, du\, dv
  + \left(\mfrac{\dd F}{\dd v} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd u}\right) dv^2
  & E\, du + F\, dv \\
F\, d^2u + G\, d^2v
  + \left(\mfrac{\dd F}{\dd u} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd v}\right) du^2
  + \mfrac{\dd G}{\dd u}\, du\, dv
  + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd v}\, dv^2
  & F\, du + G\, dv
\end{vmatrix}.
\]
Ce déterminant peut se décomposer en deux, dont le \Ord{1}{er} est
\[
-\begin{vmatrix}
E\, d^2u + F\, d^2v & E\, du + F\, dv \\
F\, d^2u + G\, d^2v & F\, du + G\, dv
\end{vmatrix}
  = H^2\, (du·d^2v - dv·d^2u),
\]
et on a finalement
\begin{multline*}
\Tag{(7)}
\frac{\sin \theta}{R} = \frac{1}{H\, ds^3}
\left[\MStrut
\Err{\Omega^2}{-H^2}\, (du\Add{·}d^2v - dv·d^2u)\right. \\
- \left.\begin{vmatrix}
  \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd u}\, du^2
               + \mfrac{\dd E}{\dd v}\, du\, dv
               + \left(\mfrac{\dd F}{\dd v}
                 - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd u}\right) dv^2
  & E\, du + F\, dv \\
%
  \left(\mfrac{\dd F}{\dd u} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd v}\right) du^2
  + \mfrac{\dd G}{\dd u}\, du\, dv
  + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd v}\DPtypo{)}{}\, dv^2
  & F\, du + G\, dv
\end{vmatrix}\MStrut
\right]\Add{.}
\end{multline*}

\MarginNote{Formule pour $\dfrac{1}{T} - \dfrac{d \theta}{ds}$\Add{.}}
Enfin la formule~\Eq{(4)} nous donne
\[
\frac{1}{T} - \frac{d\theta}{ds} = \sum a_1\, \frac{dl}{ds}
  = \frac{1}{ds}
\begin{vmatrix}
a  & b  & c  \\
dl & dm & dn \\
l  & m  & n
\end{vmatrix}
  = \frac{1}{ds^2}
\begin{vmatrix}
dx & dy & dz \\
dl & dm & dn \\
l  & m  & n
\end{vmatrix};
\]
%% -----File: 040.png---Folio 32-------
pour calculer le déterminant, nous le multiplierons encore
par le même déterminant~$H$. Le produit sera,
\[
\begin{vmatrix}
\sum \mfrac{\dd x}{\dd u}\, dx & \sum \mfrac{\dd x}{\dd v}\, dx            & \sum l\, dx \\
\sum \mfrac{\dd x}{\dd u}\, dl & \sum \mfrac{\dd x}{\dd v}\, d\DPtypo{}{l} & \sum l\, dl \\
\sum l\, \mfrac{\dd x}{\dd u}  & \sum l\, \mfrac{\dd x}{\dd v}             & \sum l^2
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
E\, du + F\, dv                & F\, du + G\, dv                & 0 \\
\sum \mfrac{\dd x}{\dd u}\, dl & \sum \mfrac{\dd x}{\dd v}\, dl & 0 \\
0                              & 0                              & 1
\end{vmatrix}.
\]
Nous avons d'ailleurs
\[
\sum l\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0\Add{,}
\]
d'où en différentiant
\[
\sum \DPtypo{l}{dl}\, \frac{\dd x}{\dd u}
  = -\sum \DPtypo{dl}{l}
  \left(\frac{\dd^2 x}{\dd u^2}\, du + \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\, dv\right)
  = -\frac{1}{H}\, (E'\, du + F'\, dv);
\]
de même
\[
\sum dl\, \frac{\dd x}{\dd v} = -\frac{1}{H}\, (F' · du + G' · dv)\Add{;}
\]
le produit est donc
\[
-\frac{1}{H} \begin{vmatrix}
E\,  du + F\,  dv & F\,  du + G\,  dv \\
E'\, du + F'\, dv & F'\, du + G'\, dv
\end{vmatrix},
\]
et nous avons
\[
\Tag{(8)}
\frac{1}{T} - \frac{d\theta}{ds} = \frac{1}{H^2\, ds^2}
\begin{vmatrix}
E'\, du + F'\, dv & E\, du + F\, dv \\
F'\, du + G'\, dv & F\, du + G\, dv
\end{vmatrix}.
\]

Les \Card{3} formules \Eq{(6)}\Add{,}~\Eq{(7)}\Add{,}~\Eq{(8)} permettent de calculer les
\Card{3} éléments fondamentaux $\theta, R, T$.


\ExSection{II}

\begin{Exercises}
\item[8.] On considère la surface~$S$ lieu des sections circulaires diamétrales
d'une famille \DPchg{d'ellipsoides}{d'ellipsoïdes} homofocaux. Déterminer
sur~$S$ les trajectoires orthogonales des sections circulaires
qui l'engendrent.

\item[9.] Déterminer toutes les représentations conformes d'une sphère
sur un plan. Trouver celles qui donnent des systèmes connus
de projections cartographiques.

\item[10.] Sur une surface~$S$ on considère une courbe~$C$. Soit $M$ un de ses
points, $MT$~la tangente à~$C$, $MN$~la normale à~$S$, et $MN'$~la normale
à~$C$ qui \DPtypo{es}{et} tangente à~$(S)$. Montrer que les composantes
de la rotation instantanée du trièdre~$\Tri{M}{T}{N'}{N}$ par rapport aux
axes de ce trièdre sont les éléments fondamentaux $\dfrac{d\theta}{ds} - \dfrac{1}{T}$,
$-\dfrac{\cos\theta}{R}$, $\dfrac{\sin\theta}{R}$.

\item[11.]\phantomsection\label{exercice11}
Si les courbes coordonnées de la surface~$S$, de l'exercice
précédent, sont rectangulaires, soient $MU$~et~$MV$ leurs tangentes,
et soit~$\phi$ l'angle~$(MU, MT)$. Déduire de la considération
des mouvements des deux trièdres $\Tri{M}{T}{N'}{N}$~et~$\Tri{M}{U}{V}{N}$, lorsque $M$
décrit~$C$, une formule de la forme
\[
\frac{\sin\theta}{R} - \frac{d\phi}{ds}
  = r_{1}\frac{du}{ds} + r_{2}\frac{dv}{ds};
\]
et donner les expressions de $r_{1}$~et~$r_{2}$. Généraliser, en supposant
les coordonnées $u$~et~$v$ quelconques.
\end{Exercises}
%% -----File: 041.png---Folio 33-------


\Chapitre{III}{\DPchg{Etude}{Étude} des \DPtypo{Elements}{\DPchg{Eléments}{Éléments}} Fondamentaux des Courbes d'une
Surface.}


\Section{Courbure normale\Add{.}}
{1.}{} Reprenons la \Ord{1}{ère} formule fondamentale
\[
\frac{\Cos \theta}{R}
  = \frac{1}{H}\, \frac{E'\, du^2 + 2F'\, du\, dv + G'\, dv^2}
                       {E\,  du^2 + 2F\,  du\, dv + G\,  dv^2},
\]
les différentielles secondes $d^2 u, d^2 v$ n'y figurent pas; $\dfrac{\Cos \theta}{R}$
ne \DPtypo{depend}{dépend} que du rapport $\dfrac{dv}{du}$, c'est à dire de la direction
de la tangente, \emph{$\dfrac{\Cos \theta}{R}$~est le même pour toutes les courbes de
la surface tangentes à une même droite}. Considérons alors le
\Figure{041a}
centre de courbure~$C$ sur la normale principale~$MP$; si on prend
pour axe polaire la normale~$MN$ à la surface,
et pour pôle le point~$M$, $R\Add{,} \theta$ sont les
coordonnées polaires du point~$C$. L'équation
\[
\frac{\Cos \theta}{R} = \cte,
\]
représente un cercle; le lieu du point~$C$
est un cercle, ce qu'on peut encore voir comme il suit; considérons
la droite polaire, elle est dans le plan normal à
la courbe, donc elle rencontre la normale~$MN$ à la surface en
un point~$K$, et nous avons
\[
R = M K \cos \theta,
\]
ou
\[
M K = \frac{R}{\Cos \theta}.
\]
%% -----File: 042.png---Folio 34-------
$M K$~est constant, donc \emph{les droites polaires de toutes les
courbes d'une surface passant par un même point~$M$ de cette
surface et tangentes en ce point à une même droite rencontrent
en un même point~$K$ la normale en~$M$ à la surface. Le lieu des
centres de courbure de toutes ces courbes est le cercle de
diamètre $M K$ \(cercle de Meusnier\)}. En particulier supposons
$\theta = 0$, la normale principale se confond avec la normale à la
surface, le plan osculateur passe par la normale, il est normal
à la surface. Coupons la surface par ce plan, $K$~est le
centre de courbure en~$M$ de la section, soit $R_n$~le rayon de
courbure, nous avons
\[
\frac{\Cos \theta}{R} = \frac{1}{R_n},
\]
d'où
\[
R = R_n \Cos \theta.
\]
D'où le \emph{Théorème de Meusnier: Le centre de courbure en~$M$
d'une courbe tracée sur une surface est la projection sur le
plan osculateur en~$M$ à cette courbe du centre de courbure de
la section normale tangente en~$M$ à la courbe}.

Le Théorème est en \DPtypo{defaut}{défaut} si
\[
\Psi(du, dv) = E'\Add{·} du^2 + 2F'\, du · dv + G' · dv^2 = 0\Add{.}
\]
Alors $\dfrac{\Cos \theta}{R} = 0$, $R$~est en général infini. La formule devient
complètement indéterminée si on a en même temps $\Cos \theta = 0$,
alors la normale principale est perpendiculaire à la normale
à la surface, le plan osculateur à la courbe est tangent à la
surface. Les deux tangentes qui correspondent à ce cas d'exception
s'appellent \emph{les deux directions asymptotiques} (correspondant
au point~$M$ considéré).
%% -----File: 043.png---Folio 35-------

Le Théorème est également en défaut si
\[
\Phi(du, dv) = E\, du^2 + 2F · du · dv + G\, dv^2 = 0;
\]
alors $\dfrac{\cos \theta}{R}$ est infini, $R$~est nul en général. La direction de
la tangente est telle que
\[
dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0
\]
c'est une droite isotrope du plan tangent. Il y a donc \emph{deux
directions isotropes correspondantes à chaque point~$M$ de la
surface}.


\Section{Variations de la courbure normale\Add{.}}
{2.}{} Le Théorème de Meusnier nous montre que, pour étudier
la courbure des diverses courbes passant par un point d'une
surface, on peut se borner à considérer les sections normales
passant par les différentes tangentes à la surface au point
considéré.

Nous avons
\[
\frac{1}{R_n} = \frac{1}{H}\,
  \frac{E'\, du^2 + 2F'\, du · dv + G'\, dv^2}{E · du^2 + 2F\, du · dv + G · dv^2}\Add{.}
\]
Considérons dans la plan tangent en~$M$ les tangentes $M U, M V$
aux courbes coordonnées $v = \Cte$ et $u = \Cte$ qui passent par~$M$,
et considérons le trièdre constitué par $M U, M V$ et la normale
$M N$ à la surface: les cosinus directeurs des axes sont
\[
\begin{array}{lr@{\,}lr@{\,}lr@{\,}l}
MU: & \mfrac{dx}{ds}
  = \mfrac{\dd x}{\dd u}\Add{·} \mfrac{du}{ds} = \mfrac{1}{\sqrt{E}} · \mfrac{\dd x}{\dd u} =& l', &
\mfrac{1}{\sqrt{E}} · \mfrac{\dd y}{\dd u} =& m', &
\mfrac{1}{\sqrt{E}}\Add{·} \mfrac{\dd z}{\dd u} =& n'\Add{,} \\
%
MV: & \mfrac{dx}{ds}
  = \mfrac{\dd x}{\dd v} · \mfrac{dv}{ds} = \mfrac{1}{\sqrt{G}} · \mfrac{\dd x}{\dd v} = & l'', &
\mfrac{1}{\sqrt{G}} · \mfrac{\dd y}{\dd v} =& m'', &
\mfrac{1}{\sqrt{G}}\Add{·} \mfrac{\dd z}{\dd v} =& n''\Add{,} \\
%
MN: && \Err{1}{l}, && m, && n\Add{.}
\end{array}
\]
%% -----File: 044.png---Folio 36-------

Considérons alors une tangente $M T$ quelconque, \DPtypo{definie}{définie}
par les valeurs $du, dv$ des différentielles des coordonnées.
Les cosinus directeurs sont:
\begin{alignat*}{4}
\frac{dx}{ds}
  &= \frac{\dd x}{\dd u}\, \frac{du}{ds} &&+ \frac{\dd x}{\dd v}\, \frac{dv}{ds}
   &&= \sqrt{E}\, \frac{du}{ds} · l' &&+ \sqrt{G} · \frac{dv}{ds}\, l'', \\
%
\frac{dy}{ds}
  &= \frac{\dd y}{\dd u}\, \frac{du}{ds} &&+ \frac{\dd y}{\dd v}\, \frac{dv}{ds}
   &&= \sqrt{E}\, \frac{du}{ds} · m' &&+ \sqrt{G}\Add{·} \frac{dv}{ds}\, m'', \\
%
\frac{dz}{ds}
  &= \frac{\dd z}{\dd u}\, \frac{du}{ds} &&+ \frac{\dd z}{\dd v}\, \frac{dv}{ds}
   &&= \sqrt{E}\, \frac{du}{ds} · n' &&+ \sqrt{G}\Add{·} \frac{dv}{ds}\, n''\Add{.}
\end{alignat*}

Ces formules montrent que le segment directeur de $M T$
est la somme géométrique de deux segments, de valeurs algébriques
\[
\lambda = \sqrt{E}\, \frac{du}{ds},\qquad \mu = \sqrt{G}\, \frac{dv}{ds},
\]
portés respectivement sur $M U$~et~$M V$. En d'autres termes:
$\lambda, \mu$~sont les paramètres directeurs de~$M T$ dans le système
de coordonnées $U\Add{,} M\Add{,} V$.

La formule de $R_n$ devient, en y introduisant ces paramètres
directeurs:
\begin{align*}%[** TN: Not broken in original]
\frac{1}{R_n}
  &= \frac{1}{H}\left( E' \Bigl(\frac{du}{ds}\Bigr)^2 + 2 F'\, \frac{du}{ds} · \frac{dv}{ds} + G' \Bigl(\frac{dv}{ds}\Bigr)^2 \right) \\
  &= \frac{1}{H} \left(\frac{E'}{E}\, \lambda^2 + \frac{2F'}{\sqrt{EG}}\, \lambda \mu + \frac{G'}{G}\, \mu^2 \right)\Add{.}
\end{align*}
Et si on considère le point~$P$ obtenu en portant sur~$M T$ un
segment égal à $±\sqrt{R_n}$, le lieu de ce point~$P$, dont les coordonnées,
dans le système $M\Add{,} U\Add{,} V$, sont:
\[
U = ±\lambda \sqrt{R_n},\qquad
V = ±\mu \sqrt{R_n},
\]
aura pour équation
\[
\frac{E'}{E}\, U^2 + \frac{2F'}{\sqrt{EG}}\, UV + \frac{G'}{G}\, V^2 = H.
\]

C'est une conique à centre située dans le plan tangent,
qu'on appelle \emph{indicatrice} de la surface au point~$M$. La conique
\DPtypo{tracee}{tracée}, on a immédiatement le rayon de courbure d'une section
%% -----File: 045.png---Folio 37-------
normale quelconque, et on suit sans peine la variation du rayon
de courbure, quand $M T$ varie.

La nature de l'indicatrice dépend du signe de $\dfrac{E'G' - F'{}^2}{E\Del{·} G}$,
ou puisque $E\Add{,} G$ sont positifs, de $E'G' - F'{}^2$. Dans le cas
ou l'équation de la surface est
\[
Z = f(x, y)
\]
on a en prenant les notations habituelles
\[
ds^2 = (1 + p^2) · dx^2 + 2pq · dx · dy + (1 + q^2)\Add{·} dy^2
\]
d'où
\[
E = 1 + p^2\Add{,}\qquad F = p \Del{·} q\Add{,}\qquad G = 1 + q^2
\]
et
\[
H = \sqrt{E · G - F^2} = \sqrt{1 + p^2 + q^2}\Add{.}
\]
Maintenant
\[
A = -p,\qquad B = -q,\qquad C = 1,
\]
et
\[
\sum A · d^2x = -\sum dA · dx  = dp · dx + dq\Add{·} dy\Add{.}
\]
Mais
\[
dp = r\, dx + s\, dy,\qquad
dq = s\, dx + t · dy,
\]
donc
\[
\sum A · d^2x = r · \Err{d^2x}{dx^2} + 2s · dx\, dy + t\Add{·} dy^2;
\]
donc
\[
E' = r,\qquad F' = s,\qquad G' = t,
\]
et
\[
E'G' - F'{}^2 = rt - s^2.
\]

\ParItem{\Primo} $E'G' - F'{}^2 > 0$, la conique est une \Err{e lipse}{ellipse}, tous les
rayons de courbure sont de même signe, on dit que la surface
est \emph{convexe} au point~$M$; elle est toute entière d'un même côté
du plan tangent en~$M$ dans le voisinage du point~$M$.

\ParItem{\Secundo} $E'G' - F'{}^2 < 0$, l'indicatrice est une hyperbole. La surface
traverse au point~$M$ son plan tangent; elle est dite \emph{à
courbures opposées}.

\ParItem{\Tertio} $E'G' - F'{}^2 = 0$\Add{,} l'indicatrice est du genre parabole, et
comme elle est à centre, elle se réduit à un système de deux
droites parallèles. Le point~$M$ est dit \emph{point parabolique}.
%% -----File: 046.png---Folio 38-------

Considérons le cas particulier où $\dfrac{1}{R_n}$ est constant, quelle
que soit la section que l'on \DPtypo{considèré}{considéré}. Il faut et il suffit
pour cela que $\dfrac{1}{R_n}$ soit indépendant de~$\dfrac{du}{dv}$, donc que l'on ait
\[
\frac{E'}{E} = \frac{F'}{F} = \frac{G'}{G}\DPtypo{,}{.}
\]
%[** TN: Removed paragraph indentation/break.]
Or\Add{,} l'angle de $M U, M V$ est donné par
\[
\cos \theta = \sum l' · l'' = \frac{F}{\sqrt{EG}};
\]
%[** TN: Removed paragraph indentation/break.]
\DPtypo{Ces}{ces} conditions peuvent donc s'écrire\Del{:}
\[
\frac{E'}{E} =  \frac{\ \dfrac{F'}{\sqrt{EG}}\ }{\Cos \theta} = \frac{G'}{G},
\]
et expriment que l'indicatrice est un cercle.
Le point~$M$ est dit alors un \emph{ombilic}.

Cherchons les directions des axes de l'indicatrice. Ce
sont des directions conjuguées par rapport aux directions asymptotiques
de l'indicatrice, définies par
\[
\Psi(du, dv) = 0
\]
et par rapport aux directions isotropes du plan tangent, définies
par
\[
\Phi(du, dv) = 0\Add{.}
\]
Elles sont donc définies par l'équation
\[
\frac{\ \dfrac{\dd \Psi}{\dd\, du}\ }{\dfrac{\dd \Phi}{\dd\, du}}
  = \frac{\ \dfrac{\dd \Psi}{\dd\, dv}\ }{\dfrac{\dd \Phi}{\dd\, dv}}
  = \frac{\Psi(du, dv)}{\Phi(du, dv)} = \frac{H}{R} = S,
\]
puisque $du, dv$ sont des coordonnées homogènes pour les directions
$M T$ du plan tangent.

Ce sont les \emph{directions principales}. Les rayons de courbure
correspondants sont dits \emph{rayons de courbure principaux}.
%% -----File: 047.png---Folio 39-------

L'équation qui définit les directions principales est
donc:
\[
\begin{vmatrix}
E · du + F · dv & F · du + G · dv \\
E' ·du + F'· dv & F'· du + G'· dv
\end{vmatrix} = 0;
\]
le \Ord{1}{er} membre est un covariant simultané des formes $\Phi, \Psi$.

L'équation aux rayons de courbure principaux s'obtiendra
en éliminant $du, dv$ entre les équations
\[
\frac{\dd \Psi}{\dd\Add{·} du} = S\, \frac{\dd \Phi}{\dd\Add{·} du},\qquad
\frac{\dd \Psi}{\dd\Add{·} dv} = S\, \frac{\dd \Phi}{\dd\Add{·} dv}\DPtypo{,}{.}
\]
Ce qui donne
\[
\begin{vmatrix}
E' - S E & F' - S F \\
F' - S F & G' - S G
\end{vmatrix} = 0,
\]
ou
\[
S^2 (E · G - F^2) - S (E · G' + G · E' - 2FF') + E'G' - F'{}^2 = 0
\]
avec
\[
S = \frac{H}{R}.
\]

Supposons maintenant que les courbes coordonnées soient
tangentes aux directions principales. Ces directions sont rectangulaires;
donc les courbes coordonnées constituent un réseau
orthogonal, et $F = 0$; alors l'indicatrice étant rapportée
à ses axes on a
\[
F' = 0,\quad H = \sqrt{E · G},\quad\text{et}\quad
\frac{1}{R_n} = \frac{\lambda^2 E'}{E \sqrt{EG}} + \frac{\mu^2 G'}{G \sqrt{EG}}\Add{.}
\]
Si nous supposons $\lambda = 1$, $\mu = 0$, nous avons un des rayons de
courbure principaux~$R_1$
\[
\frac{1}{R_1} = \frac{E'}{E \sqrt{EG}}\Add{;}
\]
pour $\mu = 1$, $\lambda = 0$, nous avons l'autre rayon de courbure principal~$R_2$
\[
\frac{1}{R_2} = \frac{G'}{G \sqrt{EG}}\Add{,}
\]
%% -----File: 048.png---Folio 40-------
et la formule devient
\[
\frac{1}{R_n} = \frac{\lambda^2}{R_1} + \frac{\mu^2}{R_2}\Add{;}
\]
mais ici, les coordonnées étant rectangulaires, si $\phi$ est
l'angle de la tangente $M T$ avec l'une des directions principales,
nous avons $\lambda = \cos \phi$, $\mu = \sin \phi$, et nous obtenons
la \emph{formule d'Euler}
\[
\frac{1}{R_n} = \frac{\cos^2 \phi}{R_1} + \frac{\sin^2 \phi}{R_2}\Add{.}
\]
Considérons la tangente $M T'$ perpendiculaire à~$M T$, il faudra
remplacer $\phi$ par $\phi + \frac{\pi}{2}$, et nous aurons
\[
\frac{1}{R'_n} = \frac{\sin^2 \phi}{R_1} + \frac{\cos^2 \phi}{R_2}
\]
d'où
\[
\frac{1}{R_n} + \frac{1}{R'_n} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
\]
donc \emph{la somme des courbures de \Card{2} sections normales rectangulaires
quelconques est constante et égale à la somme des courbures
des sections normales principales}. La quantité constante
$\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right)$ s'appelle \emph{courbure moyenne} de la surface au point
considéré.


\Section{Lignes minima.}
{3.}{} En chaque point d'une surface, il y a \Card{3} couples de
directions remarquables: les droites isotropes du plan tangent,
définies par $\Phi(du, dv) = 0$; les directions asymptotiques
de l'indicatrice $\Psi(du, dv) = 0$\DPtypo{;}{,} et les directions des sections
principales.

Considérons les directions isotropes, et cherchons s'il
existe sur la surface des courbes tangentes en chacun de leurs
points à une direction isotrope; ceci revient à intégrer l'équation
%% -----File: 049.png---Folio 41-------
\[
\Phi(du, dv) = 0,
\]
et on obtient ainsi les \emph{courbes minima}. L'équation \DPtypo{précedente}{précédente}
se décompose en \Card{2} équations de \Ord{1}{er} ordre, donc \emph{il y a deux
familles de courbes minima et par tout point de la surface
passe en général une courbe de chaque famille}. Ces courbes
sont imaginaires; on a le long de chacune d'elles
\[
ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0;
\]
c'est pourquoi on les appelle aussi lignes de longueur nulle.
Si on les prend pour lignes coordonnées, l'équation $\Phi(du, dv) = 0$
devant alors être vérifiée pour $du = 0$, $dv = 0$, on a
\[
E = 0\Add{,}\quad G = 0,\quad \text{et}\quad ds^2 = 2F\, du · dv.
\]

En général les deux systèmes de lignes minima sont distincts.
Pour qu'ils soient confondus, il faut que
\[
EG - F^2 = H^2 = 0,
\]
dans ce cas, on a $A^2 + B^2 + C^2 = 0$, et les formules fondamentales
ne s'appliquent plus. Pour étudier la nature d'une telle surface
\DPtypo{Considérons}{considérons} le plan tangent:
\[
A(X - x) + B(Y - y) + C(Z - z) = 0;
\]
ce plan est alors tangent à un cône isotrope, c'est un \emph{plan isotrope}.
\emph{Tous les plans tangents à la surface sont isotropes.}
Cherchons l'équation générale des plans isotropes. Soit
\[
ax + by + cz + d = 0
\]
nous avons la condition
\[
a^2 + b^2 + c^2 = 0
\]
ou
\begin{gather*}
a^2 + b^2 = -c^2\Add{,} \\
(a + ib) · (a - ib) = \Err{-c}{-c^2}\Add{.}
\end{gather*}
%% -----File: 050.png---Folio 42-------
Posons
\[
a + ib = tc,\qquad
a - ib = -\frac{1}{t}\, c,
\]
ou
\[
a + ib - tc = 0,\qquad ta - ibt + c = 0;
\]
de ces deux relations nous tirons
\[
\frac{a}{1 - t^2} = \frac{ib}{-(1 + t^2)} = \frac{c}{-2t},
\]
ou
\[
\frac{a}{1 - t^2} = \frac{b}{i(1 + t^2)} = \frac{c}{-2t};
\]
d'où l'équation générale des plans isotropes
\[
\Tag{(1)}
(1 - t^2)x + i(1 + t^2)y - 2tz + 2w = 0.
\]
Un plan isotrope dépend de deux paramètres. La surface considérée
est l'enveloppe de plans isotropes; si ces plans dépendent
de deux paramètres, elle se réduit au cercle imaginaire
à l'infini. Supposons alors que $w$~soit fonction de~$t$ par exemple;
le plan tangent ne dépendant que d'un paramètre, la surface
est développable, c'est une \emph{développable isotrope}. Cherchons
son arête de rebroussement. Différentions l'équation~\Eq{(1)}
\Card{2} fois par rapport à~$t$. Nous avons
\begin{gather*}
\Tag{(2)}
-tx + ity - z + w' = 0 \\
\Tag{(3)}
-x + iy + w'' = 0
\end{gather*}
les équations \Eq{(1)}\Add{,}~\Eq{(2)}\Add{,}~\Eq{(3)} définissent l'arête de rebroussement;
\Eq{(3)}~donne
\[
x - iy = w''\Add{,}
\]
\Eq{(2)}~s'écrit
\[
z = -t(x - iy) + w' = w' - tw''\Add{,}
\]
et~\Eq{(1)}
\[
x + iy = t^2(x - iy) + 2tz - 2w = t^2w'' + 2t(w' - tw'') - 2w
\]
d'où, pour les équations de l'arête de rebroussement:
\[
\Tag{(4)}
x - iy = w'',\qquad
x + iy = -2w + 2tw' - t^2w'',\qquad
z = w' - tw''.
\]
Nous en tirons
\[
d(x - iy) = w'''\, dt,\qquad
d(x + iy) = -t^2w'''\, dt,\qquad
dz = -tw'''\, dt;
\]
%% -----File: 051.png---Folio 43-------
d'où
\[
d(x - i y) · d(x + i y)
  = - t^2 \DPtypo{w'''}{(w''')^2}\, dt^2
  = \DPtypo{}{-}dz^2\Add{,}
\]
ou
\begin{gather*}
d(x - i y) · d(x + i y) + dz^2 = 0, \\
dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0;
\end{gather*}
c'est une courbe minima. \emph{L'arête de rebroussement d'une développable
isotrope est une courbe minima.}

Réciproquement, considérons une courbe minima. Nous avons
la relation
\[
dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0\Add{.}
\]
Différentions
\[
dx · d^2 x + dy · d^2 y + dz · d^2 z = 0\Add{,}
\]
mais l'identité de Lagrange nous donne
\[
\sum dx^2 \sum (d^2 x)^2 - \DPtypo{\sum (dx·d^2 x)}{\left(\sum dx·d^2 x\right)^2}
  = \sum (dy·d^2 z - dz·d^2 y)^2 = 0\Add{,}
\]
ou\DPtypo{,}{} $A\Add{,} B\Add{,} C$ désignant les coefficients du plan osculateur
\[
A^2 + B^2 + C^2 = 0\Add{.}
\]
\emph{Le plan osculateur en un point d'une courbe minima est isotrope.
Toute courbe minima peut être considérée comme l'arête
de rebroussement d'une développable isotrope.}

Il en résulte que cette arête de rebroussement est la
courbe minima la plus générale, et que les coordonnées d'un
point d'une courbe minima quelconque sont données par les
formules~\Eq{(4)}, ou $w$~est une fonction arbitraire de~$t$.

%[** TN: Renumber 3 -> 4]
\Section{Lignes asymptotiques.}
{4.}{} Si nous cherchons maintenant les courbes d'une surface
tangentes en chacun de leurs points à une asymptote de
l'indicatrice, nous sommes ramenés à intégrer l'équation
\[
\Psi(du , dv) = 0\Add{,}
\]
et nous obtenons les \emph{lignes asymptotiques}. Comme précédemment,
%% -----File: 052.png---Folio 44-------
nous voyons qu'\emph{il y a deux familles de lignes asymptotiques,
et par tout point de la surface passe en général une asymptotique
de chaque famille}.

L'équation différentielle précédente s'écrit
\begin{align*}
\sum A\, d^2 x &= 0\Add{,} \\
\intertext{on a d'ailleurs}
\sum A\, dx &= 0;
\end{align*}
mais $A\Add{,} B\Add{,} C$ sont les coefficients du plan tangent à la surface;
les équations précédentes montrent qu'il contient les directions
$dx, dy, dz$ et $d^2 x, d^2 y, d^2 z$, donc \DPtypo{coincide}{coïncide} avec le plan osculateur
à la courbe; donc \emph{les lignes asymptotiques sont telles
que le plan osculateur en chacun de leurs points soit tangent
à la surface}. En particulier, \emph{toute génératrice rectiligne
d'une surface est une ligne asymptotique}, car le plan osculateur
en un point d'une droite étant indéterminé, peut être
considéré comme \DPtypo{coincidant}{coïncident} avec le plan tangent en ce point
à la surface. \emph{Si donc une surface est réglée, un des systèmes
de lignes asymptotiques est constitué par les génératrices
rectilignes.}

Si nous prenons les lignes asymptotiques pour courbes
coordonnées, nous aurons
\[
E' = G' = 0
\]
et
\[
\Psi(du, dv) = 2F'\, du · dv.
\]

Les lignes asymptotiques sont réelles aux points où la
surface est à courbures opposées, imaginaires aux points où
elle est convexe. Elles sont en général distinctes, et distinctes
aussi des lignes minima. Nous allons examiner les cas
d'exception.

\ParItem{\Primo.} \emph{Les lignes asymptotiques sont confondues.} Prenons
%% -----File: 053.png---Folio 45-------
l'équation de la surface sous la \DPtypo{formé}{forme}
\[
Z = f(x, y):
\]
nous avons $E'G' - F^2 = 0$, condition qui se réduit ici à
\[
rt - s^2 = 0;
\]
tous les points de la surface doivent être paraboliques. L'équation
différentielle précédente peut s'écrire
\[
dp \DPtypo{,}{·} dx + dq · dy = 0.
\]
Elle montre que si l'une des différentielles $dp, dq$ est nulle,
l'autre est aussi nulle, donc $p, q$ sont fonctions l'un de l'autre.
Le plan tangent en un point s'écrit
\[
p(X - x) \DPtypo{,}{+} q(Y - y) - (Z - z) = 0 ,
\]
ou
\[
pX + qY - Z = px + qy - z.
\]
Mais
\[
d(px + qy - z) = x·dp + y·dq
\]
et nous voyons que si $dp = 0$, puisque $dq = 0$, on a en même
temps $d(px + qy - z) = 0$, donc $px + qy - z$ est fonction
de~$p$, de même que~$q$, et alors le plan tangent ne dépend que
d'un seul paramètre, et la surface est développable. La \DPtypo{reciproque}{réciproque}
est évidente, car si l'équation $pX + qY - Z = px + qy - z$
ne dépend que d'un paramètre~$\theta$, $dp$~et~$dq$ sont proportionnels
à~$d\theta$, et les deux formes linéaires $dp = r·dx + s·dy$\Add{,}
$dq = s·dx + t·dy$ ne sont pas indépendantes. On a donc bien
\[
\begin{vmatrix}
r & s \\
s & t
\end{vmatrix} = rt - s^2 = 0.
\]

Donc \emph{les surfaces à lignes asymptotiques doubles sont
les surfaces développables, et les lignes asymptotiques doubles
sont les génératrices rectilignes. Pour les développables
isotropes, les lignes asymptotiques doubles sont confondues
avec les lignes minima doubles, qui sont les génératrices
%% -----File: 054.png---Folio 46-------
rectilignes isotropes}.

\Paragraph{Remarque.} Pour les surfaces développables, l'arête de
rebroussement ayant son plan osculateur tangent à la surface
doit être considérée comme une ligne asymptotique. Son équation
est en effet une \DPtypo{integrale}{intégrale} singulière de l'\DPtypo{equation}{équation}
différentielle des lignes asymptotiques.

\ParItem{\Secundo.} \emph{Une famille de lignes asymptotiques est confondue
avec une famille de lignes minima.} \DPchg{Ecartons}{Écartons} le cas des développables
isotropes, qui vient d'être examiné. Prenons les
lignes minima comme courbes coordonnées, $E = 0$, $G = 0$, et si
nous supposons que la famille $v = \cte$ constitue une famille
d'asymptotiques, $dv = 0$ doit être solution de $\Psi(du, dv) = 0$,
donc \DPtypo{$E' = 0$}{}
\[
E' =
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\
\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v} \\
\mfrac{\dd^2 x}{\dd u^2} & \mfrac{\dd^2 y}{\dd u^2} & \mfrac{\dd^2 z}{\dd u^2}
\end{vmatrix} = 0\Add{.}
\]
Il existe donc entre les éléments des lignes de ce déterminant
une même relation linéaire et homogène.
On a
\[
\left\{%[** Moved brace to left-hand side]
\begin{aligned}
\frac{\dd^2 x}{\dd u^2} &= M\, \frac{\dd x}{\dd u} + N\, \frac{\dd x}{\dd v}\Add{,} \\
\frac{\dd^2 y}{\dd u^2} &= M\, \frac{\dd y}{\dd u} + N\, \frac{\dd y}{\dd v}\Add{,} \\
\frac{\dd^2 z}{\dd u^2} &= M\, \frac{\dd z}{\dd u} + N\, \frac{\dd z}{\dd v}\Add{.}
\end{aligned}
\right.
\]
Multiplions respectivement par $\dfrac{\dd x}{\dd u}, \dfrac{\dd y}{\dd u}, \dfrac{\dd z}{\dd u}$ et ajoutons. Le
coefficient de~$M$ est $E = 0$, le \Ord{1}{e} membre est $\dfrac{1}{2}\, \dfrac{\dd E}{\dd u} = 0$, donc
$NF = 0$, et comme $F \neq 0$, $N = 0$, et nous avons:
%% -----File: 055.png---Folio 47-------
\[
\frac{\ \dfrac{\dd^2 x}{\dd u^2}\ }{\dfrac{\dd x}{\dd u}} =
\frac{\ \dfrac{\dd^2 y}{\dd u^2}\ }{\dfrac{\dd y}{\dd u}} =
\frac{\ \dfrac{\dd^2 z}{\dd u^2}\ }{\dfrac{\dd z}{\dd u}} = M\Add{,}
\]
les courbes $v = \cte$ sont des droites, et comme ce sont des
lignes minima, ce sont des droites isotropes. Et réciproquement
si les courbes $v = \cte$ sont des droites, on a
\[
\frac{\dd^2 x}{\dd u^2} = M\, \frac{\dd x}{\dd u},\qquad
\frac{\dd^2 y}{\dd u^2} = M\, \frac{\dd y}{\dd u},\qquad
\frac{\dd^2 z}{\dd u^2} = M\, \frac{\dd z}{\dd u};
\]
et par suite
\[
\sum A\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2} = M \sum A\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0
\]
les courbes $v = \cte$ qui sont des droites minima sont des lignes
asymptotiques. Donc \emph{les surfaces qui ont une famille
d'asymptotiques confondue avec une famille de lignes minima
sont des surfaces \DPtypo{réglees}{réglées} à génératrices isotropes, et ces
génératrices sont les asymptotiques confondues avec les courbes
minima}.

\ParItem{\Tertio.} \emph{Les deux systèmes d'asymptotiques sont des courbes
minima.} En prenant toujours les lignes minima comme courbes
coordonnées, il faut que l'équation $\Psi(du, dv) = 0$ soit satisfaite
pour $du = 0$, $dv = 0$, il faut donc que $E' = G' = 0$.
Alors les formes quadratiques $\Phi$~et~$\Psi$ sont proportionnelles.
Il en est de même avec un système de coordonnées quelconques
et on~a
\[
\frac{E'}{E} = \frac{F'}{F} = \frac{G'}{G}\Add{.}
\]
L'indicatrice en un point quelconque est un cercle, \emph{tous les
points de la surface sont des ombilics}. En reprenant le calcul
comme précédemment, on verra que la surface admet deux
systèmes de génératrices rectilignes isotropes. \emph{C'est une
sphère.}
%% -----File: 056.png---Folio 48-------

%[** TN: Renumber 4 -> 5]
\Section{Surfaces minima\Add{.}}
{5.}{} Ce dernier cas nous a conduit à étudier la surface
telle que l'indicatrice soit toujours un cercle. Examinons
maintenant \emph{le cas où cette indicatrice est toujours une hyperbole
équilatère}. Ceci revient à chercher les surfaces
pour lesquelles les lignes asymptotiques sont orthogonales.
Il faut pour cela que l'on ait
\[
EG' + GE' - 2FF' = 0,
\]
ou
\[
\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 0.
\]
Les rayons de courbure en chaque point sont égaux et de signes
contraires; la surface est dite une \emph{surface minima}.

Prenons pour coordonnées les lignes minima. Alors $E = 0$\Add{,}
$G = 0$, et
\[
ds^2 = 2F · du · dv;
\]
la condition précédente donne $F' = 0$, et
\[
\Psi(du, dv) = E'\, du^2 + G'\, dv^2.
\]
Mais on a
\[
F' =
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\
\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v} \\
\mfrac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^2 y}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^2 z}{\dd u\, \dd v}
\end{vmatrix} = 0.
\]
Il existe donc une même relation linéaire et homogène entre
les éléments des lignes. On a
\[
\left\{%[** TN: Moved brace to left]
\begin{aligned}
\frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v} = M\, \frac{\dd x}{\dd u} + N\, \frac{\dd x}{\dd v}\Add{,} \\
\frac{\dd^2 y}{\dd u\, \dd v} = M\, \frac{\dd y}{\dd u} + N\, \frac{\dd y}{\dd v}\Add{,} \\
\frac{\dd^2 z}{\dd u\, \dd v} = M\, \frac{\dd z}{\dd u} + N\, \frac{\dd z}{\dd v}\Add{.}
\end{aligned}
\right.
\]
Multiplions respectivement par $\dfrac{\dd x}{\dd u}$, $\dfrac{\dd y}{\dd u}$, $\dfrac{\dd z}{\dd u}$ et ajoutons. Le
\Ord{1}{er} membre est $\dfrac{1}{2}\, \dfrac{\dd E}{\dd u} = 0$; le coefficient de~$M$ est $E = 0$;
%% -----File: 057.png---Folio 49-------
nous avons donc $N F = 0$, donc $N = 0$. De même en multipliant
par $\dfrac{\dd x}{\dd v}$, $\dfrac{\dd y}{\dd v}$, $\dfrac{\dd z}{\dd v}$ et ajoutant, on trouvera $M = 0$; donc on a
\[
\frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v} = 0,\qquad
\frac{\dd^2 y}{\dd u\, \dd v} = 0,\qquad
\frac{\dd^2 z}{\dd u\, \dd v} = 0.
\]
Ce qui donne
\[
x = f(u) + \phi(v),\qquad
y = g(u) + \psi(v),\qquad
z = h(u) + \chi(v);
\]
les surfaces représentées par des équations de cette forme
sont dites \emph{surfaces de translation. Elles peuvent être engendrées
de deux façons différentes par la translation d'une
courbe de forme invariable dont un point décrit une autre
courbe}. Considérons en effet sur la surface les \Card{4} points
$M_0(u_0\Add{,} v_0)$, $M_1(u\Add{,} v_0)$, $M_2(u_0\Add{,} v)$, $M(u\Add{,} v)$. D'après les formules précédentes
ces points sont les sommets d'un parallélogramme. Si,
laissant $v_0$~fixe, on fait varier~$u$, le point~$M_1$ décrit une
courbe~$\Gamma$ de la surface; de même si, laissant $u_0$~fixe, on fait
varier~$v$, le point~$M_2$ décrit une autre courbe~$\Gamma'$ de la surface.
On peut donc considérer la surface comme engendrée par la
courbe~$\Gamma$ animée d'un mouvement de translation dans lequel le
point~$M_2$ décrit la courbe~$\Gamma'$, ou par la courbe~$\Gamma'$ animée d'un
mouvement de translation dans lequel le point~$M_1$ décrit la
courbe~$\Gamma$.

Pour les surfaces minima, les \Card{6} fonctions $f\Add{,} g\Add{,} h\Add{,} \phi\Add{,} \psi\Add{,} \chi$ ne
sont pas quelconques. Elles doivent satisfaire aux relations
\[
E = f'{}^2 + g'{}^2 + h'{}^2 = 0,\qquad G = \phi'{}^2 + \psi'{}^2 + \chi'{}^2 = 0;
\]
il en résulte que la courbe
\[
x = f(u),\qquad y = g(u),\qquad  z = \Err{h()}{h(u)}
\]
est une courbe minima, et si nous nous reportons aux équations
générales d'une courbe minima, nous voyons que nous pouvons
%% -----File: 058.png---Folio 50-------
écrire, $F$~étant une fonction quelconque de~$u$
\begin{align*}%[** TN: Unaligned in original]
f(u) - ig(u) &= F''(u), \\
f(u) + ig(u) &= -2F(u) + 2uF'(u) - u^2F''(u), \\
h(u) &= F'(u) - uF''(u).
\end{align*}
De même la courbe
\[
x = \phi(v),\qquad
y = \psi(v),\qquad
z = \chi(v)
\]
étant une courbe minima, on aura, $\Phi$~étant une fonction quelconque
de~$v$,
\begin{align*}%[** TN: Unaligned in original]
\phi(v) - i \psi(v) &= \Phi''(v)\Add{,} \\
\phi(v) + i \psi(v) &= -2 \Phi(v) + 2v \Phi'(v) - v^2 \Phi''(v)\Add{,} \\
\chi(v) &= \Phi'(v) - v \Phi''(v);
\end{align*}
d'où les coordonnées d'un point de la surface minima la plus
générale
\begin{align*}
x + iy &= - 2F(u) + 2u F'(u) - u^2 F''(u) - 2 \Phi(v) + 2v \Phi'(v) + v^2 \Phi''(v)\Add{,} \\
x - iy &= F''(u) + \Phi''(v), \\
z &= F'(u) - u F''(u) + \Phi'(v) - v \Phi''(v).
\end{align*}

Dans le cas où l'équation de la surface est mise sous la
forme
\[
z = f(x, y),
\]
l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima est
\[
(1 + p^2)·t + (1 + q^2)·r + 2pq\, s = 0.
\]

%[** TN: Renumber 5 -> 6]
\Section{Lignes courbure.}
{6.}{} Les \emph{lignes de courbure} sont les lignes tangentes en
chacun de leurs points aux directions principales ou axes de
l'indicatrice. Ce sont les intégrales de l'équation
\[
\frac{\dd\Phi}{\dd·du} · \frac{\dd\Psi}{\dd·dv} -
\frac{\dd\Phi}{\dd·dv} · \frac{\dd\Psi}{\dd·du} = 0,
\]
les directions principales étant conjuguées par rapport aux
directions isotropes et aux directions asymptotiques. Si ces
\Card{2} couples constituent \Card{4} directions distinctes, les directions
%% -----File: 059.png---Folio 51-------
principales seront aussi distinctes et distinctes des précédentes.
Il en \DPtypo{resulte}{résulte} qu'il n'y aura pas d'autres cas singuliers
pour les lignes de courbure que ceux déjà rencontrés
pour les lignes minima et les lignes asymptotiques.

\ParItem{\Primo.} \emph{Surfaces réglées non développables à génératrices
isotropes \(la sphère exceptée\).} Une famille de lignes minima
est constituée par des lignes asymptotiques. Prenant les lignes
minima comme coordonnées, nous avons
\[
\Phi = 2 F·du·dv;
\]
prenons les lignes $u = \cte$ confondues avec les asymptotiques,
$du = 0$ doit annuler~$\Psi$; donc
\[
\Psi = E' · du^2 + 2F' · du·dv;
\]
l'équation différentielle des lignes de courbure est
\[
F·dv · F'·du - F·du (E'·du + F'·dv) = 0,
\]
ou
\[
E'\Del{·}F · du^2 = 0.
\]
\emph{Les lignes de courbure sont doubles, ce sont les génératrices
rectilignes isotropes qui sont déjà lignes minima et asymptotiques.}

\ParItem{\Secundo.} \emph{Sphère.} $\Phi, \Psi$ sont proportionnels, l'équation différentielle
est identiquement vérifiée. \emph{Sur la sphère toutes
les lignes sont lignes de courbure.}

\ParItem{\Tertio.} \emph{Surfaces développables non isotropes.} Prenons les
génératrices rectilignes comme courbes $u = \cte$, ce sont des
lignes asymptotiques doubles, nous avons
\begin{align*}
ds^2 &= E·du^2 + 2F·du·dv + G·dv^2, \\
\Psi &= E'·du^2;
\end{align*}
l'équation différentielle des lignes de courbure est
\[
(F·du + G·dv)\, E'·du = 0.
\]
%% -----File: 060.png---Folio 52-------
\emph{Les lignes de courbure sont les génératrices rectilignes, qui
sont déjà lignes asymptotiques, et leurs trajectoires orthogonales.}

\ParItem{\Quarto.} \emph{Surfaces développables isotropes.} Prenant pour courbe
$v = \cte$ les lignes minima doubles confondues avec les lignes
asymptotiques doubles, nous avons
\[
\Phi = E·du^2\Add{,}\qquad
\Psi = E'·du^2\Add{.}
\]
L'équation aux lignes de courbure est identiquement vérifiée.
\emph{Sur les développables isotropes toutes les lignes sont lignes
de courbure.}

\Paragraph{Remarque.} Pour un plan, les courbes minima sont des
droites; et toute ligne du plan est asymptotique et ligne de
courbure.

%[** TN: Renumber 6 -> 7]
\Section{Courbure géodésique.}
{7.}{} Examinons maintenant la \Ord{2}{e} formule fondamentale
\begin{multline*}
\frac{\sin \theta}{R}
  = \frac{1}{H\, ds^2} \left[\MStrut
    H^2\, (du\, d^2v - dv\, d^2u) \right. \\
  - \left.\MStrut
    \begin{vmatrix}
      \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd u}\, du^2
      + \mfrac{\dd E}{\dd v}\, du\, dv
      + \left(\mfrac{\dd F}{\dd v}
        - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd u}\right) dv^2 & E\, du + F\, dv \\
      %
      \left(\mfrac{\dd F}{\dd u} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd v}\right) du^2
      + \mfrac{\dd G}{\dd u}\, du\, dv
      + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd v}\, dv^2 & F\, du + G\, dv
    \end{vmatrix}
  \right]\Add{;}
\end{multline*}
\Illustration[1.625in]{060a}
$\theta$~est l'angle de la normale principale avec la
normale à la surface. Soit $C$~le centre de courbure.
Considérons la droite polaire, qui rencontre
le plan tangent en~$G$, nous avons
\[
\DPtypo{MO}{MC} = MG \cos \left(\theta - \tfrac{\pi}{2}\right) = MG \sin\theta.
\]
$MG$ est ce qu'on appelle le \emph{rayon de courbure
géodésique~$R_g$}. On a
\[
R = R_g \sin\theta.
\]
%% -----File: 061.png---Folio 53-------

Le point~$G$ est le \emph{centre de courbure géodésique. La projection
du centre de courbure géodésique sur la normale principale
est le centre de courbure}. L'inverse du rayon de courbure
géodésique s'appelle \emph{courbure géodésique}. Son expression
ne dépend que de $E, F, G$ et de leurs dérivées; \emph{la courbure géodésique
se conserve quand on déforme la surface}.

Cherchons s'il existe des courbes de la surface dont le
rayon de courbure géodésique soit constamment infini. De telles
courbes sont appelées lignes géodésiques. Alors $\dfrac{\sin \theta}{R}$ est
constamment nul, et comme $R$~n'est pas constamment infini, $\sin \theta = 0$.
\emph{Le plan osculateur est normal à la surface en chaque
point de la courbe.} Les lignes géodésiques sont définies par
une équation différentielle de la forme
\[
v'' = \Phi (u, v, v').
\]
De l'étude des équations de cette forme il résulte qu'\emph{il y a
une ligne géodésique et une seule passant par chaque point de
la surface et tangente en ce point à une direction donnée du
plan tangent. Il y en a une et une seule joignant deux points
donnés dans un domaine suffisamment petit.}

Prenons pour \Err{}{lignes }coordonnées les lignes minima. Alors $E = G = 0$
et $H^2 = - F^2$. L'équation différentielle des lignes géodésiques
devient
\[
- F^2 (du·d^2 v - dv·d^2 u)
  - \begin{vmatrix}
  \mfrac{\dd F}{\dd v}\, dv^2 & F\, dv \\
  \mfrac{\dd F}{\dd u}\, du^2 & F\, du
  \end{vmatrix} = 0,
\]
%% -----File: 062.png---Folio 54-------
ou
\[
du · d^2v - dv · d^2u
  + \frac{\dd · \log F}{\dd v}\, du · dv^2
  - \frac{\dd · \log F}{\dd u}\, du^2\Add{·} dv = 0
\]
on voit qu'elle est vérifiée pour $du = 0$, $dv = 0$. Ainsi \emph{les
lignes minima sont des lignes géodésiques}.

\Paragraph{Remarque.} Si le plan osculateur se confond avec le plan
tangent, le centre de courbure se confond avec le centre de
courbure géodésique; et si en particulier on considère un plan
\emph{dans ce plan la courbure géodésique n'est autre que la courbure}.
Il en résulte que \emph{les lignes géodésiques du plan sont les
droites de ce plan}, ce qu'on vérifie facilement par le calcul.

\Illustration{062a}
\Paragraph{Définition directe de la courbure géodésique.} Considérons
sur la surface une courbe~$(C)$ et une famille
de courbes~$(K)$ orthogonales à~$(C)$. Sur chaque
courbe~$(K)$ portons à partir du point~$M$ où elle
rencontre la courbe~$(C)$ une longueur d'arc
constante~$M N$. Pour chaque valeur de cette
constante nous obtenons une courbe~$(C')$ lieu
du point~$N$. Prenons comme courbes coordonnées
les courbes $(C)\Add{,} (C')\Add{,} \dots\Add{,} (v = \cte)$, la courbe~$(C)$ étant $v = 0$,
et les courbes~$(K)\Add{,} (u = \cte)$. Alors $v$~ne sera autre que la
longueur d'arc~$MN$. Nous avons
\[
ds^2 = E · du^2 + 2F \Add{·} du · dv + G · dv^2\Add{.}
\]
La courbe $v = 0$ est orthogonale à toutes les courbes~$(K)$, donc
on a, quel que soit~$u$
\[
F(u, \DPtypo{o}{0}) = 0;
\]
$v$~représentant l'arc~$M N$, on a $ds^2 = dv^2$, d'où $G = 1$, et alors
\[
ds^2 = E · du^2 + 2F \Add{·} du · dv + dv^2.
\]
Nous pouvons de même supposer que sur la courbe~$(C)$\Add{,} $u$~\DPtypo{represente}{représente}
%% -----File: 063.png---Folio 55-------
l'arc. Alors pour $v = 0$, on a $ds = du$, donc
\[
E(u, 0) = 1,
\]
et pour cette courbe~$(C)$ on a
\[
H^2 = E · G - F^2 = 1,
\]
d'où~$H = 1$. Nous avons alors
\[
\frac{\sin \theta}{ R} = - \frac{1}{ds^2}
  \begin{vmatrix}
    \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd u}\, du^2  & E\, du \\
    \left(\mfrac{\dd F}{\dd u} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd v} \right) du^2 & F\, du
  \end{vmatrix}
  = - \frac{1}{2}\, \dfrac{\dd E}{\dd v}.
\]
Pour la courbe~$(C')$ nous aurons
\[
ds^2 = E\, du^2,
\]
d'où
\[
ds = \sqrt{E}\, du;
\]
prenons la dérivée logarithmique par rapport à $v$
\[
\frac{\dd · \log ds}{\dd v}
  = \frac{\dd · \log \DPtypo{E}{\sqrt{E}}}{\dd v}
%[** TN: Explicit \cdot; Latin-1 char converts to thinspace]
  = \frac{1}{\sqrt{E}} \cdot \frac{1}{2}\, \frac{\dfrac{\dd E}{\dd v}}{\sqrt{E}}
  = \frac{1}{2E} · \frac{\dd E}{\dd v}\Add{.}
\]
Si on considère la courbe~$(C)$, $E = 1$, et on a pour cette courbe
\[
\frac{\dd · \log ds}{\dd v}
  = \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v},
\]
d'où
\[
\frac{1}{R_{g}}
  = \frac{\sin \theta}{R}
  = -\frac{\dd \log · ds}{\dd v}\Add{,}
\]
ce qui donne une \DPtypo{definition}{définition} de la courbure géodésique n'empruntant
aucun élément extérieur à la surface.

\MarginNote{Propriétés des
géodésiques.}
Supposons en particulier que toutes les courbes~$(K)$ soient
des géodésiques. Avec les mêmes conventions que précédemment,
$du = 0$~doit être une solution de \DPtypo{l'equation differentielle}{l'équation différentielle} des
lignes géodésiques, ce qui donne
\[
\begin{vmatrix}
  \mfrac{\dd F}{\dd v} & F \\
  0 & 1
\end{vmatrix}
= \dfrac{\dd F}{\dd v} = 0;
\]
%% -----File: 064.png---Folio 56-------
donc $F$~est une fonction de $u$~seulement, et comme $F = 0$ pour
$v = 0$, $F$~est identiquement nul, et on a
\[
ds^2 = E\, du^2 + dv^2;
\]
et alors toutes les courbes~$(C)$ coupent orthogonalement les
géodésiques~$(K)$. Donc \emph{si nous considérons une courbe~$(c)$, si
nous menons en chaque point de~$(c)$ la géodésique qui lui est
orthogonale, et si nous portons sur chacune de ces géodésiques
un arc constant, le lieu des extrémités de ces arcs est une
courbe~$(c')$ normale aux géodésiques}. Nous obtenons ainsi les
\emph{courbes parallèles} sur une surface quelconque.

\emph{Réciproquement, si nous considérons une famille de géodésiques
et leurs trajectoires orthogonales, ces trajectoires
déterminent sur les géodésiques des longueurs d'arc égales.}
Toujours avec les mêmes hypothèses, les courbes $u = \cte$ et
$v = \cte$ étant orthogonales, on a $F = 0$. Les $u = \cte$ étant des
géodésiques, nous avons
\[
\begin{vmatrix}
-\mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd u}\, dv^2 & 0 \\
\phantom{-} \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd v}\, dv^2 & G
\end{vmatrix}
  = -\frac{1}{2}\, G \frac{\dd G}{\dd u}\, dv^2 = 0.
\]
$G \neq 0$, sans quoi les courbes $u = \cte$ seraient des courbes minima,
donc $\dfrac{\dd G}{\dd u} = 0$ et $G = \phi(v)$. Calculons alors l'arc d'une
courbe~$(K)$ compris entre la courbe $v = v_{0}$ et la courbe $v = v_{1}$\Add{.}
Nous avons
\begin{align*}
ds^2 &= G\, dv^2 = \phi(v)\, dv^2, \\
\intertext{et}
s &= \int_{v_{0}}^{v_{1}} \sqrt{\phi(v)} · dv;
\end{align*}
$s$~est indépendant de~$u$, l'arc est le même sur toutes les géodésiques.
%% -----File: 065.png---Folio 57-------

Si on prend encore pour~$v$ l'arc sur les courbes $u = \cte$
on a
\[
ds^{2} = E\, du^{2} + dv^{2},
\]
et \emph{cette forme est caractéristique du système de coordonnées}
employé, \emph{constitué par une famille de géodésiques et leurs
trajectoires orthogonales}.

Prenons alors sur la surface deux points voisins~$A\Add{,} B$.
Il existe une ligne géodésique et une seule dans le domaine
de ces deux points et joignant ces deux points. Considérons
une famille de géodésiques voisines ne se coupant pas dans
le domaine, et leurs trajectoires orthogonales. Prenons-les
comme courbes coordonnées. Considérons une ligne quelconque
de la surface allant de $A$ à~$B$, soit
\[
u = f(v)\Add{.}
\]
Si $A$ a pour coordonnées $u_{0}, v_{0}$ et~$B$, $u_{0}\Add{,} v_{1}$, la longueur de l'arc~$AB$
de cette ligne est
\[
\int_{v_{0}}^{v_{1}} \sqrt{E\, du^{2} + dv^{2}}
  = \int_{v_{0}}^{v_{1}} \sqrt{E\bigl(f(v), v\bigr)\, f'{}^{2}(v) + 1}\, dv.
\]
Cette intégrale est visiblement minima si $f'(v) = 0$, c'est-à-dire
si la courbe joignant~$A\Add{,} B$ est la géodésique. Ainsi
donc, \emph{dans un domaine suffisamment petit entourant deux points
d'une surface, la géodésique est le plus court chemin entre
ces deux points}.

%[** TN: Renumber 7 -> 8]
\Section{Torsion géodésique.}
{8.}{} Voyons enfin la \Ord{3}{e} formule fondamentale
\[
\frac{1}{T} - \frac{d\theta}{ds}
  = \frac{1}{H^{2}\, ds^{2}}
\begin{vmatrix}
\Err{E}{E'}\, du + F'\, dv & F'\, du + G'\, dv \\
E\, du + F\, dv & F\, du + G\, dv
\end{vmatrix}.
\]
Si $\theta$ est constant, et en particulier constamment nul, la formule
%% -----File: 066.png---Folio 58-------
précédente donne la torsion; elle donne donc en particulier
la torsion d'une géodésique. L'expression précédente ne
dépend que de~$\dfrac{du}{dv}$, c'est-à-dire de la direction de la tangente\Add{.}
Considérons alors sur la surface une courbe~$(c)$ et un point~$M$.
Il existe une géodésique tangente à~$(c)$ au point~$M$ et $\dfrac{1}{T} - \dfrac{d \theta}{ds}$
est la torsion de cette géodésique. C'est pourquoi $\dfrac{1}{T} - \dfrac{d \theta}{ds}$ s'appelle
\emph{torsion géodésique}. On voit ainsi que \emph{la torsion géodésique
en un point d'une courbe est la torsion de la géodésique
tangente en ce point à la courbe \DPtypo{donnee}{donnée}}. Posons
\[
\frac{1}{T_{g}} = \frac{1}{T} - \frac{d \theta}{ds}\Add{;}
\]
$T_{g}$~est le \emph{rayon de torsion géodésique}. Contrairement au rayon
de courbure géodésique, il change dans la déformation des surfaces.

La formule précédente montre que la torsion géodésique
est nulle si la direction $du, dv$ est une direction principale;
\emph{la torsion géodésique est nulle pour toute courbe tangente à
une ligne de courbure}. Il en résulte que \emph{les lignes de courbure
ont une torsion géodésique constamment nulle \(Théorème
de Lancret\)}.

$\dfrac{1}{T_{g}}$ est le quotient de deux trinômes du \Ord{2}{e} degré en $du,
dv$, on peut donc étudier sa variation. Prenons pour courbes
coordonnées les lignes de courbure, elles sont conjuguées et
rectangulaires, donc $F - F' = 0$, et
\[
\frac{1}{T_{g}} = \frac{1}{H^{2}\, ds^{2}} (E'G - G'E)\, du\, dv
  = \left( \frac{E'}{E} - \frac{G'}{G} \right) \frac{du}{ds}\, \frac{dv}{ds}\Add{.}
\]
Si nous revenons aux notations employées au §1 pour l'étude
de la courbure normale, les coefficients de direction de la
%% -----File: 067.png---Folio 59-------
tangente dans le plan tangent sont
\[
\lambda = \sqrt{E}\, \frac{du}{ds}\Add{,} \qquad
\mu     = \sqrt{G}\, \frac{dv}{ds}\Add{,}
\]
et alors
\[
\frac{1}{T_{g}}
  = \frac{1}{\sqrt{EG}} \left(\frac{E'}{E} - \frac{G'}{G}\right) \lambda \mu;
\]
les rayons de courbure principaux sont
\[
\frac{1}{R_{1}} = \frac{1}{\sqrt{EG}} · \frac{E'}{E}\Add{,} \qquad
\frac{1}{R_{2}} = \frac{1}{\sqrt{EG}} \Add{·} \frac{G'}{G}\Add{,}
\]
d'où
\[
\frac{1}{T_{g}} = \left(\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) \lambda\mu\Add{,}
\]
d'où la \emph{formule d'Ossian Bonnet}, analogue à la formule d'Euler
\[
\frac{1}{T_{g}}
  = \left(\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) \sin\phi · \cos\phi\Add{.}
\]

\MarginNote{Théorèmes de
Joachimsthal.}
Considérons une courbe~$(c)$ intersection de deux surfaces;
le plan normal à~$(c)$ en l'un de ses points~$M$ contient la normale
principale à la courbe et les normales aux deux surfaces. Soit
$V$~l'angle des normales $MN, MN'$; $\theta, \theta'$ leurs angles avec~$MP$.

Nous avons
\[
V = \theta' - \theta;
\]
mais
\[
\frac{1}{T} - \frac{d \theta}{ds} = \frac{1}{T_{g}} \qquad
\frac{1}{T} - \frac{d \theta'}{ds} = \frac{1}{T'_{g}}
\]
d'où en retranchant
\[
\frac{dV}{ds} = \frac{1}{T_{g}} - \frac{1}{T'_{g}}.
\]
Supposons alors que $(c)$ soit ligne de courbure des deux surfaces;
$\dfrac{1}{T_{g}}$~et~$\dfrac{1}{T'_{g}}$ sont tous deux nuls, $\dfrac{dV}{ds} = 0$, $V$ est constant.
D'où les \emph{Théorèmes de Joachimsthal: Si 2 surfaces se coupent
suivant une ligne de courbure, leur angle est constant tout
le long de cette ligne}, et la même formule montre immédiatement
que réciproquement: \emph{si deux surfaces se coupent sous un
angle constant, et si l'intersection est ligne de courbure
pour l'une des surfaces, elle est aussi ligne de courbure pour
l'autre.} Sur un plan ou sur une sphère, toutes les lignes sont
%% -----File: 068.png---Folio 60-------
lignes de courbure; donc \emph{si une ligne de courbure d'une surface
est plane ou sphérique, le plan ou la sphère qui la contient
coupe la surface sous un angle constant, et réciproquement, si
un plan ou une sphère coupe une surface sous un angle constant
l'intersection est une ligne de courbure de la surface}. Enfin
si un cercle est ligne de courbure d'une surface, il y a une
sphère passant par ce cercle qui est tangente à la surface en
un point du cercle; et, par suite, en tous les points du cercle.
Donc toute \emph{ligne de courbure circulaire est la courbe de
contact d'une sphère inscrite ou circonscrite à la surface}.


\ExSection{III}

\begin{Exercises}
\item[12.] On considère la surface
\[
x = \frac{c^{2} - b^{2}}{bc} · \frac{uv}{u + v},\quad
y = \frac{\sqrt{c^{2} - b^{2}}}{b} · \frac{v \sqrt{b^{2} - u^{2}}}{u + v},\quad
z = \frac{\sqrt{c^{2} - b^{2}}}{c} · \frac{u \sqrt{v^{2} - c^{2}}}{u + v};
\]
déterminer ses lignes de courbure, et calculer les rayons de
courbure principaux.

\item[13.] On considère la surface
\begin{align*}
x &= \frac{1}{2} \int (1 - u^{2})\, f(u)\, du
   + \frac{1}{2} \int (1 - v^{2})\, \phi(v)\, dv, \\
y &= \frac{1}{2} \int (1 + u^{2})\, f(u)\, du
   - \frac{1}{2} \int (1 + v^{2})\, \phi(v)\, dv, \\
z &= \int uf(u)\, du + \int v \phi(v)\, dv.
\end{align*}
Calculer les rayons de courbures principaux et les coordonnées
des centres de courbures principaux. Former l'équation
différentielle des lignes de courbure et des lignes asymptotiques.
\DPchg{Etudier}{Étudier} les lignes de courbure en prenant
\[
f(u)    = \frac{2m^{2}}{(m^{2} + u^{2})^{2}},\qquad
\phi(v) = \frac{2m^{2}}{(m^{2} + v^{2})^{2}},
\]
et en introduisant de nouvelles coordonnées par les formules
\[
u = m \tg \frac{\lambda + i \mu}{2},\qquad
v = m \tg \frac{\lambda - i \mu}{2}.
\]

\item[14.] Soient, en coordonnées rectangulaires, les équations
\begin{align*}
x &= \frac{1}{2} e^{u} \cos(v - \alpha) + \frac{1}{2} e^{-u} \cos(v + \alpha),\\
y &= \frac{1}{2} e^{u} \sin(v - \alpha) + \frac{1}{2} e^{-u} \sin(v + \alpha),\\
z &= u \cos\alpha + v \sin\alpha.
\end{align*}

\Primo. Pour chaque valeur de $\alpha$, ces formules définissent une
surface $S_{\alpha}$. Indiquer un mode de génération de cette surface.
Que sent en particulier $S_{0}$ et $S_{\frac{\pi}{2}}$?

\Secundo. On considère deux de ces surfaces $S_{\alpha}$~et~$S_{\beta}$, et on les fait
correspondre point par point de manière que les plans tangents
aux points correspondants soient parallèles. Démontrer que les
tangentes à deux courbes correspondantes, menées en deux
points homologues, font un angle constant.

\Tertio. Chercher les lignes de courbure et les lignes asymptotiques
de~$S_{\alpha}$ et trouver une propriété géométrique des courbes
auxquelles elles correspondent sur~$S_{\beta}$, dans la transformation
précédente. Qu'arrive-t-il pour $\alpha = \frac{\pi}{2}$?

\item[15.] Chercher les surfaces dont les lignes de courbure d'un système
sont les courbes de contact des cônes circonscrits ayant
leurs sommets sur~$Oz$. Quelles sont les autres lignes de courbure?

\item[16.] \DPchg{Etudier}{Étudier} les surfaces dont les lignes de courbure d'un système
sont situées sur des sphères concentriques. Que peut-on dire
des lignes de courbure de l'autre système?

\item[17.] Si les courbes coordonnées $u = \const.$, $v = \const.$ sur une
surface~$S$ sont les lignes asymptotiques de cette surface, et
si $l, m, n$ sont les cosinus directeurs de la normale à~$S$, en un
point quelconque de~$S$, montrer qu'il existe une fonction~$\theta$
telle que l'on ait
\begin{alignat*}{5}
dx &= \theta \Biggl[
  && m &&\left(\frac{\dd n}{\dd u}\, du - \frac{\dd n}{\dd v}\, dv\right)
  &&-n &&\left(\frac{\dd m}{\dd u}\, du - \frac{\dd m}{\dd v}\, dv\right)
  \Biggr], \\
dy &= \theta \Biggl[
  && n &&\left(\frac{\dd l}{\dd u}\, du - \frac{\dd l}{\dd v}\, dv\right)
  &&-l &&\left(\frac{\dd n}{\dd u}\, du - \frac{\dd n}{\dd v}\, dv\right)
  \Biggr], \\
dz &= \theta \Biggl[
  && l &&\left(\frac{\dd m}{\dd u}\, du - \frac{\dd m}{\dd v}\, dv\right)
  &&-m &&\left(\frac{\dd l}{\dd u}\, du - \frac{\dd l}{\dd v}\, dv\right)
  \Biggr].
\end{alignat*}
Calculer, en partant de ces formules, le~$ds^2$ de la surface,
l'équation des lignes de courbure, l'équation aux rayons de
courbure principaux. Calculer la torsion des lignes asymptotiques,
et montrer qu'elle s'exprime au moyen des rayons de
courbure principaux seulement.
\end{Exercises}
%% -----File: 069.png---Folio 61-------


\Chapitre{IV}{Les Six Invariants --- La Courbure Totale.}


\Section{Les six \DPtypo{Invariants}{invariants}.}
{1.}{} Dans l'étude des courbes tracées sur une surface~$(S)$
ne sont intervenus que les coefficients des deux formes quadratiques
fondamentales:
\begin{align*}
\Phi (du, dv) &= ds^{2} = E\, du^{2} + 2F · du · dv + G\, dv^{2}, \\
\Psi (du, dv) &= \sum A · d^{2}x = E'\, du^{2} + 2F'du · dv + G'\, dv^{2},
\end{align*}
et les différentielles de $u, v$, considérées comme les fonctions
d'une variable indépendante~$t$ qui correspondent à chaque courbe
particulière considérée.

Si l'on déplace la surface~$(S)$ dans l'espace, sans la déformer,
et sans changer les coordonnées superficielles $u, v$ employées,
ces formes quadratiques demeureront les mêmes, de
sorte que \emph{leurs six coefficients} $E, F, G$, $E', F', G'$ \emph{sont six invariants
différentiels, pour le groupe des mouvements dans l'espace}\Add{.}

Cela résulte, pour la forme $ds^{2} = \Phi (du, dv)$, de ce qu'elle
représente le carré de la différentielle d'un arc qui reste
le même dans les conditions énoncées.

Dès lors $H = \sqrt{EG - F^{2}}$ est un invariant, et la formule
\[
\Psi(du, dv) = H · \Phi(du, dv) · \frac{\cos\theta}{R},
\]
dont tous les facteurs du second membre sont invariants, montre
que $\Psi$~possède aussi la propriété d'invariance.

Il n'y a du reste aucune difficulté à vérifier, par un
calcul direct, l'invariance des six coefficients sur les formules
%% -----File: 070.png---Folio 62-------
qui les définissent:
\begin{alignat*}{3}
\Tag{(1)}
\sum \left(\frac{\dd x}{\dd u} \right)^{2} &= E,\qquad
&\sum \frac{\dd x}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\dd v} &= F,\qquad
&\sum \left(\frac{\dd x}{\dd v} \right)^{2} &= G, \\
\Tag{(2)}
\sum A\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} &= E',\qquad
&\sum A\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} &= F',\qquad
&\sum A\, \frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}} &= G',
\end{alignat*}
\DPtypo{où}{ou} l'on se rappelle que $A, B, C$ sont les trois déterminants
fonctionnels
\[
A = \frac{D(y, z)}{D(u, v)}, \quad
B = \frac{D(z, x)}{D(u, v)}, \quad
C = \frac{D(x, y)}{D(u, v)}.
\]
Rappelons enfin l'identité
\[
H = \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} = \sqrt{EG - F^{2}} \Add{.}
\]

\MarginNote{La forme de la
surface définie
par les six invariants.}
Supposons maintenant que $E, F, G$, $E', F', G'$ aient été calculés,
en fonction de $u, v$, pour une surface~$(S)$ particulière
\[
\Tag{(3)}
x = f(u, v),\quad
y = g(u, v),\quad
z = h(u, v);
\]
et considérons les équations \Eq{(1)},~\Eq{(2)} comme un système d'équations
aux dérivées partielles, où $x, y, z$ sont les fonctions inconnues,
$u, v$ les variables indépendantes, et $E, F, G$, $E', F', G'$ des
fonctions données. En vertu de l'invariance que nous venons
d'expliquer, ce système \DPtypo{differentiel}{différentiel} admettra comme intégrales,
non seulement les fonctions~\Eq{(3)}, qui \DPtypo{definissent}{définissent}~$(S)$,
mais encore toutes les fonctions
\[
\Tag{(4)}
\left\{%[** TN: Added brace]
\begin{alignedat}{4}
x &= x_{0} &&+ \alpha f &&+ \alpha' g &&+ \alpha'' h,\\
y &= y_{0} &&+ \beta f &&+ \beta' g &&+ \beta'' h, \\
z &= z_{0} &&+ \gamma f &&+ \gamma' g &&+ \gamma'' h,
\end{alignedat}
\right.
\]
qui \DPtypo{definissent}{définissent} les surfaces obtenues en déplaçant~$(S)$ de toutes
les manières possibles, lorsqu'on donne à $x_{0}, y_{0}, z_{0}$, toutes
les valeurs constantes possibles, et à $\alpha, \beta, \gamma$, $\alpha', \beta', \gamma'$,
$\alpha'', \beta'', \gamma''$ toutes les valeurs constantes compatibles avec les
conditions d'orthogonalité bien connues.
%% -----File: 071.png---Folio 63-------

Cela donne donc des intégrales dépendant de six constantes
arbitraires. Nous prouverons que le système \Eq{(1)},~\Eq{(2)} n'en
a pas d'autres; ce que l'on pourra exprimer en disant que \emph{la
forme de la surface est entièrement définie par les six invariants
$E, F, G$, $E', F', G'$}.

On démontre dans la théorie des équations aux dérivées
partielles que, dans tout système dont l'intégrale générale
ne dépend que de constantes arbitraires, toutes les dérivées
partielles d'un certain ordre peuvent s'exprimer en fonction
des variables indépendantes et dépendantes et des dérivées
d'ordre inférieur. Nous devons donc essayer de constater que
cela a lieu pour notre système; et commencer par différentier
les équations~\Eq{(1)}. Les résultats obtenus peuvent s'écrire:
\[%[** TN: Rearranged in pairs, added brace]
\Tag{(5)}
\left\{
\begin{aligned}
&\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2}x}{\dd u^{2}}
  = \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd u},
&&\sum \frac{\dd x}{\dd v}\Add{·} \frac{\dd^{2}x}{\dd u^{2}}
  = \frac{\dd F}{\dd u} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v}, \\
%
&\sum \frac{\dd x}{\dd u}\Add{·} \frac{\dd^{2}x}{\dd u\, \dd v}
  = \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v},
&&\sum \frac{\dd x}{\dd v}\Add{·} \frac{\dd^{2}x}{\dd u\, \dd v}
  = \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd u}, \\
%
&\sum \frac{\dd x}{\dd u}\Add{·} \frac{\dd^{2}x}{\dd v^{2}}
  = \frac{\dd F}{\dd v} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd u};
&&\DPtypo{}{\sum} \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2}x}{\dd v^{2}}
  = \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd v};
\end{aligned}
\right.
\]
et l'on voit qu'en associant ces équations aux équations~\Eq{(2)},
on obtiendra effectivement les expressions de toutes les dérivées
du second ordre.

Pour faciliter ce calcul, nous introduirons les cosinus
directeurs de la normale:
\[
\Tag{(6)}
l = \frac{A}{H},\qquad
m = \frac{B}{H},\qquad
n = \frac{C}{H};
\]
et nous substituerons à la forme $\sum A\, d^{2}x$ la forme
\[
\Tag{(7)}
\sum l · d^{2}x
  = \frac{1}{H} \sum A · d^{2}x
  = L · du^{2} + 2 · M · du · dv + N · dv^{2}
\]
de sorte qu'on aura
\[
\Tag{(8)}
L = \frac{E'}{H},\qquad
M = \frac{F'}{H},\qquad
N = \frac{G'}{H};
\]
et que les équations~\Eq{(2)} seront remplacées par
%% -----File: 072.png---Folio 64-------
\[
\Tag{(9)}
\sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} = L,\qquad
\sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} = M,\qquad
\sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}} = N.
\]
Cela fait, si on pose:
\begin{alignat*}{3}
\frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}}
  &= L'\, \frac{\dd x}{\dd u} &&+ L''\, \frac{\dd x}{\dd v} &&+ L''' l, \\
\frac{\dd^{2} y}{\dd u^{2}}
  &= L'\, \frac{\dd y}{\dd u} &&+ L''\, \frac{\dd y}{\dd v} &&+ L''' m, \\
\frac{\dd^{2} z}{\dd u^{2}}
  &= L'\, \frac{\dd z}{\dd u} &&+ L''\, \frac{\dd z}{\dd v} &&+ L''' n,
\end{alignat*}
$L', L'', L'''$ étant des coefficients à déterminer, on aura pour
les calculer les conditions
\[
\sum \frac{\dd x}{\dd u}\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} = E L' + F L'',\quad
\sum \frac{\dd x}{\dd v}\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} = F L' + G \DPtypo{L'}{L''},\quad
\sum l\, \DPtypo{\frac{dx}{du}}{\frac{\dd^2 u}{\dd x^2}} = L''';
\]
d'où on conclut d'abord $L''' = L$; et ensuite, en se servant
des formules~\Eq{(5)}, des équations qui donneront $L'$~et~$L''$.

En opérant de même pour les autres dérivées, on obtient
les résultats suivants
\[
\Tag{(10)}
\left\{
\begin{alignedat}{5}
\frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}}
  &= L'\, &&\frac{\dd x}{\dd u} &&+ L''\, &&\frac{\dd x}{\dd v} &&+ L·l, \\
\frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v}
  &= M'\, &&\frac{\dd x}{\dd u} &&+ M''\, &&\frac{\dd x}{\dd v} &&+ M·l, \\
\frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}}
  &= N'\, &&\frac{\dd x}{\dd u} &&+ N''\, &&\frac{\dd x}{\dd v} &&+ N·l,
\end{alignedat}
\right.
\]
avec les équations auxiliaires:
\[
\Tag{(11)}
\left\{
\begin{alignedat}{4}
E L' &+ F L'' &&= \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd u}, &
F L' &+ G L'' &&= \frac{\dd F}{\dd u} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v}, \\
E M' &+ F M'' &&= \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v}, &
F M' &+ G M'' &&= \frac{\dd G}{\dd u}, \\
E N' &+ F N'' &&= \frac{\dd F}{\dd v} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd u},
\quad &
F N' &+ G N'' &&= \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd v},
\end{alignedat}
\right.
\]
d'où on déduirait les valeurs des coefficients $L', L''$, $M', M''$, $N',
N''$. On remarquera qu'elles ne dépendent que des coefficients
$E, F, G$ de l'élément linéaire $ds^{2} = \Phi(du, dv)$, et des dérivées
premières de ces coefficients.
%% -----File: 073.png---Folio 65-------

Enfin, les mêmes équations~\Eq{(10)} subsisteront pour les
autres coordonnées $y, z$; il n'y aura qu'à y laisser les mêmes
coefficients, et à y remplacer la lettre~$x$ par la lettre~$y$ ou
la lettre~$z$, en même temps qu'on changera~$l$ en~$m$ ou en~$n$.

Nous concluons de là que si on \DPchg{connait}{connaît}, pour un système
de valeurs de $u, v$, les valeurs de $x, y, z$ et de leurs dérivées
premières, on pourra calculer les valeurs de leurs dérivées
secondes; et, par des différentiations nouvelles, celles
de toutes leurs dérivées d'ordre supérieur. Et par suite les
développements en séries de Taylor d'une intégrale quelconque
ne peuvent contenir d'autres arbitraires que les valeurs initiales
de
\[
x,\ y,\ z,\quad
\frac{\dd x}{\dd u},\
\frac{\dd x}{\dd v},\quad
\frac{\dd y}{\dd u},\
\frac{\dd y}{\dd v},\quad
\frac{\dd z}{\dd u},\
\frac{\dd z}{\dd v};
\]
et encore celles-ci doivent être liées par les équations~\Eq{(1)};
et, lorsque ces valeurs initiales sont données, l'intégrale
est entièrement déterminée.

Donc, pour prouver que \Eq{(4)}~donne l'intégrale générale, il
reste seulement à montrer que \Eq{(4)}~peut satisfaire aux conditions
initiales énoncées. Or, si nous introduisons les cosinus
directeurs $l', m', n'$; $l'', m'', n''$ des tangentes $MU, MV$ aux deux
courbes coordonnées qui passent par un point quelconque~$M$ de
la surface, nous aurons
\begin{alignat*}{3}
\frac{\dd x}{\dd u} &= l' \sqrt{E},\qquad &
\frac{\dd y}{\dd u} &= m' \sqrt{E},\qquad &
\frac{\dd z}{\dd u} &= n' \sqrt{E}, \\
\frac{\dd x}{\dd v} &= l'' \sqrt{G},\qquad &
\frac{\dd y}{\dd v} &= m'' \sqrt{G},\qquad &
\frac{\dd z}{\dd v} &= n'' \sqrt{G};
\end{alignat*}
et les conditions~\Eq{(1)} se réduiront à
\[
\sum l'{}^{2} = 1,\qquad
\sum l''{}^{2} = 1,\qquad
\sum l'l'' = \frac{F}{\sqrt{EG}} = \cos \omega,
\]
%% -----File: 074.png---Folio 66-------
$\omega$ étant l'angle $\DPchg{\widehat{UMV}}{(MU, MV)}$.

Les conditions initiales signifient donc que l'on se donne
arbitrairement la position du point~$M$, et la direction des
tangentes $M U, M V$, sous la réserve que ces directions fassent
entre elles le même angle qu'elles font au point correspondant
de~$(S)$. Il y a donc bien une des positions de~$(S)$ qui satisfait
à ces conditions, et notre résultat se trouve définitivement
établi.

\Paragraph{Remarque.} Le raisonnement précédent serait en défaut,
si les courbes coordonnées étaient les lignes minima (à cause
de $E = G = 0$). Mais il suffit de remarquer que si $\Phi$~et~$\Psi$\DPtypo{,}{}
sont connues, pour un système de coordonnées $u, v$, on en déduit
leurs expressions pour un autre système de coordonnées $u, v$, en
y effectuant directement le changement de variables correspondant.
Notre théorème est donc vrai pour tout système de coordonnées
superficielles, dès qu'il est vrai pour un seul.


\Section{Les \DPtypo{Conditions}{conditions} d'\DPtypo{Intégrabilité}{intégrabilité}.}
{2.}{} Les coefficients des formules~\Eq{(10)} satisfont à certaines
conditions, dites \emph{conditions d'intégrabilité} qu'on
obtient en écrivant que les dérivées du troisième ordre $\dfrac{\dd^{3} x}{\dd u^{2}\, \dd v}$,
$\dfrac{\dd^{3} x}{\dd u\, \dd v^{2}}$ ont la même valeur, qu'on les obtienne en différentiant
l'une ou l'autre des formules~\Eq{(10)}.

Pour pouvoir calculer ces conditions, il est commode d'avoir
des formules qui donnent les dérivées des cosinus directeurs
$l, m, n$ de la normale. Ils sont définis par les équations
\[
\sum l\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0,\qquad
\sum l\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0,\qquad
\sum l^{2} = 1,
\]
qui donnent, par différentiation:
%% -----File: 075.png---Folio 67-------
\[
\Tag{(12)}
\begin{aligned}
&\sum \frac{\dd l}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\dd u}
  = - \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} = -L, &&
\sum \frac{\dd l}{\dd v}\, \frac{\dd x}{\dd u}
  = - \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} \rlap{${} = -M$,} \\
&\sum \frac{\dd l}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\dd v}
  = - \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} = -M, &&
\sum \frac{\dd l}{\dd v}\, \frac{\dd x}{\dd v}
  = - \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}} = -N\Add{,} \\
&\sum \frac{\dd l}{\dd u}\, l = 0, &&
\sum \frac{\dd l}{\dd v}\, \DPtypo{v}{l} = 0.
\end{aligned}
\]
Si donc on pose, en suivant la même méthode qu'au paragraphe
précédent,
\begin{align*}
\frac{\dd l}{\dd u} &= P'\, \frac{\dd x}{\dd u} + P''\, \frac{\dd x}{\dd v} + Pl, \\
\frac{\dd \DPtypo{n}{m}}{\dd u} &= P'\, \frac{\dd y}{\dd u} + P''\, \frac{\dd y}{\dd v} + Pm, \\
\frac{\dd n}{\dd \DPtypo{v}{u}} &= P'\, \frac{\dd z}{\dd u} + P''\, \frac{\dd \DPtypo{x}{z}}{\dd v} + Pn,
\end{align*}
on trouvera:
\[
\sum \frac{\dd x}{\dd u}\, \frac{\dd l}{\dd u} = EP' + FP'',\quad
\sum \frac{\dd x}{\dd v}\, \frac{\dd l}{\dd u} = FP' + GP'',\quad
\sum l\, \frac{\dd l}{\dd u} = P;
\]
c'est-à-dire qu'on peut écrire, en tenant compte des formules~\Eq{(12)},
\[
\Tag{(13)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\dd l}{\dd u} &= P'\, \frac{\dd x}{\dd u} + P''\, \frac{\dd x}{\dd v},
\quad\text{et de même:} \\
\frac{\dd l}{\dd v} &= Q'\, \frac{\dd x}{\dd u} + Q''\, \frac{\dd x}{\dd v},
\end{aligned}
\right.
\]
les coefficients $P', P'', Q', Q''$ étant définis par:
\[
\Tag{(14)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
EP' + FP'' &= -L,\qquad & FP' + GP'' &= -M, \\
EQ' + FQ'' &= -M,\qquad & FQ' + GQ'' &= -N,
\end{alignedat}
\right.
\]
et qu'on aura les mêmes formules pour $m, n$ en changeant~$x$ en~$y$,
et en~$z$, respectivement.

Nous achèverons le calcul, en supposant la surface rapportée
à ses lignes minima. Les calculs précédents se simplifient
alors beaucoup. Si nous appliquons directement les formules
trouvées, nous obtenons:
\begin{gather*}%[** TN: Rearranged]
E = 0,\qquad G = 0, \\
L'' = 0,\quad L' = \frac{\dd \log F}{\dd u},\quad
M'' = 0,\quad M' = 0, \quad
N'' = \frac{\dd \log F}{\dd v}, \quad N' = 0; \\
P'' = - \frac{L}{F},\quad P' = - \frac{M}{F},\qquad
Q'' = - \frac{M}{F},\quad Q' = - \frac{N}{F};
\end{gather*}
%% -----File: 076.png---Folio 68-------
c'est-à-dire
\begin{align*}
\Tag{(15)}
&\left\{
\begin{aligned}
\frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}}
  &= \frac{\dd \log F}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd u} + L · l, \\
\frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v}
  &= M · l, \\
\frac{\dd^{2} x}{\dd v\DPtypo{}{^{2}}}
  &= \frac{\dd \log F}{\dd v} · \frac{\dd x}{\dd v} + N · l,
\end{aligned}
\right. \\
\Tag{(16)}
&\left\{
\begin{aligned}
\frac{\dd l}{\dd u}
  &= -\frac{1}{F} \left(M\, \frac{\dd x}{\dd u}
                      + L\, \frac{\dd x}{\dd v}\right), \\
\frac{\dd l}{\dd v}
  &= -\frac{1}{F} \left(N\, \frac{\dd x}{\dd u}
                      + M\, \frac{\dd x}{\dd v}\right).
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
Alors, en différentiant la première équation~\Eq{(15)}, il vient:
\begin{align*}
\frac{\dd^{3} x}{\dd u^{2}\, dv}
  &= \left(\frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v} - \frac{NL}{F} \right)
       \frac{\dd x}{\dd u}
   - \frac{LM}{F}\, \frac{\dd x}{\dd v}
   + \left(\frac{\dd \log F}{\dd u}\, M + \frac{\dd L}{\dd v} \right)l, \\
\intertext{en différentiant la deuxième équation~\Eq{(15)}, il vient}
\frac{\dd^{3} x}{\dd u^{2}\, \dd v}
  &= \frac{-M^{2}}{F} · \frac{\dd x}{\dd u} - \frac{LM}{F}\, \frac{\dd x}{\dd v} + \frac{\dd M}{\dd u}\, l;
\end{align*}
et en égalant, on obtient:
\[
\Tag{(17)}
\left( \frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v} - \frac{LN - M^{2}}{F} \right) \frac{\dd x}{\dd u}
  + \left( \frac{\dd \log F}{\dd u}\, M + \frac{\dd L}{\dd v} - \frac{\dd M}{\dd u} \right) l = 0.
\]
C'est là une condition de la forme
\begin{alignat*}{3}
S'\, \frac{\dd x}{\dd u} &+ S''\, \frac{\dd x}{\dd v} &&+ Sl &&= 0, \\
\intertext{et en reprenant le même calcul, pour $y$~et~$z$, on obtiendrait
les conditions analogues}
S'\, \frac{\dd y}{\dd u} &+ S''\, \frac{\dd y}{\dd v} &&+ Sm &&= 0, \\
S'\, \frac{\dd z}{\dd u} &+ S''\, \frac{\dd z}{\dd v} &&+ Sn &&= 0.
\end{alignat*}
On en conclut qu'on a nécessairement $\DPtypo{S'}{S} = S' = S'' = 0$, c'est-à-dire
ici
\[
\Tag{(18)}
\frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v} - \frac{LN - M^{2}}{F} = 0,\qquad
M\, \frac{\dd \log F}{\dd u} + \frac{\dd L}{\dd v} - \frac{\dd M}{\dd u} = 0;
\]
et cela est suffisant pour que~\Eq{(17)} ait lieu.

En égalant de même les deux valeurs de $\dfrac{\dd^{3} x}{\dd u\, \dd v^{2}}$, on obtiendra
%% -----File: 077.png---Folio 69-------
les conditions qui se déduisent de~\Eq{(18)} en échangeant les
rôles des variables $u, v$; cela ne modifie que la seconde de ces
conditions.

Les conditions d'intégrabilité cherchées sont donc:
\[
\Tag{(19)}
\left\{
\begin{aligned}
M\, \frac{\dd \log F}{\dd u} &= \frac{\dd M}{\dd u} - \frac{\dd L}{\dd v}\Add{,} \\
\frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v} &= \frac{LN - M^{2}}{F}\Add{,} \\
M\, \frac{\dd \log F}{\dd v} &= \frac{\dd M}{\dd v} - \frac{\dd N}{\dd u}\Add{,}
\end{aligned}
\right.
\]
et ce sont là, d'après la théorie des équations différentielles,
les seules conditions d'intégrabilité du système considéré.


\Section{Courbure totale.}
{3.}{} La \Ord{2}{e} des formules précédentes, due à Gauss
\[
\frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v} = \frac{LN - M^2}{F}
\]
conduit à une conséquence importante. Reprenons en effet l'équation
aux rayons de courbure principaux qui est ici
\[
H^{2}(LN - M^{2}) + 2SFHM - S^{2}F^{2} =0,
\]
où
\[
S = \frac{H}{R}.
\]

On peut l'écrire
\[
LN - M^{2} + 2FM · \frac{1}{R} - \frac{F^{2}}{R^{2}} = 0,
\]
d'où
\[
\frac{1}{R_{1}R_{2}} = - \frac{LN - M}{F},
\]
c'est-à-dire
\[
\frac{1}{R_{1}R_{2}} = - \frac{1}{F}\, \frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v}\Add{;}
\]
\emph{le produit des rayons de courbure principaux ne dépend que de
l'élément linéaire; il se conserve donc dans la déformation
des surfaces}. On donne à $\dfrac{1}{R_{1}R_{2}}$ le nom de \emph{\DPtypo{Courbure}{courbure} totale}.

\Paragraph{Représentation sphérique.} De même que l'on a fait correspondre
%% -----File: 078.png---Folio 70-------
à une courbe son indicatrice sphérique, on peut imaginer
une correspondance entre une surface quelconque et la
sphère de rayon~$1$, l'homologue d'un point $(u\Add{,} v)$ de la surface
étant le point $(l, m, n)$. A une aire de la surface correspond une
aire sphérique. La considération de la limite du rapport de
ces aires lorsqu'elles deviennent infiniment petites dans toutes
leurs dimensions va nous conduire à une définition directe
de la courbure totale.

L'aire sur la surface a pour expression
\[
\Area = \iint \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}\, du\, dv = \iint H\, du\, dv,
\]
Pour avoir l'aire homologue sur la sphère, il faut d'abord
calculer l'élément linéaire $dl^{2} + dm^{2} + dn^{2}$. D'après les formules~\Eq{(16)}
du \Numero~précédent, nous avons
\begin{align*}
dl &= \frac{\dd l}{\dd u}\, du + \frac{\dd l}{\dd v}\, dv
  = - \frac{du}{F} \left(L\, \frac{\dd x}{\dd v} + M\, \frac{\dd x}{\dd u} \right)
    - \frac{dv}{F} \left(N\, \frac{\dd x}{\dd u} + M\, \frac{\dd x}{\dd v} \right) \\
  &= -\frac{1}{F}
    \left[L\, \frac{\dd x}{\DPtypo{d}{\dd v}}\, du
        + M\, dx + N\, \frac{\dd x}{\dd u}\, dv \right];
\end{align*}
d'où
\begin{gather*}
\sum dl^{2} = \frac{1}{F^{2}} \left[M^{2}·2F\, du\, dv + 2LMF·du^{2} + 2MNF·dv^{2} + 2LNF·du\, dv \right], \\
\sum dl^{2} = \frac{2LM}{F}\, du^{2} + 2\, \frac{LN + M^2}{F}\, du\, dv + \frac{2MN}{F}\, dv^{2}.
\end{gather*}
Pour la sphère la fonction~$H$ sera donc
\[
\sqrt{4\, \frac{LM^{2}N}{F^{2}} - \frac{(LN + M^{2})^{2}}{F^{2}}}
  = \frac{LN - M^{2}}{iF} = \frac{LN - M^{2}}{H},
\]
et l'aire sphérique a pour expression
\[
\Area' = \iint \frac{LN - M^{2}}{H}\, du\, dv;
\]
ce qui peut s'écrire, en remarquant que
\begin{gather*}%[** TN: Set first two equations on a single line]
d\Area = H·du\, dv,\qquad
\Area' = \iint \frac{LN - M^{2}}{H^{2}} · d\Area
  = \iint \frac{1}{R_{1} R_{2}}\, d\Area\Add{,} \\
\intertext{donc}
d\Area' = \frac{1}{R_{1} R_{2}}\, d\Area;
\end{gather*}
%% -----File: 079.png---Folio 71-------
\emph{le rapport des aires homologues sur la surface et sur la sphère
a donc pour limite la courbure totale, lorsque ces aires
deviennent infiniment petites dans toutes leurs dimensions}.


\Section{Coordonnées orthogonales et isothermes.}
{4.}{} Pour éviter l'emploi des imaginaires dans les considérations
qui \DPtypo{précèdent}{précédent}, nous introduirons un nouveau système
de coordonnées curvilignes. La surface étant supposée réelle,
nous choisirons les coordonnées minima de façon que $u, v$ soient
imaginaires conjugués. Nous poserons donc
\[
u = u' + iv',\qquad
v = u' - iv',
\]
$u'\Add{,} v'$ étant des quantités réelles. Nous en tirons
\[
du = du' + i\, dv',\qquad
dv = du' - i\, dv',
\]
d'où
\[
du\, dv = du'{}^{2} + dv'{}^{2}.
\]
L'élément linéaire prend la forme
\[
ds^{2} = 2F·du\, dv = 2F (du'{}^{2} + dv'{}^{2});
\]
les coordonnées $u'\Add{,} v'$ sont orthogonales; on leur donne le nom
de \emph{coordonnées orthogonales et isothermes}. On peut dire que
\emph{ces coordonnées divisent la surface en un réseau de carrés infiniment
petits}. Considérons en effet les courbes coordonnées
$u', u' + h, u' + 2h\Add{,} \dots$ et $v', v' + h, v'+ 2h\Add{,} \dots$; si on prend l'un
des quadrilatères curvilignes obtenus, ses \Card{4} angles sont droits,
ses côtés sont $\sqrt{2F}\Add{·}du'$~et~$\sqrt{2F}·dv'$, c'est-à-dire~$\sqrt{2F}·h$, aux
infiniment petits d'ordre supérieur près; ces arcs sont égaux.

Avec ce système de coordonnées particulières, en désignant
%[** TN: Reworded to follow the typeset edition]
par $\overline{E}, \overline{F}, \overline{G}, \overline{H}$ les valeurs des fonctions \DPtypo{$\overline{E}, \overline{F}, \overline{G}, \overline{H}$}{analogues à $E, F, G, H$}, nous avons
\[%[** TN: Not displayed in manuscript, but displayed in typeset edition]
\overline{E} = 2F,\quad
\overline{G} = 2F,\quad
\overline{F} = 0,\quad
\overline{H}^{2} = \overline{E}\overline{G} - \overline{F}^{2} = 4 F^{2},\quad
\overline{H} = 2F,
\]
donc
\[
ds^{2} = \overline{H} (du'{}^{2} + dv'{}^{2}).
\]
%% -----File: 080.png---Folio 72-------
Mais nous avons
\[
\frac{\dd \Phi}{\dd u'} = \frac{\dd \Phi}{\dd u} + \frac{\dd \Phi}{\dd v},\qquad
\frac{\dd \Phi}{\dd v'} = i \left(\frac{\dd \Phi}{\dd u} - \frac{\dd \Phi}{\dd v} \right);
\]
d'où
\[
\frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u'{}^{2}}
  = \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u^{2}}
  + 2\, \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u\, \dd v}
  + \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd v^{2}},\qquad
\frac{\dd^{2} \Phi}{\dd v'{}^{2}}
  = - \left[ \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u^{2}}
    - 2\, \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u\, \dd v}
    + \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd v^{2}} \right],
\]
et
\[
\frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u'{}^{2}} + \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd v'{}^{2}}
  = 4\, \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u\, \dd v}\Add{,}
\]
\DPtypo{D'où}{d'où} par conséquent
\[
4\, \frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v}
  = \DPtypo{}{4\,}\frac{\dd^{2} \log \overline{H}}{\dd u\, \dd v}
  = \frac{\dd^{2} \log \overline{H}}{\dd u'{}^{2}}
  + \frac{\dd^{2} \log \overline{H}}{\dd v'{}^{2}}.
\]
En supprimant les accents, nous avons donc les formules suivantes,
en coordonnées orthogonales et isothermes:
\begin{gather*}
ds^{2} = H (du^{2} + dv^{2}), \\
\frac{1}{R_{1} R_{2}}
  = -\frac{1}{2H} \left( \frac{\dd^{2} \log H}{\dd u^{2}} + \frac{\dd^{2} \log H}{\dd v^{2}} \right).
\end{gather*}
Nous poserons encore
\[
\sum l\, d^{2} x = L\, du^{2} + 2M\, du\, dv + N\, dv^{2}.
\]
L'équation aux rayons de courbure principaux sera
\[
(LN -M^{2}) - \frac{H}{R} (L + N) + \frac{H^{2}}{R^{2}} = 0,
\]
et on aura
\[
\frac{1}{R_{1}R_{2}} = \frac{LN - M^{2}}{H^{2}}.
\]

Calculons la représentation sphérique. Posons
\begin{alignat*}{3}
l' &= \frac{1}{\sqrt{H}}\Add{·} \frac{\dd x}{\dd u},\qquad &
m' &= \frac{1}{\sqrt{H}} · \frac{\dd y}{\dd u},\qquad &
n' &= \frac{1}{\sqrt{H}} · \frac{\dd z}{\dd u}, \\
l'' &= \frac{1}{\sqrt{H}}\Add{·} \frac{\dd x}{\dd v},\qquad &
m'' &= \frac{1}{\sqrt{H}} · \frac{\dd y}{\dd v},\qquad &
n'' &= \frac{1}{\sqrt{H}} · \frac{\dd z}{\dd v}.
\end{alignat*}
De la relation
\[
\sum  l^{2} = 1,
\]
nous tirons
\[
\sum l · \frac{\dd l}{\dd u} = 0.
\]
Maintenant
\[
L = \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}}
  = - \sum \frac{\dd l}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd u}
  = - \sqrt{H} · \sum l'\, \frac{\dd l}{\dd u};
\]
d'où
\[
\sum l'\, \frac{\dd l}{\dd u} = - \frac{L}{\sqrt{H}};
\]
de même
\[%[** TN: Set on two lines in original]
M = \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v}
  = - \sum \frac{\dd l}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd v}
  = - \sqrt{H} \sum l''\, \frac{\dd l}{\dd u}, \qquad
\sum l''\, \frac{\dd l}{\dd u} = - \frac{M}{\sqrt{H}}.
\]
D'où \Card{3} équations en $\dfrac{\dd l}{\dd u}, \dfrac{\dd m}{\dd u}, \dfrac{\dd n}{\dd u}$. Multiplions respectivement par
%% -----File: 081.png---Folio 73-------
$l'\Add{,} l''\Add{,} l'''$ et ajoutons, il vient
\begin{align*}
\frac{\dd l}{\dd u}
  &= - \frac{L}{H} · \frac{\dd x}{\dd u}
     - \frac{M}{H} · \frac{\dd x}{\dd v}; \\
\intertext{de même:}
\frac{\dd m}{\dd u}
  &= - \frac{L}{H} · \frac{\dd y}{\dd u}
     - \frac{M}{H}\Add{·} \frac{\dd y}{\dd v}, \\
\frac{\dd n}{\dd u}
  &= - \frac{L}{H}\Add{·} \frac{\dd z}{\dd u}
     - \frac{M}{H} · \frac{\dd z}{\dd v}.
\end{align*}
On obtiendra de même
\begin{align*}
\frac{\dd l}{\dd v}
  &= - \frac{1}{H} \left(M\, \frac{\dd x}{\dd u}
                       + N\, \frac{\dd x}{\dd v}\right), \\
\frac{\dd m}{\dd v}
  &= - \frac{1}{H} \left(M\, \frac{\dd y}{\dd u}
                       + N\, \frac{\dd y}{\dd v}\right), \\
\frac{\dd n}{\dd v}
  &= - \frac{1}{H} \left(M\, \frac{\dd z}{\dd u}
                       + N\, \frac{\dd z}{\dd v}\right).
\end{align*}
Alors, sur la sphère, les \Card{3} fonctions $E\Add{,} F\Add{,} G$ seront
\begin{alignat*}{2}
\scrE &= \sum \left(\frac{\dd l}{\dd u}\right)^{2}\!\!
  &&= \frac{1}{H^{2}} \sum \left(L\, \frac{\dd x}{\dd u}
                               + M\, \frac{\dd x}{\dd v}\right)^{2}
  = \frac{L^{2} + M^{2}}{H}, \\
%
\scrF &= \sum \frac{\dd l}{\dd u} · \frac{\dd l}{\dd v}
  &&= \frac{1}{H^{2}}
      \sum \left(L\, \frac{\dd x}{\dd u} + M\, \frac{\dd x}{\dd v}\right)
     \!·\! \left(M\, \frac{\dd x}{\dd u} + N\, \frac{\dd x}{\dd v}\right)
  = \frac{M (L + N)}{H}, \\
%
\scrG &= \sum \left(\frac{\dd l}{\dd v}\right)^{2}\!\!
  &&= \frac{1}{H^{2}} \sum \left(M\, \frac{\dd x}{\dd u}
                               + N\, \frac{\dd x}{\dd v}\right)^{2}
  = \frac{M^{2} + N^{2}}{H};
\end{alignat*}
et
\[
\scrH^{2} = \scrE\scrG - \scrF^{2}
  = \frac{(L^{2} + M^{2}) (M^{2} + N^{2})- M^{2} (L + N)^{2}}{H^{2}}
  = \left( \frac{LN - M^{2}}{H}\right)^{2},
\]
et alors l'aire sur la sphère a pour expression
\[
\Area' = \iint \frac{LN - M^{2}}{H}\, du\, dv.
\]
On retrouve la même expression que précédemment, et on arriverait
de même à la définition directe de la courbure totale.

\Paragraph{Remarque.} Dans l'expression précédente, $\Area$ a un signe,
qui est celui de $LN - M^{2}$. Considérons le déterminant des cosinus
$l, m, n$; $l', m', n'$; $l'', m'', n''$: il est égal, à un facteur positif près
à
\[
\begin{vmatrix}
l & m & n \\
\mfrac{\dd l}{\dd u} & \mfrac{\dd m}{\dd u} & \mfrac{\dd n}{\dd u} \\
\mfrac{\dd l}{\dd v} & \mfrac{\dd m}{\dd v} & \mfrac{\dd n}{\dd v}
\end{vmatrix}
= \frac{LN  - M^{2}}{H^{2}}
\begin{vmatrix}
l & m & n \\
\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\
\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v}
\end{vmatrix}\Add{.}
\]
Il résulte de cette formule que, si $\Area\Area' > 0$, le point mobile $x\Add{,}y\Add{,}z$
%% -----File: 082.png---Folio 74-------
décrivant le contour qui limite l'aire sur la surface dans le
sens direct le point $l, m, n$ décrira le contour qui limite l'aire
homologue sur la sphère aussi dans le sens direct. Si $\Err{\Area'}{\Area\Area'} < 0$,
les conclusions sont inverses.


\Section{Relations entre la courbure totale et la courbure géodésique.}
{5.}{} La courbure totale est un élément qui reste invariant
dans la déformation des surfaces. Cherchons s'il y a des relations
entre elle et les autres éléments invariants dans la
déformation. Considérons la courbure géodésique. En coordonnées
orthogonales et isothermes, son expression est
\[
\llap{$\dfrac{1}{R_{g}} = $}\dfrac{1}{H\, ds^{3}}
  \left[ H^{2} (du\, d^{2} v - dv\, d^{2} u)
  -
  \begin{vmatrix}
  \phantom{-}  \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd H}{\dd u}\, du^{2}
                 + \mfrac{\dd H}{\dd v}\, du\, dv
  - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd H}{\dd u}\, dv^{2} & H\, du \\
  - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd H}{\dd v}\, du^{2}
                 + \mfrac{\dd H}{\dd u}\, du\, dv
  + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd H}{\dd v}\, dv^{2} & H\, dv
\end{vmatrix}
\right],
\]
ou
\[
\frac{1}{R_{g}} = \frac{1}{ds^{3}} \left[
  H (du\, d^{2} v - dv\, d^{2} u)
  + \frac{1}{2} \left(\frac{\dd H}{\dd u}\, dv - \frac{\dd H}{\dd v}\, du\right) (du^{2} + dv^{2})\right];
\]
mais on a
\[
ds^{2} = (du^{2} + dv^{2})\, H,
\]
et la formule précédente s'écrit
\begin{align*}
\frac{ds}{R_{g}}
  &= \frac{du\, d^{2} v - dv\, d^{2} u}{du^{2} + dv^{2}}
   + \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd u}\, dv - \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd v}\, du; \\
\intertext{ou encore}
\frac{ds}{R_{g}}
  &= d \left(\arctg \frac{dv}{du}\right)
   + \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd u}\, dv - \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd v}\, du.
\end{align*}
Imaginons alors dans le plan tangent les tangentes $MU, MV$ aux
courbes coordonnées dans le sens des $u, v$ croissants; considérons
la tangente à une courbe quelconque $MT$ de la surface, et
soit $(MU, MT) = \phi$. Nous avons
%[** TN: Set each of next two aligned pairs on a single line]
\[
\Cos \phi = \sqrt{H} · \frac{du}{ds}, \qquad
\sin \phi = \sqrt{H}\Add{·} \frac{dv}{ds};
\]
%% -----File: 083.png---Folio 75-------
d'où
\[
\tg \phi = \frac{dv}{du}, \qquad
\phi = \arctg\DPtypo{.} \frac{dv}{du};
\]
et la formule précédente devient
\[
\frac{ds}{R_{g}}
  = d \phi
  + \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd u}\,  dv
  - \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd v}\,  du.
\]
Prenons alors sur~$S$ un contour fermé et intégrons le long de
ce contour dans le sens direct
\[
\int \frac{ds}{R_{g}}
  = \int d \phi
  + \frac{1}{2} \int \frac{\dd \log H}{\dd u}\,  dv
  - \frac{1}{2} \int \frac{\dd \log H}{\dd v}\,  du.
\]
\Figure[2.75in]{083a}
Rappelons le \emph{Théorème de Green}. Dans le plan des $u, v$, le
point $(u\Add{,}v)$ décrit un contour fermé, aussi
dans le sens direct. Menons les tangentes
parallèles à l'axe des~$u$; soient $A\Add{,} B$~les
points de contact. Nous avons ainsi \Card{2} arcs
$AMB$~et~$ANB$, et si nous désignons par~$\DPtypo{C}{c}$ le
contour, nous avons
\[
\int_c \frac{\dd f}{\dd u}\, dv
  = \int_{AMB} \frac{\dd f}{\dd u}\, dv
  + \int_{BNA} \frac{\dd f}{\dd u}\, dv\Add{.}
\]
Menons une parallèle à $OU$ qui coupe le contour en deux points
$M (u_{2})$~et~$N (u_{1})$\Add{.}

Soient $a, b$ les valeurs de~$U$ qui correspondent aux deux points
$A, B$. Nous avons
\[
\int_c \frac{\dd f}{\dd u}\, dv
  = \int_a^b \left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{u_{1}u_{2}} \kern -12pt \Err{dv\, dv}{d\gamma}
  - \int_a^b \left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{u_{1}u_{2}} \kern -12pt \Err{dv\, du}{d\gamma}
  = \int_a^b \left[
    \left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{2}
  - \left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{1}\right] dv.
\]
Mais
\[
\left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{2} - \left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{1}
  = \int_{u_{1}}^{u_{2}} \frac{\dd^{2} f}{\dd u^{2}} · du,
\]
et alors
\[
\int_c \frac{\dd f}{\dd u} · dv
  = \int_a^b dv \int_{u_{1}}^{u_{2}} \frac{\dd^{2} f}{\dd u^{2}} · du
  = \iint \frac{\dd^{2} f}{\dd u^{2}}\, du\, dv,
\]
%% -----File: 084.png---Folio 76-------
l'intégrale double étant étendue à toute l'aire limitée par le
contour. Cette formule subsiste pour un contour simple quelconque.
De même
\[
\int_c \frac{\dd f}{\dd v}\, du
  = - \iint \frac{\dd^{2} f}{\dd v^{2}} · du\, dv\Add{.}
\]
Alors nous aurons
\[
\int \frac{ds}{R_{g}}
  = \int d \phi
  + \frac{1}{2} \iint \left[\frac{\dd^{2} \log H}{\dd u^{2}}
                           + \frac{\dd^{2} \log H}{\dd v^{2}}\right] du\, dv,
\]
ou
\[
\int \frac{ds}{R_{g}}
  = \int d \phi - \iint \frac{H}{R_{1} R_{2}} · du\, dv
  = \int d \phi - \iint \frac{d\Area}{R_{1} R_{2}},
\]
d'où la \emph{formule d'Ossian Bonnet}
\[
\Area' = \iint \frac{d\Area}{R_{1} R_{2}}
  = \int d \phi - \int \frac{ds}{R_{g}}.
\]

\Paragraph{Remarque.} L'angle~$\phi$ est l'angle de~$MU$ avec la tangente
à la courbe. Supposons qu'en chaque point de la surface on
détermine une direction~$MO$, dont les cosinus directeurs sont
des fonctions bien déterminées de~$u\Add{,}v$. Soit $\psi = (MO, MU)$ et
$\psi' = (MO, MT)$.

Nous avons
\[
\phi' = \psi + \phi,
\]
d'où
\[
d \phi' = d \psi + d \phi.
\]
Intégrons le long d'un contour fermé quelconque
\[
\int d \phi' = \int d \psi + \int d \phi;
\]
or\Add{,} $\psi$~est une fonction de~$u\Add{,}v$, et le long d'un contour fermé,
on a
\[
\int d \psi (u, v) = 0;
\]
donc
\[
\int d \phi' = \int d \phi,
\]
et l'on peut substituer à l'angle~$\phi$ l'angle~$\phi'$ précédemment
défini.
%% -----File: 085.png---Folio 77-------


\Section{Triangles géodésiques.}{}{}
Nous appellerons \emph{triangle géodésique} la figure formée par
\Card{3} lignes géodésiques. Le long de chacun des côtés on a
\[
\int \frac{ds}{R_{g}} = \int \frac{\sin \theta}{R}\, ds = 0,
\]
et la formule d'O.~Bonnet nous donne
\[
\Area' = \int d \phi,
\]
c'est-à-dire
\[
\Area' = \int_{AB} d \phi + \int_{BC} d \phi + \int_{CA} d \phi.
\]

Les coordonnées
orthogonales et isothermes
constituent
une représentation
conforme de la surface
\Figure[5in]{085a}
sur le plan des~$u\Add{,}v$. Considérons donc sur ce plan la représentation~$a\Add{,} b\Add{,} c$ du triangle~$ABC$. Menons aux extrémités $a, b, c$ les
tangentes aux côtés dans le sens direct: Soient $T_{1}, T_{2}, T_{3}$, $T'_{1},
T'_{2}, T'_{3}$ ces tangentes. Si par un point du plan nous menons des
parallèles à ces tangentes, nous aurons
\[
\int_{AB} d \phi = (T'_{1}, T_{2}),\qquad
\int_{BC} d \phi = (T'_{2}, T_{3}),\qquad
\int_{CA} d \phi = (T'_{3}, T_{1});
\]
or\Add{,} si nous appelons $a, b, c$ les \Card{3} angles du triangle géodésique,
nous avons
\begin{multline*}%[** TN: Re-breaking]
(T'_{1}, T_{2}) + (T'_{2}, T_{3}) + (T'_{3}, T_{1}) \\
\begin{aligned}
  &= - \bigl[(T_{1}, T'_{1}) + (T_{2}, T'_{2}) + (T_{3}, T'_{3})\bigr]
    + \bigl[(T_{1}, T_{2}) + (T_{2}, T_{3}) + (T_{3}, T_{1})\bigr] \\
  &= 2 \pi - \bigl[(\pi - a) + (\pi - b) + (\pi - c)\DPtypo{}{\bigr]}
  = a + b + c - \pi,
\end{aligned}
\end{multline*}
d'où la \emph{formule de Gauss}
\[
a + b + c - \pi = \Area'.
\]
Si en particulier la surface est la sphère de rayon~$1$, on a
%% -----File: 086.png---Folio 78-------
la formule qui donne l'aire d'un triangle sphérique.

\Section{Nouvelle expression de la courbure géodésique.}{}{}%
Considérons un arc de courbe~$AB$; menons en $AB$ les géodésiques
tangentes à cette courbe, qui se
coupent en~$C$ sous un angle~$\epsilon$ que nous appellerons
\emph{angle de contingence géodésique}.
Le long du contour de ce triangle on a
\[
\int d \phi = - \epsilon,
\]
et la formule d'O.~Bonnet nous donne
\[
- \epsilon - \int_{AB} \frac{ds}{R_{g}} = \iint d\Area'.
\]
Supposons que $A$~corresponde au paramètre~$t$, $B$~à~$t + \Delta t$, et que
$\Delta t$ tende vers~$0$; soit $\Delta s$~l'arc~$AB$. Nous avons
\[
-\frac{\epsilon}{\Delta s} - \frac{1}{\Delta s} \int_{AB} \frac{ds }{R_{g}}
  = \frac{1}{\Delta s} \iint d\Area'.
\]
Soit $\left(\dfrac{1}{R_{g}}\right)_{m}$ la valeur moyenne de la courbure géodésique sur l'arc~$AB$;
nous avons,
\[
\frac{1}{\Delta s} \int_{AB} \frac{ds}{R_{g}}
  = \left(\frac{1}{R_{g}}\right)_{m},
\]
et par suite
\[
-\frac{\epsilon}{\Delta s} - \left(\frac{1}{R_{g}}\right)_{m}
  = \frac{1}{\Delta s} \iint dA'\Add{.}
\]
\begin{figure}[hbt]
\centering
\Input[1.75in]{086a}\hfil\hfil
\Input[2.25in]{086b}
\end{figure}
Si $\Delta s$ tend vers~$0$, $\left(\dfrac{1}{R_{g}}\right)_{m}$ a pour limite la courbure géodésique
au point~$A$. Je dis que le \Ord{2}{e} membre a pour limite~$0$; il suffit
de montrer que $\ds\iint d\Area'$ est infiniment petit
du \Ord{2}{e} ordre au moins. Considérons la représentation
$a, b, c$ du triangle~$ABC$ sur le
plan~$U\Add{,}V$.

Nous avons
%% -----File: 087.png---Folio 79-------
\[
\iint d\Area' = \iint \psi(u, v)\, du\, dv
  = \bigl[\psi (u, v)\bigr]_{m} \iint du\, dv
\]
et au signe près $\ds\iint du\, dv$ est égale à l'intégrale curviligne $\ds\int v\, du$.
Soient $v_{2}\Add{,} v_{1}$ les fonctions~$v$ sur les arcs $bc$~et~$bk$. La partie de
$\smash{\ds\int v\, du}$ donnée par ces arcs est $\ds\int_{u_{0}}^{u'} (v_{2} - v_{1})\, du$. Or\Add{,} les courbes $ab$~et~$bc$
étant tangentes en~$b$, $v_{2} - v_{1}$ est infiniment petit du \Ord{2}{e} ordre au
moins par rapport à $u'- u$ et \textit{à~fortiori} par rapport à $(u'- u_{0})$.
L'intégrale $\ds\int_{u_{0}}^{u'} (v_2 - v_1)\, du$, qui est égale au produit de $(u' - u_{0})$ par
la valeur moyenne de $(v_{2} - v_{1})$ sera donc du troisième ordre au moins
par rapport à $(u'- u_{0})$, et, par suite, par rapport à~$\Delta s$. Le même
raisonnement s'appliquant aux autres arcs $ac$~et~$ak$, on voit que
$\ds\iint d\Area'$ est du troisième ordre au moins.


\ExSection{IV}

\begin{Exercises}
\item[18.] \DPchg{Etablir}{Établir} les conditions d'intégrabilité qui lient les invariants
fondamentaux, en supposant la surface rapportée à ses
lignes de courbure.

\item[19.] Même question, en supposant la surface \DPtypo{rapportee}{rapportée} à une famille
de géodésiques et à leurs trajectoires orthogonales. Exprimer,
en fonction de la quantité~$H$, la courbure totale, et la forme
différentielle~$\dfrac{ds}{R_{g}} - d\phi$ (voir \hyperref[exercice11]{exercice~11}); et retrouver ainsi
la formule d'Ossian Bonnet.

\item[20.] En supposant les coordonnées quelconques, trouver celle des
conditions d'intégrabilité qui donne l'expression de la courbure
totale.
\end{Exercises}
%% -----File: 088.png---Folio 80-------


\Chapitre{V}{Surfaces Réglées.}

\Section{Surfaces développables.}
{1.}{} Pour définir la variation de la droite qui engendre
la surface réglée, nous nous donnerons la trajectoire d'un
point~$M$ de cette droite, et la direction de cette droite pour
\Figure{088a}
chaque position du point~$M$. Les coordonnées
d'un point de la surface sont ainsi exprimées
en fonction de deux paramètres, l'un
définissant la position du point~$M$ sur sa
trajectoire~$(K)$, l'autre définissant la position
du point~$P$ considéré sur la droite~$D$. Soit
\[
x = f(v),\qquad y = g(v),\qquad z = h(v),
\]
la courbe~$K$. Soient $l(v), m(v), n(v)$ les coefficients de direction
de la génératrice, et $u$~le rapport du segment~$MP$ au
segment de direction de la génératrice. Les coordonnées de~$P$
sont
\[
\Tag{(1)}
x = f(v) + u·l(v),\qquad
y = g(v) + u·m(v),\qquad
z = h(v) + u·n(v).
\]

Cherchons la condition pour que la surface définie par
les équations précédentes soit développable. Si nous exceptons
les cas du cylindre et du cône, la condition nécessaire et
suffisante est que les génératrices soient tangentes à une même
courbe gauche. On peut donc trouver sur la génératrice~$G$ un
point~$P$ tel que sa trajectoire soit constamment tangente à~$G$;
on doit donc avoir, en appelant $x, y, z$ les coordonnées de ce
point
\[
\frac{dx}{l} = \frac{dy}{m} = \frac{dz}{n} = d \rho;
\]
%% -----File: 089.png---Folio 81-------
d'où
\[
\Tag{(2)}
dx = l\, d \rho,\qquad
dy = m\, d \rho,\qquad
dz = n\, d \rho,
\]
Mais les équations~\Eq{(1)} donnent
\[
dx = df + u\, dl + l\, du,\quad
dy = dg + u\, dm + m\, du,\quad
dz = dh + u\, dn + n\, du
\]
et les équations~\Eq{(2)} s'écrivent
\begin{alignat*}{5}
&df &&+ u\, dl &&+ l\,&&(du - d \rho) &&= 0, \\
&dg &&+ u\, dm &&+ m\,&&(du - d \rho) &&= 0, \\
&dh &&+ u\, dn &&+ n\,&&(du - d \rho) &&= 0;
\end{alignat*}
ou, en posant
\begin{gather*}%[** TN: Set second group on separate lines, added brace]
\Tag{(3)}
d \sigma = du - d \rho, \\
\Tag{(4)}
\left\{
\begin{alignedat}{4}
&df &&+ u\, dl &&+ l\, &&d \sigma = 0, \\
&dg &&+ u\, dm &&+ m\, &&d \sigma = 0, \\
&dh &&+ u\, dn &&+ n\, &&d \sigma = 0,
\end{alignedat}
\right.
\end{gather*}
$d \sigma$~et~$u$ doivent satisfaire à ces \Card{3} équations linéaires; donc
on doit avoir
\[
\Tag{(5)}
\begin{vmatrix}
df & dl & l \\
dg & dm & m \\
dh & dn & n
\end{vmatrix}
= 0\Add{.}
\]

Si les \Card{3} déterminants déduits du tableau
\[
\begin{Vmatrix}
dl & dm & dn \\
l  &  m &  n
\end{Vmatrix}
\]
ne sont pas tous nuls, la condition~\Eq{(5)} est suffisante. Si ces
\Card{3} déterminants sont nuls, on a
\[
\frac{dl}{l} = \frac{dm}{m} = \frac{dn}{n}\Add{,}
\]
et l'intégration de ces équations nous montre que $l, m, n$ sont
proportionnels à des quantités fixes; la surface est alors un
cylindre. En écartant ce cas, la condition~\Eq{(5)} est nécessaire
et suffisante.

\Paragraph{Remarque \1.} Pour que le point~$P$ décrive effectivement
une courbe, il faut que $dx, dy, dz$, et par suite~$d\rho$, ne soient
%% -----File: 090.png---Folio 82-------
pas identiquement \DPtypo{nu}{nul}. Si on avait $d \rho = 0$, toutes les génératrices
passeraient par un point fixe, la surface serait un
cône. La condition~\Eq{(5)} s'applique donc au cas du cône.

\Paragraph{Remarque \2.} On emploie souvent les équations de la génératrice
sous la forme
\[
x = Mz + P,\qquad
y = Nz + Q,
\]
$M, N, P, Q$, étant fonctions d'un paramètre arbitraire. C'est un
cas particulier de la représentation générale~\Eq{(1)} dans laquelle
on fait $h(v) = 0$ et $n(v) = 1$; alors $z = u$, et on peut écrire
\[
\Tag{(6)}
x = f(v) + z·l(v)\Add{,}\qquad
y = g(v) + z·m(v)\Add{,}
\]
les coefficients de direction sont $l, m, 1$. La courbe~$(K)$ est
alors la section par le plan $z = 0$; dans ce cas la condition
\Eq{(5)}~prend la forme simple
\[
\Tag{(7)}
\begin{vmatrix}
df & dl \\
dg & dm
\end{vmatrix} = 0,\quad\text{c'est-à-dire}\quad
\begin{vmatrix}
dM & dP \\
dN & dQ
\end{vmatrix} = 0.
\]


\Section{Propriétés des développables\Add{.}}{}{}%
Revenons au cas général; supposons que $l, m, n$ soient les
cosinus directeurs de la génératrice; on a
\[
l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1,
\]
d'où
\[
l\, dl + m\, dm + n\, dn = 0.
\]
Multiplions alors les équations~\Eq{(4)} respectivement par $dl, dm,
dn$, et ajoutons, il vient
\[
u = - \frac{\sum dl\, df}{\sum dl^{2}}.
\]
Supposons en outre que $MG$ soit normale à la courbe~$(K)$. Il
est toujours possible de trouver sur une surface réglée des
trajectoires orthogonales des génératrices. Il suffit que
%% -----File: 091.png---Folio 83-------
l'on ait
\[
\sum l\, dx =0,
\]
ou
\[
\sum l\, df + u \sum l\, dl + \sum l^{2}\, du =0;
\]
ou, comme ici $\sum l^{2} = 1$, $\sum l\,dl = 0$\Add{,}
\[
\sum l\, df + du = 0;
\]
la détermination des trajectoires orthogonales se fait donc
au moyen d'une quadrature. Si donc nous supposons $(K)$~normale
à la génératrice, nous avons
\[
\sum l\, df = 0.
\]
Multiplions alors les équations~\Eq{(4)} respectivement par $l, m, n$
et ajoutons, il vient $d\sigma = 0$, d'où $d \rho = du$, et les équations~\Eq{(2)}
deviennent
\[
\Tag{(3')}
dx = l\, du,\qquad dy = m\, du,\qquad dz = n\, du.
\]
\DPtypo{mais}{Mais}, $l, m, n$ étant les cosinus directeurs de la tangente à
l'arête de rebroussement~$(R)$, $u$~représente l'arc de cette
courbe compté dans le sens positif choisi sur la génératrice
à partir d'une origine arbitraire~$I$; et comme $u$~représente
aussi la longueur~$MP$, on a
\[
d·MP = d·(\arc IP);
\]
d'où
\[
MP = \arc IP + \cte[].
\]
On peut toujours choisir l'origine des arcs telle que la constante
soit nulle. Alors $MP = \arc IP$. La courbe~$(K)$ est une
développante de la courbe~$(R)$. \emph{Sur une surface développable,
les trajectoires orthogonales des génératrices sont des développantes
de l'arête de rebroussement.}

Les formules~\Eq{(4)} donnent alors
%% -----File: 092.png---Folio 84-------
\[
\Tag{(4')}
df + u\, dl = 0,\qquad dg + u\, dm = 0,\qquad dh + u\, dn = 0.
\]

\Section{Développées des courbes gauches.}
{2.}{} Supposons qu'on se donne la courbe~$(K)$, et cherchons
à mener à cette courbe une normale en chacun de ses points
de façon à obtenir une surface développable. Nous prendrons
pour variable~$v$ l'arc~$s$ de la courbe~$(K)$. Considérons le trièdre
de Serret au point~$M$ de la courbe. Soit $MG$ la normale
%[** Original diagram uses \alpha, \beta, \gamma; changed to match text]
\Figure{092a}
cherchée; elle est dans le plan normal à
la courbe, pour la définir, il suffira
donc de se donner l'angle $(MN, MG) = \chi$. Le
point à l'unité de distance sur~$MG$ a pour
coordonnées par rapport au trièdre de Serret
$0, \cos \chi, \sin \chi$; si donc $l, m, n$ sont les cosinus directeurs
de~$MG$, nous avons
\begin{align*}%[** TN: Set on one line in original]
l &= a' \cos \chi + a'' \sin \chi, \\
m &= b' \cos \chi + b'' \sin \chi, \\
n &= c' \cos \chi + c'' \sin \chi.
\end{align*}
Or\Add{,} $v$~étant l'arc de la courbe~$(K)$, on a
\[
df = a\, dv,\qquad dg = b\, dv,\qquad dh = c\, dv;
\]
les formules~\Eq{(4')} donnent
\[
a\, dv + u\left[(-a'\sin \chi + a''\cos \chi)\, d \chi
  - \cos \chi \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right) dv
  + \sin \chi\, \frac{a'}{T}\, dv\right] = 0;
\]
ou
\[
a \left(1 - \frac{u \cos \chi}{R}\right)
  + a' u \sin \chi \left(-\frac{\DPtypo{dx}{d\chi}}{dv} + \frac{1}{T}\right)
  + a''u \cos \chi \left( \frac{\DPtypo{dx}{d\chi}}{dv} - \frac{1}{T}\right)
  = 0\Add{.}
\]
On a \Card{2} équations analogues avec $b, b', b''$ et $c, c', c''$; nous avons
ainsi \Card{3} équations linéaires et homogènes par rapport aux coefficients
de $a, a', a''$. Le déterminant est~$1$, donc les inconnues
sont toutes nulles; et comme $u$~n'est pas constamment nul, on a
%% -----File: 093.png---Folio 85-------
\[
1 - \frac{u \cos \chi}{R} = 0,\qquad
\sin \chi \left( - \frac{d \chi}{dv} + \frac{1}{T}\right) = 0,\qquad
\cos \chi \left(\frac{d \chi}{dv} - \frac{1}{T}\right) = 0\Add{.}
\]
Les \Card{2} dernières donnent, en remplaçant $v$ par l'arc~$\DPtypo{S}{s}$
\[
\Tag{(1)}
\frac{d \chi}{ds} = \frac{1}{T},
\]
et la \Ord[f]{1}{e} donne
\[
\Tag{(2)}
u = \frac{R}{\cos \chi}\Add{.}
\]
Il y a donc une infinité de solutions: $\chi$~se détermine par une
quadrature.

\Illustration[2.25in]{093a}
La formule~\Eq{(2)} nous montre que
\[
R = u \cos \chi;
\]
donc la projection du point~$P$, où la normale~$MG$
rencontre son enveloppe, sur la
normale principale, est le centre de courbure.
\emph{Le point de contact de la normale
avec son enveloppe est sur la droite polaire.
Les développées d'une courbe sont
sur la surface polaire.}

Considérons \Card{2} solutions $\chi\Add{,} \chi'$ de l'équation~\Eq{(1)}, la différence
$\chi - \chi'$ est constante; les deux normales $MG, MG'$ se coupent
sous un angle constant. Donc, \emph{lorsque une normale à une courbe
décrit une surface développable, si on la fait tourner dans
chacune de ses positions d'un angle constant autour de la tangente,
la droite obtenue décrit encore une développable}.

Le plan osculateur à une développée est le plan tangent
à la développable correspondante: c'est le plan~$GMT$, ce plan
est normal au plan~$BMC$, plan tangent à la surface polaire.
%% -----File: 094.png---Folio 86-------
\emph{Donc les développées sont des géodésiques de la surface polaire.}

Considérons la normale principale~$P''$ en $P$ à la développée,
elle est dans le plan osculateur $GMT$, elle est perpendiculaire
à la tangente $MP$, donc parallèle à~$MT$. \emph{Les normales principales
aux développées d'une courbe sont parallèles aux tangentes à la
courbe. Le plan normal à la courbe est le plan rectifiant de
toutes ses développées.}

En partant d'une courbe~$(G)$, et remarquant que la courbe
donnée~$(K)$ en est la développante, on pourra énoncer les propriétés
précédentes de façon à obtenir les propriétés des développantes
d'une courbe.


\Section{Lignes de courbure.}
{3.}{} Considérons sur une surface~$(S)$ une ligne de courbure~$(K)$,
et la développable circonscrite à~$(S)$ le long de~$(K)$. La
direction d'une génératrice $MG$ de cette développable est conjuguée
de la tangente~$MT$ à la ligne de courbure, et par conséquent
est perpendiculaire à~$MT$, c'est-à-dire normale à~$(K)$. Cette génératrice~$MG$
est donc constamment tangente à la développée d'une
ligne de courbure, et nous voyons que \emph{les normales à une ligne
de courbure tangentes à la surface engendrent une développable}.

\begin{wrapfigure}[10]{O}{2.25in}
\Input[2.25in]{094a}
\end{wrapfigure}
Faisons tourner $\DPtypo{MG'}{MG}$ d'un angle droit
autour de la tangente, nous obtenons une
droite~$MG'$ qui, étant perpendiculaire aux
\Card{2} tangentes à la surface $MT, MG$, sera la
normale à la surface. Donc \emph{les normales à
la surface en tous les points d'une ligne
%% -----File: 095.png---Folio 87-------
de courbure engendrent une développable}.

Considérons le point~$P'$ où la droite $MG'$ touche son enveloppe;
c'est le point où la droite polaire de la ligne de
courbure rencontre la normale à la surface. Or, d'après le
Théorème de Meusnier, les droites polaires de toutes les courbes
de la surface tangentes en~$M$ rencontrent la normale en~$M$
en un même point, qui est le centre de courbure de la section
normale correspondante: $P'$~est donc le centre de courbure de
la section principale $G'MT$, c'est l'un des centres de courbure
principaux de la surface au point~$M$.

Reprenons alors les formules~\Eq{(4')} du §1, que nous écrirons
\[
dx + u\, dl = 0,\quad dy + u\, dm = 0,\quad dz + u\, dn = 0;
\]
$l, m, n$ sont ici les cosinus directeurs de la normale, $u$~est le
rayon de courbure principal~$R$; et pour un déplacement sur une
ligne de courbure, nous avons les \emph{formules d'Olinde Rodrigues}
\[
dx + R\, dl =0,\qquad dy + R\, dm = 0,\qquad dz + R\, dn = 0.
\]

Les \emph{Théorèmes de Joachimsthal} se déduisent aisément de ce
qui précède. Supposons que l'intersection~$(K)$ de \Card{2} surfaces $(S)\Add{,}
(S_{1})$ soit une ligne de courbure pour chacune d'elles. Soient
$MG, MG_{1}$ les normales aux \Card{2} surfaces en un point~$M$ de~$(K)$. Elles
engendrent deux développables, donc enveloppent deux développées
de~$(K)$, et par suite leur angle est constant. \emph{Réciproquement},
si l'intersection $(K)$ de $(S)\Add{,} (S_{1})$ est ligne de courbure
de~$(S_{1})$, et si l'angle des \Card{2} surfaces est constant tout
le long de~$(K)$, la normale $MG_{1}$\DPtypo{,}{} à~$(S_{1})$ engendre une développable,
et comme $\Err{MG}{MG_{1}}$~fait avec~$MG$ un angle constant, elle engendre
aussi une développable, donc $(K)$~est une ligne de courbure
sur~$(S)$.
%% -----File: 096.png---Folio 88-------

La condition~\Eq{(5)} pour qu'une droite engendre une surface
développable est ici
\[
\begin{vmatrix}
dx & dl & l \\
dy & dm & m \\
dz & dn & n
\end{vmatrix}
= 0,
\]
ou
\[%[** TN: Added elided entries]
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd x}{\dd u} · du + \mfrac{\dd x}{\dd v} · dv &
\mfrac{\dd l}{\dd u}\Add{·} du + \mfrac{\dd l}{\dd v}\Add{·} dv & l \\
\mfrac{\dd y}{\dd u} · du + \mfrac{\dd y}{\dd v} · dv &
\mfrac{\dd m}{\dd u}\Add{·} du + \mfrac{\dd m}{\dd v}\Add{·} dv & m \\
\mfrac{\dd z}{\dd u} · du + \mfrac{\dd z}{\dd v} · dv &
\mfrac{\dd n}{\dd u}\Add{·} du + \mfrac{\dd n}{\dd v}\Add{·} dv & n
\end{vmatrix}
= 0.
\]
Multiplions par
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd x}{\dd v} & l \\
\mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & m \\
\mfrac{\dd z}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd v} & n
\end{vmatrix}
\neq 0;
\]
Nous obtenons
\[
\begin{vmatrix}
E\, du + F\, dv & -L\, du - M\, dv & 0 \\
F\, du + G\, dv & -M\, du - N\, dv & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
= 0;
\]
et nous retrouvons ainsi \emph{l'équation différentielle des lignes
de courbure}
\[
\begin{vmatrix}
E\, du + F\, dv & L\, du + M\, dv \\
F\, du + G\, dv & M\, du + N\, dv
\end{vmatrix}
= 0.
\]

La même méthode, appliquée à l'équation~\Eq{(6)}
\[
\begin{vmatrix}
dx & dl \\
dy & dm
\end{vmatrix}
= 0
\]
donne facilement l'équation différentielle
\[
\begin{vmatrix}
dx + p\, dz & dp \\
dy + q\, dz & dq
\end{vmatrix}
= 0.
\]

%% -----File: 097.png---Folio 89-------

\Section{Développement d'une surface développable sur un plan.}
{4.}{Toute surface développable est applicable sur un plan\Add{.}}

Considérons d'abord le cas du cylindre, dont les équations
sont
\begin{align*}
x &= f(v) + u·l, & y &= g(v) + u·m, &  z &= h(v) + u·n; \\
dx &= f'(v)\, dv + l·du, &
dy &= g'(v)\, dv + m·du, &
dz &= h'(v)\, dv + n·du.
\end{align*}
Nous avons
\[
ds^{2} = \sum f'{}^{2}(v)·dv^{2} + 2 \sum lf'(v)·du\, dv + \sum l^{2}·du^{2}.
\]
Nous pouvons supposer que la directrice: $x = f(v)$, $y = g(v)$, $z = h(v)$
est une section droite, ce qui donne $\sum lf' = 0$; que $l, m, n$
sont cosinus directeurs: $\sum l^{2} = 1$; enfin que $v$~est l'arc sur
la section droite: $\sum f'{}^{2} = 1$. Alors on a
\[
\Tag{(1)}
ds^{2} = du^{2} + dv^{2};
\]
\DPtypo{On}{on} a l'élément linéaire d'un plan. \emph{Un cylindre est applicable
sur un plan}, $\Phi$~et~\Eq{(1)} donne la loi du développement.

Voyons maintenant le cas du cône
\[
x = u·l(v),\qquad y = u·m(v),\qquad z = u·n(v);
\]
$u$~est la longueur prise sur la génératrice à partir du sommet;
supposons que $l, m, n$ soient cosinus directeurs de la génératrice,
$v$~étant l'arc de courbe sphérique intersection du cône
avec la sphère $u = 1$. Alors
\begin{alignat*}{3}%[** TN: Set on one line in original]
dx &= ul'(v)\, &&dv + l(v)\, &&du, \\
dy &= um'(v)\, &&dv + m(v)\, &&du, \\
dz &= u\DPtypo{n}{n'}(v)\, &&dv + n(v)\, &&du;
\end{alignat*}
et
\[
\Tag{(2)}
ds^{2} = u^{2}\, dv^{2} + du^{2}.
\]
C'est l'élément linéaire d'un plan en coordonnées polaires. Un
\emph{cône est applicable sur un plan}, $\Phi$~\Add{et}~\Eq{(2)} donne la loi du développement.

Passons enfin au cas général
\[
x = f(v) + u·l(v),\qquad y = g(v) + u·m(v),\qquad z = h(v) + u·n(v)\Add{.}
\]
%% -----File: 098.png---Folio 90-------
Nous supposerons que la courbe $x = f(v)$, $y = g(v)$, $z = h(v)$
soit l'arête de rebroussement, $v$~l'arc sur cette courbe, $l, m, n$
les cosinus directeurs de la tangente en un point, et $u$~la
distance comptée sur cette tangente à partir du point de contact.
Alors $l = f'= a$; $m = g'= b$; $n = h'= c$;
et
\begin{gather*}%[** TN: Aligned last three equations]
l' = \frac{da}{dv} = \frac{a'}{R},\qquad
m' = \frac{db}{dv} = \frac{b'}{R},\qquad
n' = \frac{dc}{dv} = \frac{c'}{R}; \\
\begin{alignedat}{3}
dx &= a\, dv &&+ u\, \frac{a'}{R}\, dv &&+ a\, du, \\
dy &= b\, dv &&+ u\, \frac{b'}{R}\, dv &&+ b\, du, \\
dz &= c\, dv &&+ u\, \frac{c'}{R}\, dv &&+ c\, du\Add{;}
\end{alignedat}
\end{gather*}
et
\[
ds^{2} = \bigl[d(u + v)\bigr]^{2} + \frac{u^{2}}{R^{2}}\, dv^{2}.
\]
Cet élément reste le même si $R$~garde la même expression en
fonction de~$v$. Donc \emph{l'élément linéaire est le même pour toutes
les surfaces développables dont les arêtes de rebroussement
sont des courbes dont le rayon de courbure a la même expression
en fonction de l'arc}:
\[
R = \Phi (v).
\]
Nous pouvons déterminer une courbe plane dont le rayon de courbure
s'exprime en fonction de l'arc par l'équation précédente.
Nous prendrons pour coordonnées dans le plan de cette courbe
l'arc~$\DPtypo{S}{s}$ de la courbe, et la distance comptée sur la tangente
à partir du point de contact et on aura pour l'élément linéaire
du plan la forme précédente. La développable sera donc applicable
sur ce plan. Quand la développable est donnée, on détermine
par des opérations algébriques son arête de rebroussement,
et par une quadrature l'arc de cette arête de rebroussement.
On a alors
\[
R = \Phi(s)\Add{.}
\]
%% -----File: 099.png---Folio 91-------
Il faut construire une courbe plane satisfaisant à cette condition.
Si $\alpha$~est l'angle de la tangente avec~$Ox$, on a
\[
R = \frac{ds}{d \alpha};
\]
d'où
\[%[** TN: Set on two lines in original]
\frac{ds}{d \alpha} = \Phi (s), \qquad
\alpha = \int \frac{ds}{\Phi (s)};
\]
et alors
\[
dx = \cos \alpha · ds,\qquad dy = \sin \alpha · ds;
\]
$x, y$ se déterminent au moyen de \Card{3} quadratures. La courbe que
l'on obtient est le développement de l'arête de rebroussement.


\Section{Réciproque.}
{}{Réciproquement toute surface applicable sur un plan est
une surface développable.}

Soit la surface
\[
x = f(u,v),\qquad y = g(u,v),\qquad z = h(u,v),
\]
que nous supposons applicable sur un plan. Nous avons, en
choisissant convenablement les coordonnées $u, v$:
\[
ds^{2} = E\Add{·} du^{2} + 2 F·du\, dv + G\Add{·} dv^{2} = du^{2} + dv^{2};
\]
d'où
\[
\sum \left(\frac{\dd x}{\dd u}\right)^{2} = 1,\qquad
\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd v} = 0,\qquad
\sum \left(\frac{\dd x}{\dd v}\right)^{2} = 1.
\]
Différentions ces relations successivement par rapport à $u, v$,
nous avons
\begin{align*}
&\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} = 0, &
&\sum \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} · \frac{\dd x}{\dd v}
  + \sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} = 0, &
&\sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} = 0, \\
%
&\sum \frac{\dd x}{\dd u}\Add{·} \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} = 0, &
&\sum \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} · \frac{\dd x}{\dd v}
  + \DPtypo{}{\sum} \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}} = 0, &
&\sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}} = 0;
\end{align*}
d'où nous tirons:
\[
\sum \frac{\dd^{2} x}{\dd \DPtypo{u}{u^{2}}} · \frac{\dd x}{\dd v} = 0,\qquad
\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2} x}{\dd \DPtypo{v}{v^{2}}} = 0.
\]
Considérons les \Card{2} fonctions $\dfrac{\dd x}{\dd u}$ et $\dfrac{\dd y}{\dd u}$. Leur déterminant fonctionnel
est:
%% -----File: 100.png---Folio 92-------
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} & \mfrac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} \\
\mfrac{\dd^{2} y}{\dd u^{2}} & \mfrac{\dd^{2} y}{\dd u\, \dd v}
\end{vmatrix}\Add{.}
\]
Or, considérons les équations
\begin{alignat*}{4}
&X\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} &&+ Y\, \frac{\dd^{2} y}{\dd u^{2}} &&+ Z\, \frac{\dd^{2} z}{\dd u^{2}} &&= 0, \\
&X\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} &&+ Y\, \frac{\dd^{2} y}{\dd u\, \dd v} &&+ Z\, \frac{\dd^{2} z}{\dd u\, \dd v} &&= 0;
\end{alignat*}
d'après les relations précédemment écrites, ce système admet
\Card{2} solutions distinctes
\begin{alignat*}{3}
X &= \frac{\dd x}{\dd u},\qquad &
Y &= \frac{\dd y}{\dd u},\qquad &
Z &= \frac{\dd z}{\dd u}; \\
X &= \frac{\dd x}{\dd v}, &
Y &= \frac{\dd y}{\dd v}, &
Z &= \frac{\dd z}{\dd v}.
\end{alignat*}
Ces solutions ne sont pas proportionnelles, sans quoi les
courbes $u = \cte$ et $v = \cte$ seraient constamment tangentes.
Donc les \Card{3} déterminants déduits du tableau
\[
\begin{Vmatrix}
\mfrac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}}     & \mfrac{\dd^{2} y}{\dd u^{2}}     & \mfrac{\dd^{2} z}{\dd u^{2}} \\
\mfrac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^{2} y}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^{2} z}{\dd u\, \dd v}
\end{Vmatrix}
\]
\DPtypo{Sont}{sont} nuls; or\Add{,} ce sont les déterminants fonctionnels des \Card{3} quantités
$\dfrac{\dd x}{\dd u}$, $\dfrac{\dd y}{\dd u}$, $\dfrac{\dd z}{\dd u}$ prises \Card{2} à \Card{2}, donc ces \Card{3} quantités sont
fonctions de l'une d'entre elles, c'est-à-dire d'une seule
variable~$t$. De même $\dfrac{\dd x}{\dd v}$, $\dfrac{\dd y}{\dd v}$, $\dfrac{\dd z}{\dd v}$ sont fonctions d'une même variable~$\theta$.
De plus la relation
\[
\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd v} = 0
\]
montre que $\theta$ par exemple s'exprime en fonction de~$t$.
Les \Card{6} dérivées partielles sont donc fonctions d'une même variable;
le plan tangent à la surface dépend d'un seul paramètre.
La surface est développable.

%[** TN: Roman numerals in original]
\Paragraph{Remarque \1.} Dans le développement les lignes géodésiques
%% -----File: 101.png---Folio 93-------
se conservent; or\Add{,} les géodésiques du plan sont des droites.
\emph{Les lignes géodésiques de la surface développable sont donc
les lignes qui dans le développement de cette surface sur un
plan, correspondent aux droites de ce plan.}

En particulier, considérons la surface rectifiante d'une
courbe, enveloppe du plan rectifiant. Cette courbe est une
géodésique de sa surface rectifiante, puisque son plan osculateur
est perpendiculaire au plan tangent; elle se développe
donc suivant une droite lorsqu'on effectue le développement
de la surface rectifiante sur un plan. \emph{De là le nom de plan
rectifiant.}

\Paragraph{Remarque \2.} Il résulte de là que la recherche des géodésiques
d'une surface développable se ramène à son développement,
et exige par conséquent \Card{4} quadratures.

\Paragraph{Remarque \3.} La détermination des lignes de courbure,
développantes de l'arête de rebroussement, revient à une quadrature.


\Section{Lignes géodésiques d'une surface développable.}
{5.}{} Nous avons trouvé les lignes géodésiques d'une surface
développable en considérant le développement de cette
surface sur un plan. On peut les chercher directement.
Soit l'arête de rebroussement
\[
\Tag{(1)}
x = f(s),\qquad y = g(s),\qquad z = h(s),
\]
$s$~désignant l'arc. Si $a, b, c$ sont les cosinus directeurs de la
tangente, et $u$~une longueur comptée sur cette tangente à partir
du point de contact, la surface est représentée par
\[
x = f + u · a,\qquad y = g + u · b,\qquad z = h + u · c;
\]
%% -----File: 102.png---Folio 94-------
%[** TN: Seeming error in erratum, changed in accord with surrounding text]
en désignant par $\Err{u, v, w}{\DPtypo{u', v', w'}{a', b', c'}}$,
les dérivées de $\DPtypo{u v w}{a\Add{,} b\Add{,} c}$ par rapport \Err{$a, s$}{à~$s$},
on a
\[%[** TN: Added elided equations]
\frac{dx}{ds} = a + u\, \frac{a'}{R} + au',\qquad
\frac{dy}{ds} = b + u\, \frac{b'}{R} + bu',\qquad
\frac{dz}{ds} = c + u\, \frac{c'}{R} + cu';
\]
ou
\begin{gather*}%[** TN: Added elided equations in first set]
\frac{dx}{ds} = a(1 + u') + a'\, \frac{u}{R},\quad
\frac{dy}{ds} = b(1 + u') + b'\, \frac{u}{R},\quad
\frac{dz}{ds} = c(1 + u') + c'\, \frac{u}{R}; \\
%
\frac{d^{2}x}{ds^{2}} = a\left(u'' - \frac{u}{R^{2}}\right)
  + a'\, \frac{1}{R} \left(1 + 2u' - u\, \frac{R'}{R}\right)
  + a''\, \frac{-u}{RT},
\end{gather*}
et les analogues.

L'équation des lignes géodésiques est, en remarquant que la
normale à la surface n'est autre que la binormale à l'arête de
rebroussement
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{d^{2}x}{ds^{2}} & \mfrac{d^{2}y}{ds^{2}} & \mfrac{d^{2}z}{ds^{2}} \\
\mfrac{dx}{ds}         & \mfrac{dy}{ds}         & \mfrac{dz}{ds} \\
a''                   & b''                   & c''
\end{vmatrix}
= 0,
\]
ou
\[
\begin{vmatrix}
a \left(u'' - \mfrac{u}{R^{2}}\right) + \mfrac{a'}{R} \left(1 + 2u' - u\, \mfrac{R'}{R}\right) + a''\, \mfrac{- u}{RT} & \dots & \dots \\
a (1 + u') + a'\, \mfrac{u}{R}  & \dots & \dots \\
a''                             & \dots & \dots \\
\end{vmatrix}
= 0,
\]
ou, en décomposant en déterminants simples,
\[
\frac{1}{R} \left(1 + 2u' - u\, \frac{R'}{R}\right) (1 + u')
\begin{vmatrix}
a'  & b'  & c' \\
a   & b   & c  \\
a'' & b'' & c''
\end{vmatrix}
+ \frac{u}{R} \left(u'' - \frac{u}{R^{2}}\right)
\begin{vmatrix}
a   & b   & c   \\
a'  & b'  & c'  \\
a'' & b'' & c''
\end{vmatrix}
= 0;
\]
ou enfin
\[
\frac{u}{R} \left(u'' - \frac{u}{R^{2}}\right)
  - \frac{1}{R} (1 + u') \left(1 + 2u' - u\, \frac{R'}{R}\right) = 0,
\]
c'est-à-dire
\[
\Tag{(2)}
u · u'' - 2u'{}^{2}
  - u'\left(3 - u\, \frac{R'}{R}\right)
  - \frac{u^{2}}{R^{2}} + u · \frac{R'}{R} - 1 =0.
\]
Telle est l'équation différentielle qui détermine~$u$.
%% -----File: 103.png---Folio 95-------

Cherchons la nature de l'intégrale générale. Si nous développons
la surface sur un plan, la courbe~\Eq{(1)} sera représentée
par une courbe
\[
x = F(s),\qquad y = G(s),
\]
dont le rayon de courbure sera encore~$R$. Le point homologue du
point $(u,s)$ de la surface sera
\[
x = F + uF',\qquad y = G + uG'.
\]
Les droites du plan sont
\[
A(F + uF') + B(G + uG') + C = 0,
\]
d'où
\[
u = - \frac{AF + BG + C}{AF' + BG'};
\]
en remarquant que le dénominateur est la dérivée du numérateur
nous sommes donc conduits à poser
\[
u = -\frac{w}{w'}\DPtypo{.}{,}
\]
et à prévoir que l'équation en~$w$ sera linéaire, homogène du
\Ord{3}{e} ordre. Effectivement
\begin{align*}
u' &= -1 + \frac{ww''}{w'{}^{2}}, \\
\intertext{et}
u'' &= \frac{ww'''}{w'{}^{2}} + \frac{w''}{w'} - \frac{2ww''{}^{2}}{w'{}^{3}};
\end{align*}
\Eq{(2)}~devient alors
\begin{multline*}
\DPtypo{}{-}\frac{w}{w'} \left(\frac{ww'''}{w'{}^{2}} + \frac{w''}{w'} - \frac{2ww''{}^{2}}{w'{}^{3}}\right)
  - 2\left(-1 + \frac{ww''}{w'{}^{2}}\right)^{2}
  - 3\left(-1 + \frac{ww''}{w'{}^{2}}\right) \\
  - \frac{R'}{R}\, \frac{w}{w'} \left(-1 + \frac{ww''}{w'{}^{2}}\right)
  \DPtypo{- \frac{1}{R} · \frac{w}{w} - - \frac{w}{w} - 1}
         {- \frac{1}{R^{2}} · \frac{w^{2}}{w'{}^{2}} - \frac{R'}{R} · \frac{w}{w'} - 1}
  = 0;
\end{multline*}
ou, après simplification
\[
w''' + \frac{R'}{R}\, w'' + \frac{1}{R^{2}}\, w' = 0.
\]
Posons
\[
w' = \theta\Add{,}
\]
il vient
\[
\Tag{(3)}
\theta'' + \frac{R'}{R}\, \theta' + \frac{1}{R^{2}}\, \theta = 0\Add{,}
\]
%% -----File: 104.png---Folio 96-------
équation linéaire du \Ord{2}{e} ordre en~$\theta$. Faisons \DPchg{disparaitre}{disparaître} le \Ord{2}{e} terme
par le changement de variable
\[
\alpha = \phi (s),
\]
d'où
\begin{align*}
\theta' &= \frac{d \theta}{d \alpha} · \phi', \\
\theta''
  &= \frac{d^{2} \theta}{d \DPtypo{\alpha}{\alpha^{2}}} · \phi'{}^{2}
   + \frac{d \theta}{d \alpha}\, \phi'';
\end{align*}
\Eq{(3)}~devient
\[
\frac{d^{2} \theta}{d \alpha^{2}}\, \phi'{}^{2}
  + \frac{d \theta}{d \alpha} \left( \phi'' + \frac{R'}{R}\, \phi'\right)
  + \frac{1}{R^{2}}\, \theta = 0.
\]
Il faut alors choisir la fonction~$\phi$ de façon que l'on ait
\[
\phi'' + \frac{R'}{R}\, \phi' = 0 ,
\]
ou
\[
\frac{\phi''}{\phi'} = -\frac{R'}{R}.
\]
On peut prendre
\[
\phi' = \frac{1}{R},
\]
et poser
\[
ds = R · \alpha.
\]
Nous obtenons alors l'équation
\[
\frac{d^{2} \theta}{d \alpha^{2}} + \theta = 0,
\]
dont l'intégrale générale est
\[
\theta = w' = A \cos \alpha + B \sin \alpha = \frac{dw}{ds};
\]
d'où
\[
w = A \int \cos \alpha · ds + B \int \sin \alpha · ds + c,
\]
et enfin
\[
u = -\frac{\ds A \int \cos \alpha · ds + B \int \sin \alpha · ds + c}
          {A \cos \alpha + B \sin \alpha},
\]
avec
\[
\alpha = \int \frac{ds}{R}.
\]
On peut se dispenser d'introduire l'arc~$s$ explicitement. Donc
les lignes géodésiques d'une surface développable s'obtiennent
par \Card{3} quadratures au plus. On constate de plus que les deux
méthodes conduisent aux mêmes calculs.
%% -----File: 105.png---Folio 97-------


\Section{Surfaces réglées gauches. Trajectoires orthogonales des génératrices.}
{6.}{} Soit la surface
\[
x = f(v) + u·l(v),\qquad y = g(v) + u·m(v),\qquad z = h(v) + u·n(v);
\]
les génératrices étant des géodésiques, il en résulte que
\emph{les trajectoires orthogonales des génératrices déterminent
sur ces génératrices des segments égaux}. Pour obtenir ces
trajectoires orthogonales, il faut déterminer $u$ en fonction de~$v$
de façon que l'on ait
\[
\sum l\, dx = 0.
\]
Pour simplifier nous supposerons que $l, m, n$ soient cosinus directeurs;
on a alors
\[
\sum l^{2} = 1,\qquad \sum l\,dl = 0;
\]
et l'équation différentielle devient
\[
\sum l · df + du = 0,
\]
d'où
\[
u = - \int \sum \DPtypo{.l\, df}{l·df}.
\]
La détermination des trajectoires orthogonales des génératrices
d'une surface réglée dépend d'une quadrature.

\Paragraph{Remarque.} On peut rattacher ce fait à la formule qui
donne la variation d'un segment de droite. Prenons sur la
droite $MM_{1}$ une direction positive; soit $r$~la distance $MM_{1}$, prise
\Figure[2.5in]{105a}
en valeur absolue. Soient $(x, y, z)$ et
$\DPtypo{}{(}x_{1}, y_{1}, z_{1})$, les coordonnées des deux extrémités,
qui décrivent deux courbes données. Nous
avons
\[
r^{2} = (x_{1} - x)^{2} + (y_{1} - y)^{2} + (z_{1} - z)^{2}\Add{,}
\]
d'où
\[
r\, dr = (x_{1} - x)(dx_{1} - dx) + (y_{1} - y)(dy_{1} - dy) % +
+ (z_{1} - z)(dz_{1} - dz)\DPtypo{.}{,}
\]
%% -----File: 106.png---Folio 98-------
d'où
\begin{multline*}
dr = \left(\frac{x_{1} - x}{r}\, dx_{1}
         + \frac{y_{1} - y}{r}\, dy_{1}
         + \frac{z_{1} - z}{r}\, dz_{1}\right) \\
   - \left(\frac{x_{1} - x}{r}\, dx
         + \frac{y_{1} - y}{r}\, dy
         + \frac{z_{1} - z}{r}\, dz\right).
\end{multline*}
Soient $\alpha, \beta, \gamma$, $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$ les tangentes aux courbes en $MM_{1}$ dirigées
dans le sens des arcs croissants. Soient $\lambda\Add{,} \mu\Add{,} \nu$ les cosinus directeurs
de la droite~$MM_{1}$. Nous avons
\[
dr = ds_{1} (\lambda \alpha_{1} + \mu \beta_{1} + \nu \gamma_{1})
   - ds (\lambda \alpha + \mu \beta + \nu \gamma);
\]
soient $\theta, \theta_{1}$ les angles de $MM_{1}$ avec les \Card{2} tangentes; nous avons
enfin la \emph{formule importante}
\[
dr = ds_{1} · \cos \theta_{1} - ds \Add{·} \cos \theta.
\]

Supposons la droite $MM_{1}$ tangente à la \Ord{1}{ère} courbe et normale
à la \Ord{2}{e}, $\theta = 0$, $\theta_{1} = ±\frac{\pi}{2}$\Add{;} nous avons
\[
dr = - ds
\]
et nous retrouvons ainsi les propriétés des développantes et
des développées.

Supposons la droite normale aux deux courbes, $\theta = ±\frac{\pi}{2}$,
$\theta_{1} = ±\frac{\pi}{2}$, alors $dr = 0$, $r = \cte$, et nous retrouvons les \DPtypo{propriétes}{propriétés}
des trajectoires orthogonales des génératrices.


\Section{Cône directeur. Point central. Ligne de striction.}
{7.}{} On appelle \emph{cône directeur} de la surface le cône
\[
x = u · l(v),\qquad y = u · m(v),\qquad z = u · n(v).
\]

Si ce cône se réduit à un plan, ce plan s'appelle \emph{plan
directeur}, et les génératrices sont toutes parallèles à ce
plan.

Le plan tangent en un point quelconque de la surface a
pour coefficients les déterminants déduits de:
%% -----File: 107.png---Folio 99-------
\[
\Tag{(1)}
\begin{Vmatrix}
l           & m           & n \\
df + u\, dl & dg + u\, dm & dh + u\, dn
\end{Vmatrix}\Add{.}
\]
Le plan tangent au cône directeur le long de la génératrice
correspondant à celle qui passe par le point considéré a pour
coefficients les déterminants déduits de
\[
\begin{Vmatrix}
l  & m  & n \\
dl & dm & dn
\end{Vmatrix}\Add{.}
\]
Ces plans sont parallèles si $u$~est infini. On a alors sur la
surface le plan tangent au point à l'infini sur la génératrice
qu'on appelle \emph{plan asymptote}. \emph{Les plans asymptotes sont parallèles
aux plans tangents au cône directeur le long des génératrices
correspondantes.}

\emph{Dans une surface à plan directeur, tous les plans asymptotes
sont parallèles au plan directeur.}

Pour que les deux plans tangents soient rectangulaires,
il faut que la somme des produits des déterminants précédents
soit nulle
\[
\begin{vmatrix}
\sum l^{2} & \sum l\, df + u \sum l\, dl \\
\sum ldl   & \sum dl·df + u \sum dl^{2}
\end{vmatrix}
= 0.
\]
Nous avons une équation du \Ord{1}{er} degré en~$u$. \emph{Il existe donc en
général sur toute génératrice un point où le plan tangent est
perpendiculaire au plan tangent au cône directeur, c'est-à-dire
au plan asymptote. C'est le point central}, le plan tangent
en ce point s'appelle \emph{plan central}.

Le lieu des points centraux s'appelle \emph{ligne de striction}.

Nous supposerons pour simplifier $\sum l^{2} = 1$, ce qui écarte
le cas des surfaces réglées à génératrices isotropes. L'équation
%% -----File: 108.png---Folio 100-------
qui donne \DPtypo{le~$u$}{l'$u$} du point central se réduit à
\[
u \sum dl^{2} + \sum dl · df = 0;
\]
le point central existe donc toujours, sauf si l'on a
\[
\sum dl^{2} = 0.
\]
Dans ce cas la courbe sphérique base du cône directeur est
une courbe minima de la sphère, c'est-à-dire, une génératrice
isotrope. Le cône est alors un plan tangent au cône asymptote
de la sphère, qui est un cône isotrope, c'est un plan isotrope.
Les surfaces considérées sont des \emph{surfaces réglées à plan directeur
isotrope}. Toutes sont imaginaires, sauf le \DPchg{paraboloide}{paraboloïde}
de révolution.

\Paragraph{Remarque.} Le plan tangent est indéterminé si tous les
déterminants du tableau~\Eq{(1)} sont nuls. Alors $K$~étant un certain
facteur, on a
\[
df + u\, dl + Kl = 0,\qquad
dg + u\, dm + Km = 0,\qquad
dh + u\, dn + Kn = 0\DPtypo{;}{,}
\]
ce qui donne
\[
\begin{vmatrix}
df & dl & l \\
dg & dm & m \\
dh & dn & n
\end{vmatrix} = 0\DPtypo{:}{;}
\]
la surface est développable. Pour trouver le point où le plan
tangent est indéterminé multiplions par $dl, dm, dn$ et ajoutons,
il vient
\[
u \sum dl^{2} + \sum dl · df = 0;
\]
c'est le point de contact de la génératrice et de l'arête de
rebroussement. C'est ce qui explique que la formule précédente
qui donne la ligne de striction pour une surface réglée quelconque,
donne l'arête de rebroussement pour une surface développable.
%% -----File: 109.png---Folio 101-------


\Section{Variations du plan tangent le long d'une génératrice.}
{8.}{} Proposons-nous de chercher l'angle des plans tangents
à une surface réglée en 2 points d'une même génératrice.
A cet effet, traitons d'abord le problème suivant: on a une
droite~$\Delta$, de cosinus directeurs $\alpha\Add{,} \beta\Add{,} \gamma$, et \Card{2} droites qui la rencontrent
$D (p\Add{,} q\Add{,} r)$ et $D' (p'\Add{,} q'\Add{,} r')$. Calculons l'angle~$V$ des \Card{2} plans
$D \Delta$~et~$D' \Delta$.

\Figure[2.25in]{109a}
Considérons un trièdre trirectangle
auxiliaire dont l'un des axes soit~$\Delta$;
soient $\alpha'\Add{,} \beta'\Add{,} \gamma'$, $\alpha''\Add{,} \beta''\Add{,} \gamma''$ les cosinus directeurs
des autres axes, et soient dans ce
système $u\Add{,} v\Add{,} w$ et $u'\Add{,} v'\Add{,} w'$ les coefficients de
direction de~$\Delta \Delta'$. Nous avons
\[
\tg V = \frac{vw' - wv'}{vv' + ww'}\Add{.}
\]
Mais on a
\[
\begin{alignedat}{3}
  u  &= \alpha p  &&+ \beta q  &&+ \gamma r,  \\
  u' &= \alpha p' &&+ \beta q' &&+ \gamma r',
\end{alignedat}
\quad
\begin{alignedat}{3}
  v  &= \alpha' p  &&+ \beta' q  &&+ \gamma' r, \\
  v' &= \alpha' p' &&+ \beta' q' &&+ \gamma' r',
\end{alignedat}
\quad
\begin{alignedat}{3}
  w  &= \alpha'' p  &&+ \beta'' q  &&+ \gamma'' r \\
  w' &= \alpha'' p' &&+ \beta'' q' &&+ \gamma'' r',
\end{alignedat}
\]
d'où
\begin{align*}
vw' - wv' &=
\begin{vmatrix}
\begin{alignedat}{3}
  &\alpha' p  &&+ \beta' q  &&+ \gamma' r \\
  &\alpha' p' &&+ \beta' q' &&+ \gamma' r'
\end{alignedat}
&
\begin{alignedat}{3}
  &\alpha'' p  &&+ \beta'' q  &&+ \gamma'' r \\
  &\alpha'' p' &&+ \beta'' q' &&+ \gamma'' r'
\end{alignedat}
\end{vmatrix} \\
&=
\begin{Vmatrix}
\alpha'  & \beta'  & \gamma' \\
\alpha'' & \beta'' & \gamma''
\end{Vmatrix}
\begin{Vmatrix}
p  & q  & r \\
p' & q' & r'
\end{Vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
p      & q     & r \\
p'     & q'    & r'
\end{vmatrix}.
\end{align*}
D'ailleurs
\[
uu' + vv' + ww' = pp' + qq' + rr',
\]
d'où
\[
vv' + ww' = pp' + qq' + rr' - \sum \alpha p · \sum \alpha p'.
\]
Alors
\[
\tg V = \frac{
\begin{vmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
p      & q     & r \\
p'     & q'    & r'
\end{vmatrix}}{\sum pp' - \sum \alpha p · \sum \alpha p'}
= \frac{D \sum \alpha^{2}}
       {\sum \alpha^{2} · \sum pp' - \sum \alpha p · \sum \alpha p'}.
\]
Sous cette forme, on peut alors introduire les coefficients
%% -----File: 110.png---Folio 102-------
directeurs $l, m, n$ de la direction~$\Delta$
\[
\Tag{(1)}
\tg V = \frac{\raisebox{-\baselineskip}{$\sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}}$}\,
\begin{vmatrix}
l  & m  & n \\
p  & q  & r \\
p' & q' & r'
\end{vmatrix}}{\sum l^{2} · \sum pp' - \sum lp · \sum lp'}.
\]

Appliquons cette formule à l'angle des plans tangents en
\Card{2} points $M$,~$M'$ d'une même génératrice. On peut prendre pour directions
$D$,~$D'$ les directions tangentes aux courbes $u = \cte$:
\begin{align*}
p  &= df + u\, dl,  & q  &= dg + u\, dm,  & r  &= dh + u\, dn; \\
p' &= df + u'\, dl, & q' &= dg + u'\, dm, & r' &= dh + u'\, dn;
\end{align*}
le déterminant de la formule~\Eq{(1)} devient
\[
\begin{vmatrix}
l & df + u\, dl & df + u'\, dl \\
m & dg + u\, dm & dg + u'\, dm \\
n & dh + u\, dn & dh + u'\, dn
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
l & dl & df \\
m & dm & dg \\
n & dn & dh
\end{vmatrix} (u - u');
\]
et
\[
\tg V = \frac{\raisebox{-\baselineskip}{$(u' - u) \sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}}$}\,
\begin{vmatrix}
df & dg & dh \\
dl & dm & dn \\
l  & m  & n
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
\sum l^{2}           & \sum l (df + u\, dl) \\
\sum l(df + u'\, dl) & \sum (df + u\, dl) (df + u'\, dl)
\end{vmatrix}}.
\]
Nous poserons
\[
D =
\begin{vmatrix}
df & dg & dh \\
dl & dm & dn \\
l  & m  & n
\end{vmatrix}.
\]

Pour simplifier ce résultat, nous prendrons pour $l, m, n$
les cosinus directeurs de la génératrice ($\sum l^{2} = 1$, $\sum l\, dl = 0$);
nous supposerons que la courbe $x = f(v)$, $y = g(v)$, $z = h(v)$
soit trajectoire orthogonale des génératrices, $\sum l\, df = 0$.
Nous déterminerons~$u$ par la relation
\[
u \sum dl^{2} + \sum dl · df = 0
\]
ce qui revient à prendre pour l'un des points le point central.
%% -----File: 111.png---Folio 103-------
Le dénominateur devient
\[
\sum df^{2} + u \sum dl\Add{·} df
  = \frac{\sum df^{2} · \sum dl^{2} - \left(\sum dl · df\right)^{2}}{\sum dl^{2}};
\]
et alors
\[
\tg V = \frac{(u' - u) D · \sum dl}{\sum df^{2} · dl^{2} - \left(\sum dl · df\right)^{2}}.
\]
Posons
\[
K = \frac{\sum dl^{2} · \sum df^{2} - \left(\sum dl · df\right)^{2}}
         {D · \sum dl^{2}}\DPtypo{:}{;}
\]
en remarquant que $u'- u = CM$, on a
\[
\Tag{(2)}
\tg V = \frac{CM}{K},
\]
\emph{formule de Chasles}. D'où les conséquences bien connues suivantes,
et qui ne sont en défaut que pour des génératrices singulières:

\ParItem{\Primo.} \emph{\DPtypo{lorsque}{Lorsque} $M$~décrit la génératrice d'un bout à l'autre,
le plan tangent~$(P)$ en~$M$ tourne autour de la génératrice toujours
dans le même sens, et la rotation totale qu'il effectue
est de~$180°$.} En deux points différents, les plans tangents
sont différents.

\ParItem{\Secundo.} \emph{La division des points~$M$ et le faisceau des plans~$(P)$
sont en correspondance homographique.}

\ParItem{\Tertio.} Comme trois couples définissent une homographie,
\emph{deux surfaces réglées qui ont une génératrice commune, et
qui sont tangentes en trois points de cette génératrice, sont
tangentes en tous les autres points de cette génératrice},
c'est-à-dire se raccordent tout le long de cette génératrice.
L'expression de~$K$ peut se simplifier; on a:
%% -----File: 112.png---Folio 104-------
\[
D =
\begin{vmatrix}
\sum df^{2} & \sum dl·df\DPtypo{.}{} & \sum l·df \\
\sum dl·df  & \sum dl^{2} & \sum l\Add{·}dl \\
\sum l·df   & \sum l\Add{·}dl & \sum l^{2}
\end{vmatrix}
= \sum dl^{2}·\sum df^{2} - \left(\sum dl\Add{·}df\right)^{2},
\]
d'où
\[
\Tag{(3)}
K = \frac{D}{\sum dl^{2}}.
\]
Dans le cas général, on trouve de même
\[
\Tag{(4)}
K = \frac{D · \sum l^{2}}{\sum l^{2} · \sum dl^{2} - \left(\sum l\Add{·} dl\right)^{2}}.
\]
$K$~est le \emph{paramètre de distribution}; il est rationnel. La formule~\Eq{(2)}
montre que, si $M$~se déplace dans une direction quelconque
sur la génératrice, le plan tangent tourne, par rapport
à cette direction, dans le sens positif de rotation, si
$K$~est positif; et tourne dans le sens négatif, si $K$~est négatif.

La signe de~$K$ correspond donc à une propriété géométrique
de la surface. D'après \Eq{(3)}~ou~\Eq{(4)}, \emph{le paramètre de distribution
est nul pour une surface développable}.

\Paragraph{Remarque.} Soient sur une même génératrice \Card{2} points $M$\Add{,}~$M'$
où les plans tangents soient rectangulaires. On a
\[
\tg V · \tg V' = -1,
\]
d'où, en vertu de~\Eq{\DPtypo{(7)}{(2)}}\Add{,}
\[
CM · CM' = -K^{2};
\]
\emph{les points d'une génératrice où les plans tangents sont rectangulaires
forment une involution dont $C$ est le point central}.

\Paragraph{Exemple \1.} \emph{Surface engendrée par les binormales d'une
courbe gauche\Add{.}}

Soit la courbe
\[
x = f(s),\qquad
y = g(s),\qquad
z = h(s);
\]
%% -----File: 113.png---Folio 105-------
avec les notations habituelles, nous avons
\begin{alignat*}{3}
df &= a\, ds,  &dg &= b\, ds, & dh &= c\, ds,\\
l &= a'',       &m &= b'',    &  n &= c'',\\
\intertext{et}
dl &= \frac{a'}{T}\, ds, \qquad &
dm &= \frac{b'}{T}\, ds, \qquad &
dn &= \frac{c'}{T}\, ds.
\end{alignat*}
Le point central est ici défini par $u = 0$; la courbe est ligne
de striction. Le paramètre de distribution est
\[
K = T^{2}
\begin{vmatrix}
a  &   b   &  c \\
\mfrac{a'}{T}  &   \mfrac{b'}{T} & \mfrac{c'}{T} \\
a'' &   b''  &  c''
\end{vmatrix} = T ;
\]
le paramètre de distribution est égal au rayon de torsion de
la courbe au point correspondant. La courbe est ligne de
striction, trajectoire orthogonale des génératrices et géodésique.

\Paragraph{Exemple \2.} \emph{Surface engendrée par les normales principales
à une courbe.}
On a ici
\begin{alignat*}{3}
df &= a\, ds,   &  dg &= b\, ds,    & dh &= c\, ds,\\
 l &= a',   &  m &= b',   &  n &= c',\\
dl &= - \frac{a}{R} - \frac{a''}{T}\, ds, \qquad &
dm &= - \frac{b}{R} - \frac{b''}{T}\, ds, \qquad &
dn &= - \frac{c}{R} - \frac{c''}{T}\, ds;
\end{alignat*}
le point central est défini par
\[
u = \frac{\displaystyle\sum a\left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right)}
         {\displaystyle\sum  \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right)^{2} }
  = \frac{\dfrac{1}{R}}{\dfrac{1}{R^{2}} + \dfrac{1}{T^{2}}}
  = \frac{RT^{2}}{R^{2} + T^{2}} = MC,
\]
et on a:
\[
K = - \frac{R^{2}T^{2}}{R^{2} + T^{2}}
\begin{vmatrix}
a   &   b  &    c \\
\mfrac{a}{R} + \mfrac{a''}{T} &
\mfrac{b}{R} + \mfrac{b''}{T} &
\mfrac{c}{R} + \mfrac{c''}{T} \\
a'  &   b'  &   c'
\end{vmatrix} = \frac{R^{2}T}{R^{2} + T^{2}}.
\]
%% -----File: 114.png---Folio 106-------
Cherchons le plan tangent au centre de courbure~$O$. Nous avons
\[
\tg V = \frac{CO}{K}
  = \frac{MO - MC}{K}
  = \frac{1}{K} \left(R - \frac{RT^{2}}{R^{2} + T^{2}}\right)
  = \frac{1}{K} · \frac{R^{2}}{R^{2} + T^{2}}
  = \frac{R}{T};
\]
pour le point~$M$, qui est sur la courbe on a
\[
\tg V = \frac{CM}{K} = - \frac{T}{R},
\]
donc
\[
\tg V · \tg V'= - 1\Add{.}
\]
Les plans tangents en $M$~et~$O$ sont rectangulaires, ce qui est un
cas particulier d'une proposition que nous verrons plus loin
(\No12).

\Section{\DPchg{Elément}{Élément} linéaire.}
{9.}{} Cherchons l'élément linéaire d'une surface réglée:
\[
x = f(v) + u·l(v) \qquad
y = g(v) + u·m(v) \qquad
z = h(v) + u·n(v)\Add{.}
\]

En désignant par des accents les dérivées par rapport à~$v$,
il vient:
\[
dx = (f' + ul')\, dv + l\, du, \quad
dy = (g' + um')\, dv + m\, du, \quad
dz = (h' + un')\, dv + n\, du
\]
et
\[
ds^{2} = E\, du^{2} + 2F\, du\, dv + G\, dv^{2},
\]
avec:
\[
E = \sum l^{2}, \quad
F = u \sum ll' + \sum lf', \quad
G = u^{2} \sum l'{}^{2} + 2u \sum l'f' + \sum f'{}^{2}\Add{.}
\]
Supposons que $l\Add{,} m\Add{,} n$ soient les cosinus directeurs:
\begin{gather*}
\sum l^{2} = 1, \qquad \sum ll' = 0, \\
E = 1, \qquad F = \sum lf', \qquad
G = u^{2} \sum l'{}^{2} + 2u \sum l'f' + \sum f'{}^{2}.
\end{gather*}
Ces résultats s'obtiennent directement en faisant le changement
de paramètre
\[
\sqrt{E} · u = u';
\]
d'où
\[
du' = \sqrt{E} · du + u\, \smash[t]{\frac{\dfrac{dE}{dv}}{2 \sqrt{E}}}\,dv.
\]
Nous avons alors, en supprimant les accents,
\[
ds^{2} = du^{2} + 2F du\,dv + G\,dv^{2}.
\]
%% -----File: 115.png---Folio 107-------
Supposons de plus que la courbe $x = f(v), y = g(v), z = h(v)$
soit trajectoire orthogonale des génératrices, alors $\sum lf' = 0$,
$F = 0$, et on a
\[
ds^{2} = du^{2} + G\, dv^{2};
\]
il est évident que l'élément linéaire doit avoir cette forme,
car on a un système de coordonnées orthogonales. On arrive
aussi à cette expression en posant
\[
du + F\, dv = du',
\]
d'où
\[
u' = u + \int F\, dv\Add{,}
\]
ce qui exige une quadrature. La variable~$u$ est définie à une
constante près, c'est une longueur portée sur chaque génératrice
à partir de la même trajectoire orthogonale. Pour définir
la variable~$v$, considérons la direction de la génératrice
$x = l$, $y = m$, $z = n$. Ces équations sont celles de la trace du
cône directeur sur la sphère de rayon~$1$; nous prendrons pour~$v$
l'arc de cette courbe; alors $\sum l'{}^{2} = 1$, et
\[
G = u^{2} + 2u \sum l'f' + \sum f'{}^{2}.
\]
Posons
\[
\sum l'f' = G_{0}, \qquad \sum f'{}^{2} = G_{1},
\]
nous avons
\[
G = u + 2u G_{0} + G_{1};
\]
les quantités $G_{0}\Add{,} G_{1}$, ainsi introduites sont liées d'une façon
simple au point central et au paramètre de distribution. Considérons
l'involution des points~$M\Add{,} M'$ où les plans tangents sont
rectangulaires; son point central est le point central de la
génératrice, et on a, en désignant par~$K$ le paramètre de distribution,
\[
CM \cdot CM'= -K^{2}.
\]
Le plan tangent en un point~$u$ de la génératrice a pour coefficients
%% -----File: 116.png---Folio 108-------
les déterminants déduits du tableau
\[
\begin{Vmatrix}
a         & b        &  c     \\
f' + ul'  & g' + um' &  h' + un'
\end{Vmatrix};
\]
de même le plan tangent au point~$u'$ aura pour \DPtypo{cofficients}{coefficients} les
déterminants déduits du tableau
\[
\begin{Vmatrix}
a         & b         & c       \\
f' + u'l' & g' + u'm' & h' + u'n'
\end{Vmatrix}.
\]
Exprimons que ces plans tangents sont rectangulaires. La somme
des produits des déterminants précédents, et par suite le
produit des tableaux, doit être nul, ce qui donne
\[
\begin{vmatrix}
1 & 0                           \\
0 & G_{1} + (u + u')G_{0} + uu'
\end{vmatrix} = 0 ;
\]
la relation d'involution est donc
\[
uu' + (u + u')G_{0} + G_{1} = 0,
\]
ou
\[
(u + G_{0})(u' + G_{0}) = G_{0}^{2} - G_{1}.
\]
$u + G_{0}$ doit représenter~$CM$; si donc $I$~est l'intersection de la
génératrice avec la trajectoire orthogonale $u = 0$, on a
\[
u + G_{0} = CM = IM - IC;
\]
mais $IM = u$, donc $G_{0} = -IC$, $-G_{0}$~est l'$u$ du point central; posons
\[
P = -G_{0} = -\sum l'f'.
\]
De plus
\[
G_{0}^{2} - G_{1} = -K^{2},
\]
d'où
\[
G_{1} = G_{0}^{2} + K^{2} = P^{2} + K^{2} = \sum f'{}^{2};
\]
alors
\[
G = u^{2} - 2uP + P^{2} + K^{2} = (u - P)^{2} + K^{2}.
\]
Finalement, \emph{si $l, m, n$ sont les cosinus directeurs de la génératrice,
$v$~l'arc de la trace du cône directeur sur la sphère
de rayon~$1$, $u$~la longueur portée sur la génératrice à partir
d'une trajectoire orthogonale, on a}
%% -----File: 117.png---Folio 109-------
\[
\Tag{(1)}
ds^{2} = du^{2} + \bigl[(u - P)^{2} + K^{2}\bigr]\, dv^{2}\Add{,}
\]
\emph{$P$ étant l'$u$ du point central et $K$~le paramètre de distribution\Add{.}}

\Paragraph{Remarque.} Ceci peut servir à calculer le paramètre de
distribution. On~a
\[
\begin{vmatrix}
f' & g' & h' \\
l' & m' & n' \\
l  & m  & n
\end{vmatrix}^{2} =
\begin{vmatrix}
G_{1} & G_{0} & 0 \\
G_{0} & 1     & 0 \\
0     & 0     & 1
\end{vmatrix} = G_{1} - G_{0}^{2} = K^{2},
\]
et on peut écrire
\[
\Tag{(2)}
K =
\begin{vmatrix}
f' & g' & h' \\
l' & m' & n' \\
l  & m  & n
\end{vmatrix}, \qquad P = - \sum l'f'.
\]

\emph{Réciproquement}, soit une surface dont l'élément linéaire
soit de la forme
\[
ds^{2} = du^{2} + \bigl[(u - P)^{2} + K^{2}\bigr] dv^{2};
\]
cherchons s'il y a des surfaces réglées applicables sur cette
surface; les éléments d'une telle surface réglée seront déterminés
par les relations
\[
\sum l^{2} = 1, \quad
\sum lf' = 0, \quad
\sum l'{}^{2}= 1, \quad
\sum l'f'= -P, \quad
\sum f'{}^{2} = K^{2} + P^{2};
\]
la dernière de ces relations s'écrit, d'après l'expression de~$K$,
\[
\sum f' (mn' - nm') = -K.
\]
Nous pouvons d'abord nous donner arbitrairement le cône directeur
de façon à satisfaire $\sum l^{2} = 1$, $\sum l'{}^{2} = 1$. Il reste alors à
satisfaire à \Card{3} équations linéaires en $f'\Add{,} g'\Add{,} h'$ dont le déterminant
n'est pas nul; $f', g', h'$ seront alors parfaitement déterminés,
$f, g, h$ le seront à une constante additive près, ce qui revient
à ajouter à $x, y, z$ des quantités constantes, c'est-à-dire à
faire subir à la surface une translation. \emph{Lorsqu'on a une surface
réglée, il y a donc une infinité de surfaces réglées applicables
%% -----File: 118.png---Folio 110-------
sur elle, les génératrices correspondant aux génératrices}
puisqu'on peut prendre arbitrairement le cône directeur.
Remarquons que dans l'élément linéaire figure, non pas~$K$,
mais~$K^{2}$, de sorte qu'en particulier \emph{il existe \Card{2} surfaces réglées
ayant même cône directeur, des paramètres de distribution
égaux et de signes contraires et applicables l'une sur
l'autre}.

Pour avoir explicitement $f, g, h$, résolvons le système des
équations linéaires
\[
\sum lf' = 0, \qquad \sum l'f' = -P, \qquad \sum (mn' - nm')f' = -K;
\]
$l\Add{,} m\Add{,} n$, $l'\Add{,} m'\Add{,} n'$ sont ici cosinus directeurs de \Card{2} directions rectangulaires.
Introduisons une nouvelle direction de cosinus
$l_{2}\Add{,} m_{2}\Add{,} n_{2}$ formant avec les \Card{2} précédentes un trièdre trirectangle
\[
l_{2}= mn' - nm', \qquad m_{2} = nl' - ln', \qquad n_{2} = lm' - ml'.
\]
Le système devient
\[
\sum lf' = 0, \qquad \sum l'f' = -P, \qquad \sum l_{2} f'= -K;
\]
d'où
\[
\Tag{(3)}%[** TN: Added brace]
\left\{
\begin{alignedat}{2}
f' &= -Pl' &&- K (mn' - nm'), \\
g' &= -Pm' &&- K (nl' - ln'), \\
h' &= -Pn' &&- K (lm' - ml').
\end{alignedat}
\right.
\]
On a $f, g, h$ par des quadratures.

\Section{La forme \texorpdfstring{$\Psi$}{Psi} et les lignes asymptotiques.}
{10.}{} Nous avons
\[
\Psi(du, dv) = \sum Ad^{2}x =
\begin{vmatrix}
d^{2}x  &  d^{2}y  & d^{2}z \\
\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\
\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
(f'' + ul'')\,dv^{2} + 2l'\,du\,dv & \dots \\
1            & \dots \\
f' + ul'     & \dots
\end{vmatrix}
\]
on a pour~$\Psi$ une expression de la forme
\[
\Psi(du, dv) = 2F'\, du\, dv + G'\, dv^{2},
\]
%% -----File: 119.png---Folio 111-------
$F'$~étant fonction de $v$~et~$G'$ un trinôme du \Ord{2}{e} degré en~$u$. Nous
trouvons naturellement pour lignes asymptotiques les courbes
$dv = 0$, $v = \cte$ qui sont les génératrices. Les autres lignes
asymptotiques sont déterminées par l'équation différentielle
\[
\frac{du}{dv} = - \frac{G'}{2F'},
\]
ou
\[
\Tag{(1)}
\frac{du}{dv} = Ru^{2} + 2Su + T,
\]
$R\Add{,} S\Add{,} T$ étant fonctions de~$v$. C'est une \emph{équation de \DPtypo{Ricatti}{Riccati}}. Rappelons
ses propriétés.

\ParItem[\DPchg{Equation}{Équation} de \DPtypo{Ricatti}{Riccati}.]{\Primo.} \emph{Supposons qu'on ait une solution}~$u_{1}$, de cette équation.
Posons
\[
\Tag{(2)}
u = u_{1} + \frac{1}{w},
\]
d'où
\[
du = du_{1} - \frac{dw}{w^{2}}.
\]
L'équation~\Eq{(1)} devient
\[
\frac{du_{1}}{dv} - \frac{1}{w^{2}} · \frac{dw}{dv}
  = Ru_{1}^{2} + 2R \frac{u_{1}}{w} + R \frac{1}{w^{2}}
  + 2Su_{1} + 2S \frac{1}{w} + T;
\]
mais $u_{1}$ étant intégrale de~\Eq{(1)}, on a
\[
\frac{du_{1}}{dv} = Ru_{1}^{2} + 2Su_{1} + T,
\]
de sorte que l'équation devient
\[
-\frac{dw}{dv} = 2(Ru_{1} + S) w + R,
\]
ou
\[
\Tag{(3)}
\frac{dw}{dv} = Qw - R.
\]
C'est une équation linéaire dont \emph{l'intégration s'effectue par
\Card{2} quadratures.}

\ParItem{\Secundo.} \emph{Supposons qu'on ait \Card{2} intégrales} $u_{2}\Add{,} u_{1}$ de l'équation.
Posons
\[
u_{2} = u_{1} + \frac{1}{w_{0}},
\]
d'où
\[
w_{0} = \frac{1}{u_{2} - u_{1}};
\]
%% -----File: 120.png---Folio 112-------
$w_{0}$~sera une intégrale de l'équation~\Eq{(3)}. Posons alors
\[
\Tag{(4)}
w = w_{0} + \theta,
\]
d'où
\[
dw = dw_{0} + d\theta;
\]
\Eq{(3)}~devient
\[
\frac{dw_{0}}{dv} + \frac{d\theta}{dv} = Qw_{0} + Q\theta - R;
\]
ou, comme $w$~est intégrale de~\Eq{(3)}
\[
\frac{d\theta}{dv} = Q\theta,
\]
équation linéaire sans \Ord{2}{e} membre qui s'intègre immédiatement
\emph{par une seule quadrature}:
\begin{gather*}
\Tag{(5)}
\frac{d\theta}{\theta} = Q\, dv, \\
\log \theta = \int Q\, dv, \\
\theta = e^{Q\, dv}.
\end{gather*}

\ParItem{\Tertio.} \emph{Supposons qu'on ait \Card{3} intégrales} $u_{1}\Add{,} u_{2}\Add{,} u_{3}$ de l'équation~\Eq{(1)}.
On a alors \Card{2} intégrales de l'équation~\Eq{(3)}. Soit
\[
w_{1} = \frac{1}{u_{0} - u_{1}};
\]
$w_{1}$~est intégrale de~\Eq{(3)}, et par suite on a une intégrale~$\theta_{0}$ de~\Eq{(5)}
\[
\theta_{0} = w_{1} - w_{0}
  = \frac{1}{u_{3} - u_{1}} - \frac{1}{u_{2} - u_{1}}
  = \frac{u_{2} - u_{3}}{(u_{3} - u_{1}) (u_{2} - u_{1})}.
\]
Posons
\begin{gather*}
\theta = \theta_{0} \psi, \\
d\theta = \theta_{0} · d\psi + \psi · d\theta_{0};
\end{gather*}
\Eq{(5)}~devient
\[
\theta_{0}\, \frac{d\psi}{dv} + \psi · \frac{d\theta_{0}}{dv}
  = Q \psi\theta_{0},
\]
ou, comme $\theta_{0}$~est intégrale de~\Eq{(5)}\Add{,}
\[%[** TN: Set on two lines in original]
\theta_{0} \frac{d\psi}{dv} = 0, \qquad\qquad
\frac{d\psi}{dv} = 0.
\]
$\psi$~est une constante~$C$, et l'intégrale générale de~\Eq{(5)} est
%% -----File: 121.png---Folio 113-------
\[
\Tag{(6)}
\theta = C\, \theta_{0}.
\]
\emph{L'équation s'intègre complètement par des opérations algébriques.}
Si nous cherchons l'expression de l'intégrale générale~$u$
en fonction des intégrales particulières $u_{1}\Add{,} u_{2}\Add{,} u_{3}$, nous avons,
en vertu de \Eq{(2)}\Add{,}~\Eq{(4)}\Add{,}~\Eq{(6)},
\[
u = u_{1} + \frac{1}{w}
  = u_{1} + \frac{1}{\dfrac{1}{u_{2} - u_{1}} + \theta}
  = u_{1} + \frac{1}{\dfrac{1}{u_{2} - u_{1}}
            + C \dfrac{u_{2} - u_{3}}{(u_{3} - u_{1}) (u_{2} - u_{1})}}\Add{,}
\]
d'où
\[
\frac{1}{u - u_{1}}
  = \frac{1}{u_{2} - u_{1}}
  + \frac{C(u_{2} - u_{3})}{(u_{3} - u_{1})(u_{2} - u_{1})}
  = \frac{u_{3} - u_{1} + C (u_{2} - u_{3})}{(u_{3} - u_{1}) (u_{2} - u_{1})},
\]
d'où
\begin{gather*}
C(u_{2} - u_{3})
  = \frac{(u_{3} - u_{1}) (u_{2} - u_{1})}{u - u_{1}} - (u_{3} - u_{1})
  = \frac{(u_{3} - u_{1}) (u_{2} - u)}{(u - u_{1})}, \\
\Tag{(7)}
C = \frac{u - u_{2}}{u - u_{1}} : \frac{u_{3} - u_{2}}{u_{3} - u_{1}},
\end{gather*}
ou
\[
\Ratio{u}{u_{1}}{u_{2}}{u_{3}} = C.
\]
\emph{Ainsi le rapport anharmonique de \Card{4} intégrales quelconques d'une
équation de Riccati est constant.} En remarquant que, dans
le cas présent, ces intégrales sont précisément les~$u$ des
points d'intersection d'une génératrice quelconque avec les
asymptotiques, on voit que \emph{\Card{4} lignes asymptotiques coupent les
génératrices suivant un rapport anharmonique constant.}

\Paragraph{Remarque.} L'équation~\Eq{(7)} résolue par rapport à~$u$ donne
\[
\Tag{(8)}
u = \frac{VC + V_{0}}{V_{1}C + V_{2}}\Add{,}
\]
$V, V_{0}, V_{1}\Add{,} V_{2}$ étant fonctions de~$v$. La constante arbitraire figure
donc dans l'intégrale générale par une fraction du \Ord{1}{e} degré.
Inversement toute fonction de la forme~\Eq{(8)} satisfait à une
équation de Riccati, car si on élimine la constante~$C$ au
moyen d'une différentiation, on retrouve une équation
%% -----File: 122.png---Folio 114-------
différentielle de la forme~\Eq{(1)}.

\MarginNote{Cas
particuliers.}
Si la surface réglée a une directrice rectiligne, cette
directrice est une asymptotique, on a une solution particulière
de l'équation de \DPtypo{Ricatti}{Riccati}. La détermination des lignes asymptotiques
se fait au moyen de \Card{2} quadratures. C'est le cas
des \emph{surfaces réglées à plan directeur}. Si la surface admet
\Card{2} directrices rectilignes, ces \Card{2} droites sont des asymptotiques,
et on a \Card{2} solutions particulières de l'équation de Riccati.
C'est le cas des \emph{surfaces conoïdes à plan directeur}. Il ne
faut plus alors qu'une quadrature pour déterminer les lignes
asymptotiques. En réalité, on peut les obtenir sans quadrature\Add{.}
Considérons en effet une surface réglée admettant \Card{2} directrices
rectilignes. On peut effectuer une transformation homographique
de façon que l'une des directrices s'en aille à l'infini,
la surface se transforme en un conoïde à plan directeur.
Soit
\[
z = \phi \left(\frac{y}{x}\right)
\]
l'équation d'un tel conoïde. Posons
\[
x = u, \qquad
y = uv, \qquad
z = \Err{(v) \phi}{\phi(v)};
\]
les lignes asymptotiques sont telles que le plan osculateur
\DPtypo{coincide}{coïncide} avec le plan tangent; ses coefficients doivent donc
satisfaire aux relations
\[
A \frac{\dd x}{\dd u} + B \frac{\dd y}{\dd u} + C \frac{\dd z}{\dd u} = 0,\qquad
A \frac{\dd x}{\dd v} + B \frac{\dd y}{\dd v} + C \frac{\dd z}{\dd v} = 0,
\]
ou
\[
A + B v = 0, \qquad
B u + C \phi'(v) = 0;
\]
équations satisfaites si l'on prend $C = - u$, $B = \phi'(v)$,
$A = -v\phi'(v)$. On a alors
%% -----File: 123.png---Folio 115-------
\[
\Psi(du, dv) = A\,d^{2} x + B\, d^{2} y + C\,d^{2} z = 0;
\]
mais $A\Add{,} B\Add{,} C$~étant les coefficients du plan tangent, on a
\[
A\, dx + B\, dy + C\, dz = 0;
\]
en différentiant cette relation, on voit qu'on peut mettre
l'équation différentielle des lignes asymptotiques sous la
forme
\[
dA·dx + dB·dy + dC·dz = 0,
\]
ou
\begin{gather*}
-du\bigl[\phi'(v)\,dv + v\phi''(v)\, dv\bigr]
  + \phi''(v)\, dv (v\, du + u\, dv) - du · \phi'(v) · dv = 0, \\
u\phi''(v) · dv^{2} - 2\phi'(v)\, du\, dv = 0;
\end{gather*}
nous trouvons la solution $v = \cte$ qui nous donne les génératrices,
et il reste
\[
\frac{\phi''(v)\, dv}{\phi '(v)} = \frac{2\, du}{u},
\]
d'où
\[
L\phi'(v) = Lu^{2} - LC,
\]
d'où
\[
u^{2} = \DPtypo{C\phi'(v)}{C + \phi'(v)};
\]
\emph{on a ainsi les lignes asymptotiques d'un conoïde sans quadrature}.

\Paragraph{Remarque.} S'il y a trois directrices rectilignes, la
surface est une surface du second degré, et est doublement réglée.

\MarginNote{Calcul de $\Psi$.}
Cherchons l'expression générale de la forme~$\Psi$. Introduisons
pour cela les variables \DPtypo{Canoniques}{canoniques}~$u\Add{,} v$ qui nous ont permis
d'arriver à la forme de l'élément linéaire. Considérons le
trièdre de Serret de la courbe~$(\Sigma)$ \DPtypo{trace}{tracé} du cône directeur sur
la sphère de rayon~$1$. La génératrice~$(l\Add{,} m\Add{,} n)$ est dans le plan
normal à cette courbe: soit $\theta$~son angle avec la normale principale;
avec les notations habituelles, nous avons:
%% -----File: 124.png---Folio 116-------
\[%[** TN: Set on separate lines in original]
l = a' \cos\theta + a'' \sin\theta, \qquad
m = b' \cos\theta + b'' \sin\theta, \qquad
n = c' \cos\theta + c'' \sin\theta;
\]
d'où
\[
l' = a
  = \theta'(-a' \sin\theta + a'' \cos\theta)
  - \cos\theta \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right)
  + \sin\theta · \frac{a'}{T},
\]
et les analogues; %[** TN: Omitted newline]
d'où
\[
\frac{\Cos\theta}{R} = - 1, \qquad
\theta' = \frac{1}{T}.
\]
Nous avons alors
\begin{alignat*}{4}
mn' - nm' = &mc &&- nb &&= a' \sin \theta &&- a'' \cos \theta, \\
&nl' &&- ln' &&= b' \sin \theta &&- b'' \cos \theta, \\
&lm' &&- ml' &&= c' \sin \theta &&- c'' \cos \theta;
\end{alignat*}
et nous obtenons, au moyen des formules~\Eq{(3)} du \No9,
\begin{alignat*}{2}%[** TN: Completed last two equations]
f' + ul' &= (u - P)l' - K(mn'- nm')
  &&= (u - P)a - K \sin \theta · a' + K \cos \theta · a'', \\
g' + um' &= (u - P)m' - K(nl'- ln')
  &&= (u - P)b - K \sin \theta · b' + K \cos \theta · b'', \\
h' + un' &= (u - P)n' - K(lm'- ml')
  &&= (u - P)c - K \sin \theta · c' + K \cos \theta · c'',
\end{alignat*}
puis
\begin{multline*}
f'' + ul''\DPtypo{)}{}
  = - P'a + \frac{u - P}{R} a' - K' \sin\theta · a'
  - \frac{K \cos \theta}{T} a'
  + K \sin \theta \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right) \\
  + K'\cos \theta · a'' - \frac{K \sin \theta}{T} a''
  + K · \cos \theta · \frac{a'}{T},
\end{multline*}
ou
\begin{alignat*}{4}%[** TN: Completed last two equations, fixed typos in original]
f'' &+ ul'' &&= a \left(\frac{K \sin \theta}{R} - P'\right)
  &&+ a' \left(\frac{u - P}{R} - K' \sin \theta\right)
  &&+ a'' · K'\cos \theta, \\
g'' &+ um'' &&= b \left(\frac{K \sin \theta}{R} - P'\right)
  &&+ b' \left(\frac{u - P}{R} - K' \sin \theta\right)
  &&+ b'' · K'\cos \theta, \\
h'' &+ un'' &&= c \left(\frac{K \sin \theta}{R} - P'\right)
  &&+ c' \left(\frac{u - P}{R} - K' \sin \theta\right)
  &&+ c'' · K'\cos \theta,
\end{alignat*}
Alors
\[
\Psi = \begin{vmatrix}
  \left[
    \begin{aligned}
      2a · du\, dv
      &+ dv^{2} \biggl[a \left(\mfrac{K \sin \theta}{R} - P'\right) \\
      &\quad+ a' \left(\mfrac{u - P}{R} - K' \sin \theta\right)
       + a'' · K'\cos \theta\biggr]
    \end{aligned}
  \right] & \dots & \dots \\
  \vphantom{\bigg|}
  (u - P) a - K \sin \theta · a' + K \cos \theta · a'' & \dots & \dots \\
  a' \cos \theta + a'' \sin \theta & \dots & \dots
\end{vmatrix},
\]
%% -----File: 125.png---Folio 117-------
ou
\[
\Psi = \begin{vmatrix}
2\, du\, dv + \left(\mfrac{K \sin \theta}{R} - P'\right)\, dv^{2}
  &  \left(\mfrac{u - P}{R} - K' \sin \theta\right)\, dv^{2} &  K' \cos \theta · dv^{2} \\
u - P & - K \sin\theta & K \cos\theta \\
0     &     \Cos\theta &   \sin\theta
\end{vmatrix}\Add{,}
\]
c'est-à-dire
\[
\Psi = -\left[2\, du\, dv
  + \left(\frac{K \sin \theta}{R} - P'\right) dv^{2}\right] K
  - (u - P) \left[- K' + (u-P) \frac{\sin \theta}{R}\right] dv^{2},
\]
ou enfin
\[
\Psi = - 2K · du\, dv + \left\{(u - P) K' + KP'
  - \frac{\sin \theta}{R} \left[(u - P)^{2} + K^{2}\right]\right\} dv^{2}.
\]
Le seul élément nouveau qui intervient est la courbure géodésique
$\dfrac{\sin \theta}{R}$ de la courbe~$(\Sigma)$ sur la sphère. Cet élément suffit
à déterminer~$(\Sigma)$; supposons en effet
\[
\frac{\sin \theta}{R} = \Phi (v);
\]
nous avons
\[
\frac{\Cos \theta}{R} = - 1, \qquad
\frac{1}{T} = \theta';
\]
nous en déduisons
\[
\Tag{(1)}
\tg \theta = - \Phi (v), \qquad
R = - \Cos \theta, \qquad
T = \frac{dv}{d \theta};
\]
nous avons ainsi tous les éléments de la courbe~$(\Sigma)$.

\Paragraph{Remarque.} Les formules~(\DPtypo{'}{1}) nous permettent de trouver
la condition pour qu'une courbe soit tracée sur la sphère de
rayon~$1$. Nous avons en effet
\[
\frac{dR}{dv} = +\sin\theta · \frac{d\theta}{dv} = \frac{\sin\theta}{R},
\]
d'où
\[
R^{2} + T^{2} \left(\frac{dR}{dv}\right)^{2} = 1;
\]
%% -----File: 126.png---Folio 118-------
Ce qui exprime que le rayon de la sphère osculatrice est égal
à~$1$.

\Section{Lignes de courbure.}
{11.}{} L'équation différentielle des lignes de courbure est
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd ds^{2}}{\dd\, du} & \mfrac{\dd ds^{2}}{\dd\, dv} \\
\mfrac{\dd \Psi}{\dd\, du}   & \mfrac{\dd \Psi}{\dd\, dv}
\end{vmatrix} = 0,
\]
ou
\[
\begin{vmatrix}
du     & \bigl[(u - P)^{2} + K^{2}\bigr] dv \\
- K\, dv &
- K\, du + \left[(u - P) K' + KP'
    - \mfrac{\sin\theta}{R} \bigl[(u - P)^{2} + K^{2}\bigr]\DPtypo{}{\right]}dv
\end{vmatrix} = 0,
\]
c'est-à-dire
\begin{multline*}
- K du^{2} + \Bigl[(u - P)K' + KP'
  - \Phi \bigl[(u - P)^{2} + K^{2}\bigr]\Bigr]du\,dv \\ % +
  + K \left[(u - P)^{2} + K^{2}\right]dv^{2} = 0.
\end{multline*}
Telle est l'équation différentielle des lignes de courbure,
où $\Phi$~représente la courbure géodésique de la courbe~$(\Sigma)$.

\Section{Centre de courbure géodésique.}
{12.}{} Considérons une trajectoire orthogonale des génératrices,
par exemple $u = 0$,
\[
x = f(v), \qquad
y = g(v), \qquad
z = h(v);
\]
cherchons son centre de courbure géodésique. C'est le point où
la droite polaire rencontre le plan tangent. Or\Add{,} la génératrice
étant normale à sa trajectoire orthogonale\DPtypo{,}{} est l'intersection
du plan normal et du plan tangent; \emph{le centre de courbure
géodésique est donc à l'intersection de la droite polaire avec
la génératrice}. Le plan normal est
\[
\sum (x - f) f' = 0;
\]
la caractéristique est définie par l'équation précédente et
%% -----File: 127.png---Folio 119-------
par
\[
\sum (x - f) f'' - \sum f'{}^{2} = 0.
\]
Pour déterminer le centre de courbure géodésique, il suffit de
déterminer l'$u$~du point d'intersection de la droite précédente
avec la génératrice
\[
x = f(v) + ul(v), \qquad
y = g(v) + um(v), \qquad
z = h(v) + un(v).
\]
La \Ord{1}{ère} équation se réduit à une identité, la \Ord{2}{e} donne
\[
u \sum lf'' - \sum f'{}^{2} = 0;
\]
mais on a
\[
\sum lf' = 0,
\]
d'où
\[
\sum l'f' + \sum lf'' = 0;
\]
et l'équation qui donne l'$u$~du point cherché devient
\[
u \sum l'f' + \sum f'{}^{2} = 0,
\]
ou
\[
- u P + P^{2} + K^{2} = 0;
\]
ou enfin:
\[
P (u - P) = K^{2}.
\]
\DPtypo{si}{Si} $C$~est le point central, $M$~le point considéré sur la trajectoire
orthogonale, $M'$~le centre de courbure géodésique, l'équation
précédente donne
\[
CM \cdot CM' = - K^{2}.
\]
Donc les plans tangents en $M\Add{,} M'$ sont rectangulaires. Ainsi le
\emph{centre de courbure géodésique en un point~$M$ d'une trajectoire
orthogonale des génératrices d'une surface réglée est le point
de la génératrice où le plan tangent est perpendiculaire au
plan tangent en~$M$}.

Si nous considérons maintenant une courbe~$(\DPtypo{C}{c})$ tracée sur
une surface quelconque~$(S)$ les normales à~$(c)$ tangentes à~$(\DPtypo{s}{S})$
engendrent une surface réglée~$(\Sigma)$; les surfaces $(\DPtypo{s}{S})\Add{,} (\Sigma)$ étant
tangentes tout le long de~$(c)$, la courbe~$(c)$ a même centre de
%% -----File: 128.png---Folio 120-------
courbure géodésique sur~$(\DPtypo{s}{S})$ et sur~$(\Sigma)$; ce qui permet de construire
le centre de courbure géodésique d'une courbe tracée
sur une surface quelconque.


\ExSection{V}

\begin{Exercises}
\item[21.] Trouver les points de contact des plans isotropes \DPtypo{menes}{menés} par
une génératrice quelconque d'une surface réglée. Quelles relations
ont-ils avec le point central et le paramètre de
distribution?

\item[22.] Trouver les surfaces réglées dont les lignes asymptotiques
interceptent sur les génératrices des segments égaux.

\item[23.] Trouver les surfaces réglées dont les lignes de courbure
interceptent sur les génératrices des segments égaux.

\item[24.] Trouver les surfaces réglées dont les rayons de courbure
principaux sont fonctions l'un de l'autre.

\item[25.] Trouver les lignes de courbure et les lignes géodésiques de
l'\DPchg{hélicoide}{hélicoïde} développable.

\item[26.] Montrer que les lignes d'une surface~$(S)$ quelconque, pour
lesquelles: $ds - R_{g}\, d\phi = 0$, sont caractérisées par cette
propriété que, si l'on mène par chacun des points de l'une
% [** TN: Regularized, "constant" in original]
d'elles une tangente à la courbe $v = \const.$, la surface réglée
ainsi obtenue a pour ligne de striction la courbe considérée
(voir \hyperref[exercice11]{exercice~11}).

\item[27.] \DPchg{Etant}{Étant} donnée une surface~$S$ et une courbe~$C$ de cette surface,
on considère la surface \DPtypo{reglée}{réglée}~$G$ engendrée par les normales~$MN$
menées à~$S$ aux divers points $M$~de~$C$. Le point central de~$MN$
s'appelle le \emph{métacentre} de~$S$, correspondant au point~$M$ et à
la tangente~$MT$ de~$C$.

%[** TN: Regularized formatting of parts]
\Primo. Déterminer ce métacentre, le plan
asymptote, le paramètre de distribution. Discuter la variation
du métacentre quand la courbe~$(C)$ varie, en passant toujours
en~$M$.

\Secundo. Montrer que le métacentre est le centre de
courbure de la section droite du cylindre circonscrit à~$S$, et
dont les génératrices sont perpendiculaires au plan asymptote
de~$G$.

\Tertio. On suppose qu'on ait plusieurs surfaces~$S$, et que
l'on affecte chacune d'elles d'un coefficient \DPtypo{numerique}{numérique}~$a$.
On considère comme homologues sur ces diverses surfaces les
points~$M$ (pris un sur chaque surface) pour lesquels les plans
tangents à ces diverses surfaces sont parallèles; soit~$M_{0}$ le
centre des moyennes distances d'un tel système de points~$M$
homologues, et relatif au système des coefficients~$a$. Soit~$S_{0}$
la surface lieu des points~$M_{0}$. Montrer qu'elle correspond
à chacune des surfaces~$S$ par plans tangents parallèles; et que
si~$I_{0}$ est le métacentre de~$S_{0}$ correspondant aux divers métacentres~$I$
des surfaces~$S$ qui se trouvent associés dans la
correspondance \DPtypo{considerée}{considérée}, on a $(\sum a) · M_{0} I_{0} = \sum (a · MI)$.

\item[28.] On donne une courbe gauche~$R$, arête de rebroussement d'une
développable~$\Delta$. Déterminer toutes les surfaces réglées satisfaisant
aux conditions suivantes: chacune des génératrices~$G$
d'une telle surface est perpendiculaire à un plan tangent~$P$ de~$\Delta$,
et le point de rencontre de~$G$ et de~$P$ est le point central
de~$G$. Soit alors~$\Sigma$ l'une de ces surfaces réglées, chacun des
plans isotropes passant par une de ses génératrices enveloppe
une développable. Montrer que le lieu des milieux des segments
dont les extrémités décrivent, indépendamment l'un de
l'autre, les arêtes de rebroussement de ces deux développables
est une surface minima inscrite dans~$\Delta$.
\end{Exercises}
%% -----File: 129.png---Folio 121-------


\Chapitre{VI}{Congruences de Droites.}

\Section{Points et plans focaux.}
{1.}{} On appelle \emph{congruence} un ensemble de droites dépendant
de \Card{2} paramètres; toutes les droites rencontrant \Card{2} droites
fixes constituent une congruence; de même les droites passant
par un point fixe, les normales à une surface; si sur une
surface on considère une famille de courbes dépendant d'un paramètre,
l'ensemble de leurs tangentes constitue une congruence.

Une droite d'une congruence pourra se représenter par les
équations
\[%[** TN: Set on one line in original; added brace]
\Tag{(1)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
x &= f(v, w) &&+ u · a(v, w), \\
y &= g(v, w) &&+ u · b(v, w), \\
z &= h(v, w) &&+ u · c(v, w).
\end{alignedat}
\right.
\]
Les équations
\[
\Tag{(2)}
x = f(v, w), \qquad
y = g(v, w), \qquad
z = h(v, w)
\]
définissent le \emph{support} de la congruence, $a, b, c$ définissent les
directions des droites de la congruence passant par chaque
point du support. Ce support sera en général une surface, et
la congruence sera constituée par les droites de directions
données passant par tous les points d'une surface. Il peut
arriver que $f, g, h$ ne dépendent que d'un seul paramètre, le
support est alors une courbe, et par tout point de la courbe
passent une infinité de droites de la congruence, qui constituent
un cône. Enfin $f, g, h$ peuvent se réduire à des constantes,
et la congruence est constituée par toutes les droites
%% -----File: 130.png---Folio 122-------
passant par le point fixe de coordonnées~$f, g, h$.

Supposons qu'on établisse une relation entre~$v, w$; cela
revient à choisir $\infty^{1}$~droites de la congruence, qui constituent
une surface réglée de la congruence. On retrouverait ainsi les
équations générales d'une surface réglée. Considérons toutes
les surfaces réglées passant par une droite~$D$ de la congruence\Add{.}
Deux de ces surfaces se raccordent en \Card{2} points de la droite~$D$.
Nous allons montrer que ces \Card{2} points sont indépendants des
surfaces réglées que l'on considère. En d'autres termes \emph{sur
chaque droite~$D$ de la congruence il existe \Card{2} points $F, F'$ auxquels
correspondent \Card{2} plans $P, P'$ passant par la droite~$D$ et
tels que toutes les surfaces réglées de la congruence passant
par la droite~$D$ ont pour plans tangents en~$F, F'$ respectivement
les plans~$P, P'$}. Ces points~$F, F'$ s'appellent \emph{foyers} ou \emph{points focaux}
de la droite~$D$, les plans~$P, P'$ sont les \emph{plans focaux} associés
à~$F, F'$. Pour démontrer la proposition, cherchons le plan
tangent en un point quelconque de la génératrice~\Eq{(1)}. Les paramètres
$A\Add{,} B\Add{,} C$ du plan tangent satisfont aux équations
\begin{gather*}
\Tag{(3)}
Aa + Bb + Cc = 0, \\
\Tag{(3')}
A(df + u\,da) + B(dg + u\,db) + C(dh + u\,dc) = 0.
\end{gather*}
On peut choisir~$u$ de façon que le plan tangent soit indépendant
des différentielles $dv, dw$, et par suite indépendant de la relation
existant entre~$v\Add{,} w$, c'est-à-dire indépendant de la surface
réglée. Développons la \Ord{2}{e} équation~\Eq{(3)}
\begin{alignat*}{5}
0 = &\biggl[
  &&  A\left(\frac{\dd f}{\dd v} + u \frac{\dd a}{\dd v}\right)
  &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd v} + u \frac{\dd b}{\dd v}\right)
  &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd v} + u \frac{\dd c}{\dd v}\right)
  &&\biggr] dv \\
  + &\biggl[
  && A\left(\frac{\dd f}{\dd w} + u \frac{\dd a}{\dd w}\right)
  &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd w} + u \frac{\dd b}{\dd w}\right)
  &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd w} + u \frac{\dd c}{\dd w}\right)
  &&\biggr] dw.
\end{alignat*}
%% -----File: 131.png---Folio 123-------
Pour que le plan tangent soit indépendant de $dv, dw$, il suffit
que l'on ait
\[
\Tag{(4)}
\left\{
\begin{alignedat}{4}
  &   A\left(\frac{\dd f}{\dd v} + u\frac{\dd a}{\dd v}\right)
  &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd v} + u\frac{\dd b}{\dd v}\right)
  &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd v} + u\frac{\dd c}{\dd v}\right)
  &&= 0 \\
  &   A\left(\frac{\dd f}{\dd w} + u\frac{\dd a}{\dd w}\right)
  &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd w} + u\frac{\dd b}{\dd w}\right)
  &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd w} + u\frac{\dd c}{\dd w}\right)
  &&= 0
\end{alignedat}
\right.
\]
Les relations~\Eq{(4)} et la \Ord[f]{1}{e} des relations~\Eq{(3)} doivent être
satisfaites pour des valeurs non toutes nulles de~$A\Add{,} B\Add{,} C$, donc
on doit avoir
\[
\Tag{(5)}
\begin{vmatrix}
a    &   b   &    c  \\
\mfrac{\dd f}{\dd v} + u\mfrac{\dd a}{\dd v} &
\mfrac{\dd g}{\dd v} + u\mfrac{\dd b}{\dd v} &
\mfrac{\dd h}{\dd v} + u\mfrac{\dd c}{\dd v} \\
\mfrac{\dd f}{\dd w} + u\mfrac{\dd a}{\dd w} &
\mfrac{\dd g}{\dd w} + u\mfrac{\dd b}{\dd w} &
\mfrac{\dd h}{\dd w} + u\mfrac{\dd c}{\dd w}
\end{vmatrix} = 0.
\]
Telle est l'équation qui donne les~$u$ des points focaux; elle
est du \Ord{2}{e} degré, donc il y a \Card{2} points focaux; le plan focal
correspondant à chacun d'eux aura pour coefficients les valeurs
de~$A, B, C$ satisfaisant aux équations \Eq{(3)}~et~\Eq{(4)}.

\MarginNote{Surfaces focales.
Courbes focales.}
Le lieu des foyers s'obtiendra sans difficulté. Il
suffit de tirer~$u$ de~\Eq{(5)} et de porter sa valeur dans~\Eq{(1)}.
L'équation~\Eq{(5)} étant du \Ord{2}{e} degré donne pour~$u$ \Card{2} valeurs, de
sorte que le lieu se compose de \Card{2} parties distinctes dans le
voisinage de la droite~$D$. Considérons l'une de ces parties;
elle peut être une surface, que l'on appellera \emph{surface focale},
ou une courbe, que l'on appellera \emph{courbe focale}, ou bien elle
peut se réduire à un point, et la congruence comprend alors
toutes les droites passant par ce point. En écartant ce cas,
on voit que le lieu des foyers peut se composer de \Card{2} surfaces,
d'une courbe et d'une surface, ou de deux courbes.

\ParItem{\Primo.} Supposons qu'une portion du lieu des foyers soit une
%% -----File: 132.png---Folio 124-------
surface~$(\Phi)$. Prenons cette surface comme support de la congruence;
l'équation~\Eq{(5)} a pour racine $u = 0$, on a donc
\[
\begin{vmatrix}
a                    & b                    & c  \\
\mfrac{\dd f}{\dd v} & \mfrac{\dd g}{\dd v} & \mfrac{\dd h}{\dd v}  \\
\mfrac{\dd f}{\dd w} & \mfrac{\dd g}{\dd w} & \mfrac{\dd h}{\dd w}
\end{vmatrix} = 0.
\]
Ceci exprime que la droite~$D$ est dans le plan tangent à la
surface $(\Phi)$ au point~$M$ ($u = 0$), qui est l'un des foyers, soit~$F$.
\emph{Ainsi les droites de la congruence sont tangentes à la surface
focale au foyer correspondant.} Cherchons le plan focal
correspondant à~$F$. Ses coefficients $A\Add{,} B\Add{,} C$ sont déterminés par
les équations
\[
\left\{
\begin{aligned}
Aa + Bb + Cc = 0\Add{,}& \\
\begin{alignedat}{4}
&A \mfrac{\dd f}{\dd v} &&+ B \mfrac{\dd g}{\dd v}
  &&+ C \mfrac{\dd h}{\dd v} &&= 0\Add{,} \\
&A \mfrac{\dd f}{\dd w} &&+ B \mfrac{\dd g}{\dd w}
  &&+ C \mfrac{\dd h}{\dd w} &&= 0\Add{,}
\end{alignedat}&
\end{aligned}
\right.
\]
d'après la condition précédemment écrite, ces équations se réduisent
à~$2$, et expriment que \emph{le plan focal correspondant au
foyer~$F$ est le plan tangent en~$F$ à la surface~$(\Phi)$. Toutes les
surfaces réglées de la congruence sont circonscrites à la surface
focale}.

\emph{Si le lieu des foyers $F, F'$ comprend deux surfaces focales~$(\Phi)\Add{,} (\Phi')$,
les droites de la congruence sont tangentes aux
\Card{2} surfaces focales, les foyers~$F, F'$ sont les points de contact,
les plans focaux sont les plans tangents aux surfaces focales
aux foyers correspondants. Le lieu des foyers coïncide avec
l'enveloppe des plans focaux.}
%% -----File: 133.png---Folio 125-------

\emph{Réciproquement}, étant données \Card{2} surfaces quelconques $(\Phi)\Add{,}
(\Phi')$, leurs tangentes communes dépendent de \Card{2} paramètres. Soit~$F$
un point de~$(\Phi)$. Considérons le plan tangent en~$F$ à~$(\Phi)$; il
coupe~$(\Phi')$ suivant une certaine courbe; si nous menons de~$F$ des
tangentes à cette courbe, ces droites, qui sont tangentes aux
\Card{2} surfaces $(\Phi)\Add{,} (\Phi')$ sont déterminées quand le point~$F$ est déterminé;
elles dépendent d'autant de paramètres que le point~$F$,
donc de \Card{2} paramètres; elles constituent une congruence,
dont les surfaces réglées sont circonscrites aux surfaces $(\Phi)\Add{,}
(\Phi')$ qui sont les surfaces focales.

Si les surfaces $(\Phi)\Add{,} (\Phi')$ constituent \Card{2} nappes d'une même
surface~$(S)$, comme cela arrive en général, la congruence sera
constituée par les tangentes doubles de la surface~$(S)$.

\ParItem{\Secundo.} Supposons qu'une portion du lieu des foyers soit une
courbe~$(\phi)$, que nous prendrons pour support de la congruence.
Nous pouvons alors supposer que $f\Add{,} g\Add{,} h$ ne dépendent que d'un paramètre,
$v$~par exemple; alors $\dfrac{\dd f}{\dd w}, \dfrac{\dd g}{\dd w}, \dfrac{\dd h}{\dd w}$ sont nuls, et $u = 0$ est
racine de l'équation~\Eq{(5)}. \emph{Si les droites d'une congruence rencontrent
une courbe fixe, les points de cette courbe sont des
foyers pour les droites de la congruence qui y passent.} Cherchons
le plan focal correspondant. Nous avons
\[
\left\{
\begin{aligned}
Aa + Bb + Cc &= 0\Add{,} \\
A \frac{\dd f}{\dd v} + B \frac{\dd g}{\dd v} + C \frac{\dd h}{\dd v} &= 0\Add{,}
\end{aligned}
\right.
\]
\emph{le plan focal passe par la droite~$D$ et est tangent à la courbe
focale. Toutes les surfaces réglées de la congruence passent
par la courbe focale, et en un point~$M$ de cette courbe sont
tangentes au plan tangent à cette courbe passant par la droite~$D$.}
%% -----File: 134.png---Folio 126-------

Supposons qu'il y ait une surface focale~$(\Phi)$ et une
courbe focale~$(\phi')$; \emph{la congruence est constituée par les droites
rencontrant~$(\phi')$ et tangentes à~$(\Phi)$}. On a immédiatement les
foyers et les plans focaux, d'après ce qui précède. \emph{Réciproquement,
les droites rencontrant une courbe~$(\phi')$ et tangentes
à une surface~$(\Phi)$ constituent une congruence qui admet $(\phi')$~et~$(\Phi)$
pour lieu de ses foyers.}

Supposons qu'il y ait \Card{2} courbes focales $(\phi)\Add{,} (\phi')$. \emph{La
congruence est constituée par les droites rencontrant $(\phi)\Add{,} (\phi')$,
et ses surfaces réglées contiennent les \Card{2} courbes focales. Réciproquement
les droites rencontrant \Card{2} courbes données constituent
une congruence qui admet ces \Card{2} courbes comme courbes focales.}
Si $(\phi)\Add{,} (\phi')$ constituent \Card{2} parties d'une même courbe~$(c)$,
la congruence est constituée par les droites rencontrant~$(c)$
en \Card{2} points, c'est-à-dire les cordes de~$(c)$.

\MarginNote{Cas singuliers.}
Voyons dans quels cas les \Card{2} foyers sont confondus sur
toutes les droites de la congruence.

Examinons d'abord le cas de \Card{2} surfaces focales confondues\Add{.}
Prenons cette surface~$(\Phi)$ comme support; en chaque point~$F$ de
cette surface est tangente une droite~$D$ de la congruence. Si
on considère ces points focaux et les droites correspondantes,
on peut trouver sur la surface une famille de courbes tangentes
en chacun de leurs points à la droite correspondante de la
congruence. Soit la droite~$D$, elle est tangente à la surface,
donc ses coefficients directeurs sont:
\[
a = \lambda \frac{\dd f}{\dd v} + \mu \frac{\dd f}{\dd w}, \qquad
b = \lambda \frac{\dd g}{\dd v} + \mu \frac{\dd g}{\dd w}, \qquad
c = \lambda \frac{\dd h}{\dd v} + \mu \frac{\dd h}{\dd w}\Add{.}
\]
%% -----File: 135.png---Folio 127-------
Soit une courbe de la surface~$(\Phi)$ définie en exprimant~$v\Add{,} w$ en
fonction d'un paramètre; les coefficients directeurs de la
tangente sont
\[
dx = \frac{\dd f}{\dd v} · dv + \frac{\dd f}{\dd w} · dw, \quad
dy = \frac{\dd g}{\dd v} · dv + \frac{\dd g}{\dd w} · dw, \quad
dz = \frac{\dd h}{\dd v} · dv + \frac{\dd h}{\dd w} · dw;
\]
pour que cette tangente soit la droite~$D$, il faut que l'on
ait
\[
\frac{dv}{\lambda} = \frac{dw}{\mu}.
\]
Pour déterminer l'un des paramètres~$v\Add{,} w$ en fonction de l'autre,
on a à intégrer une équation différentielle du \Ord{1}{er} ordre. La
famille de courbes dépend d'un paramètre, soit $w = \cte[]$. On
aura alors
\[
a = \frac{\dd f}{\dd v}, \qquad
b = \frac{\dd g}{\dd v}, \qquad
c = \frac{\dd h}{\dd v};
\]
et \Eq{(5)}~devient
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd f}{\dd v} &
\mfrac{\dd g}{\dd v} &
\mfrac{\dd h}{\dd v} \\
\mfrac{\dd f}{\dd v} + u \mfrac{\dd^{2} f}{\dd v^{2}} &
\mfrac{\dd g}{\dd v} + u \mfrac{\dd^{2} g}{\dd v^{2}} &
\mfrac{\dd h}{\dd v} + u \mfrac{\dd^{2} h}{\dd v^{2}} \\
\mfrac{\dd f}{\dd w} + u \mfrac{\dd^{2} f}{\dd v \dd w} &
\mfrac{\dd g}{\dd w} + u \mfrac{\dd^{2} g}{\dd v \dd w} &
\mfrac{\dd h}{\dd w} + u \mfrac{\dd^{2} h}{\dd v \dd w}
\end{vmatrix} = 0.
\]
\DPtypo{en}{En} retranchant la \Ord{1}{ère} ligne de la \Ord{2}{e}, $u$~vient en facteur:
pour que les points focaux soient confondus, il faut que le
déterminant s'annule encore pour $u = 0$, ce qui donne
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd f}{\dd v} &
\mfrac{\dd g}{\dd v} &
\mfrac{\dd h}{\dd v} \\
\mfrac{\dd^{2} f}{\dd v^{2}} &
\mfrac{\dd^{2} g}{\dd v^{2}} &
\mfrac{\dd^{2} h}{\dd v^{2}} \\
\mfrac{\dd f}{\dd w} &
\mfrac{\dd g}{\dd w} &
\mfrac{\dd h}{\dd w}
\end{vmatrix} = 0\Add{,}
\]
ou $E' = 0$. Alors l'équation des lignes asymptotiques de la surface~$(\Phi)$,
qui est
\[
E'\,dv^{2} + 2F'\,dv · dw + G'\,dw^{2} = 0\Add{,}
\]
%% -----File: 136.png---Folio 128-------
est satisfaite pour $dw = 0$; les courbes $w = \cte$ sont des asymptotiques
de la surface~$(\Phi)$. Ainsi \emph{les congruences à surface
focale double peuvent s'obtenir en prenant les tangentes
aux lignes asymptotiques d'une surface quelconque}.

Considérons maintenant le cas de \Card{2} courbes focales confondues.
Prenons cette courbe pour support. Nous pouvons supposer
que $f\Add{,} g\Add{,} h$ ne dépendent plus de~$w$. Exprimons alors que l'équation~\Eq{(5)}
admet pour racine double $u = 0$, nous avons
\[
\begin{vmatrix}
a                    & b                    & c \\
\mfrac{\dd f}{\dd v} & \mfrac{\dd g}{\dd v} & \mfrac{\dd h}{\dd v} \\
\mfrac{\dd a}{\dd w} & \mfrac{\dd b}{\dd w} & \mfrac{\dd c}{\dd w}
\end{vmatrix} = 0\Add{.}
\]
Les droites~$D$ de la congruence passant par un point~$F$ de la
courbe~$(\phi)$ engendrent un cône. Le plan tangent à ce cône a
pour coefficients les déterminants déduits du tableau
\[
\begin{Vmatrix}
a                    & b                    & c \\
\mfrac{\dd a}{\dd w} & \mfrac{\dd b}{\dd w} & \mfrac{\dd c}{\dd w}
\end{Vmatrix}\Add{,}
\]
et la condition précédente exprime que la tangente~$FT$ à la
courbe focale est dans le plan tangent au cône; ceci devant
avoir lieu quelle que soit la génératrice du cône que l'on
considère, tous les plans tangents au cône passent par~$FT$,
et le cône se réduit à un plan. \emph{Une congruence à courbe focale
double est engendrée par les droites qui en chaque point~$F$
d'une courbe sont situées dans un plan passant par la tangente.}
Ici l'enveloppe des plans focaux ne coïncide plus avec le
lieu des points focaux.
%% -----File: 137.png---Folio 129-------

\Section{Développables de la congruence.}
{2.}{} Cherchons si l'on peut associer les droites de la
congruence de façon à obtenir des surfaces développables.
Reprenons les équations de la droite
\begin{alignat*}{2}%[** TN: Set on one line in original]
x &= f(v,w) &&+ u · a(v,w), \\
y &= g(v,w) &&+ u · b(v,w), \\
z &= h(v,w) &&+ u · c(v,w);
\end{alignat*}
la condition pour que cette droite engendre une surface développable
est
\[
\begin{vmatrix}
a   &  b   &  c   \\
da  &  db  &  dc  \\
df  &  dg  &  dh
\end{vmatrix} = 0,
\]
ou
\[
\Tag{(1)}
\begin{vmatrix}
a    &    b     &       c  \\
\mfrac{\dd a}{\dd v} dv + \mfrac{\dd a}{\dd w} dw &
\mfrac{\dd b}{\dd v} dv + \mfrac{\dd b}{\dd w} dw &
\mfrac{\dd c}{\dd v} dv + \mfrac{\dd c}{\dd w} dw  \\
%
\mfrac{\dd f}{\dd v} dv + \mfrac{\dd f}{\dd w} dw &
\mfrac{\dd g}{\dd v} dv + \mfrac{\dd g}{\dd w} dw &
\mfrac{\dd h}{\dd v} dv + \mfrac{\dd h}{\dd w} dw
\end{vmatrix} = 0.
\]
Telle est l'équation différentielle qui exprime que la droite
de la congruence engendre une surface développable. Elle est
de la forme
\[
A\, dv^{2} + 2 B\, dv · dw + C\, dw^{2} = 0;
\]
elle donne \Card{2} valeurs de~$\dfrac{dv}{dw}$, il y a donc \Card{2} familles de développables,
qu'on appelle \emph{développables de la congruence}. \emph{Par chaque
droite de la congruence passent \Card{2} développables de la congruence.}
Cherchons les points de contact de cette droite avec
les arêtes de rebroussement. Les coordonnées de l'un de ces
points vérifient les équations
\[
\left\{
\begin{alignedat}{3}
df &+ u\, da &&+ a\, d\sigma &&= 0, \\
dg &+ u\, db &&+ b\, d\sigma &&= 0, \\
dh &+ u\, dc &&+ c\, d\sigma &&= 0;
\end{alignedat}
\right.
\]
%% -----File: 138.png---Folio 130-------
ou
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \left(\frac{\dd f}{\dd v} + u \frac{\dd a}{\dd v}\right) dv
+ \left(\frac{\dd f}{\dd w} + u \frac{\dd a}{\dd w}\right) dw
+ a\, d\sigma &= 0, \\
  \left(\frac{\dd g}{\dd v} + u \frac{\dd b}{\dd v}\right) dv
+ \left(\frac{\dd g}{\dd w} + u \frac{\dd b}{\dd w}\right) dw
+ b\, d\sigma &= 0, \\
  \left(\frac{\dd h}{\dd v} + u \frac{\dd c}{\dd v}\right) dv
+ \left(\frac{\dd h}{\dd w} + u \frac{\dd c}{\dd w}\right) dw
+ c\, d \sigma &= 0.
\end{aligned}
\right.
\]
\DPchg{Eliminons}{Éliminons} entre ces équations $dv, dw, d\sigma$, nous avons pour déterminer
l'$u$~du point de contact de la droite avec l'arête de rebroussement,
l'équation qui donne les points focaux. Donc \emph{les
points où une droite~$D$ de la congruence touche les arêtes de
rebroussement des deux développables de la congruence qui passent
par cette droite sont les foyers de la droite~$D$}.

\MarginNote{Développables
et surface
focale.}
Supposons que le lieu des points focaux comprenne une surface~$(\Phi)$
que nous prendrons pour support
\[
x = f(v,w), \qquad
y = g(v,w), \qquad
z = h(v,w).
\]
En chaque point~$F$ de la surface~$(\Phi)$ passe une droite~$D$ de la
congruence tangente en~$F$ à~$(\Phi)$ et admettant~$F$ pour foyer. Nous
avons trouvé sur la surface~$(\Phi)$ une famille de courbes tangentes
aux droites~$D$. La développable qui a pour arête de rebroussement
une de ces courbes~$(A)$ est une développable de la congruence.

\Illustration[2.25in]{138a}
Nous avons ainsi une des familles de développables.
Considérons alors les courbes~$(c)$
formant avec~$(A)$ un réseau conjugué.
Considérons la développable enveloppe des
plans tangents à~$(\Phi)$ tout le long d'une
courbe~$(c)$; la génératrice de cette développable
en un point~$F$ de~$(c)$ est la caractéristique
du plan tangent, c'est la tangente
%% -----File: 139.png---Folio 131-------
conjuguée de la tangente à~$(c)$, c'est la droite~$D$. Nous
avons la \Ord{2}{e} famille de développables en prenant l'enveloppe
des plans tangents à~$(\Phi)$ en tous les points des courbes~$(c)$
conjuguées des courbes~$(A)$.

Supposons que les courbes $w = \cte$ soient précisément les
courbes~$(A)$. On a
\[
a = \frac{\dd f}{\dd v}, \qquad
b = \frac{\dd g}{\dd v}, \qquad
c = \frac{\dd h}{\dd v};
\]
l'équation~\Eq{(1)} devient
\[
\begin{vmatrix}%[** TN: Added elided columns]
\mfrac{\dd f}{\dd v} &
\mfrac{\dd g}{\dd v} &
\mfrac{\dd h}{\dd v} \\
%
\mfrac{\dd^{2} f}{\dd v^{2}}·dv + \mfrac{\dd^{2} f}{\dd v · \dd w}\, dw &
\mfrac{\dd^{2} g}{\dd v^{2}}·dv + \mfrac{\dd^{2} g}{\dd v · \dd w}\, dw &
\mfrac{\dd^{2} h}{\dd v^{2}}·dv + \mfrac{\dd^{2} h}{\dd v · \dd w}\, dw \\
%
\mfrac{\dd f}{\dd v} · dv       + \mfrac{\dd f}{\dd w}\, dw &
\mfrac{\dd g}{\dd v} · dv       + \mfrac{\dd g}{\dd w}\, dw &
\mfrac{\dd h}{\dd v} · dv       + \mfrac{\dd h}{\dd w}\, dw
\end{vmatrix} = 0.
\]
Retranchons la \Ord{1}{ère} ligne de la \Ord{3}{e}: $dw$~vient en facteur, et
l'équation prend la forme
\[
dw (E'\, dv + F'\, dw) = 0;
\]
nous trouvons d'abord $dw = 0$, (courbes~$A$); la relation
\[
E'\, dv + F'\, dw = 0
\]
définit précisément les courbes~$(c)$ conjuguées des courbes
$w = \cte[]$. Nous retrouvons les résultats précédents.

\MarginNote{Développables
et courbe
focale.}
Examinons maintenant le cas d'une courbe focale~$(\phi)$ que
nous prendrons pour support:
\[
x = f(v), \qquad
y = g(v), \qquad
z = h(v),
\]
alors $\dfrac{\dd f}{\dd w}, \dfrac{\dd g}{\dd w}, \dfrac{\dd h}{\dd w}$ sont nuls, et l'équation~\Eq{(1)} devient
\[%[** TN: Filled in last two columns]
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
\mfrac{\dd a}{\dd v}\, dv + \mfrac{\dd a}{\dd w}\, dw &
\mfrac{\dd b}{\dd v}\, dv + \mfrac{\dd b}{\dd w}\, dw &
\mfrac{\dd c}{\dd v}\, dv + \mfrac{\dd c}{\dd w}\, dw \\
\mfrac{\dd f}{\dd v}\, dv &
\mfrac{\dd g}{\dd v}\, dv &
\mfrac{\dd h}{\dd v}\, dv
\end{vmatrix} = 0;
\]
%% -----File: 140.png---Folio 132-------
$dv$~est en facteur. L'une des familles de développables est
formée par les droites $v = \cte$, c'est-à-dire par toutes les
droites de la congruence passant par un même point~$F$ de~$(\phi)$.
Ce sont des cônes.

\MarginNote{Examen des diverse
cas possibles.}
Examinons alors tous les cas possibles relativement à la
nature du lieu des foyers.

\ParItem{\Primo.} Supposons qu'il y ait \Card{2} surfaces focales $(\Phi), (\Phi')$.
Toute droite~$D$ de la congruence est tangente à $(\Phi), (\Phi')$ aux
\Card{2} points $F\Add{,} F'$ foyers de~$D$. Considérons une des développables
ayant pour arête de rebroussement l'une des
\Figure[3.25in]{140a}
courbes~$(A)$. Toutes ses génératrices sont
tangentes à $(\Phi')$, cette développable est
circonscrite à~$(\Phi')$ le long d'une courbe~$(c')$
que nous appellerons \emph{courbe de contact}.
Le plan focal correspondant à~$F$ est
le plan tangent en~$F$ à la surface~$(\Phi)$. Le
\Ord{2}{e} plan focal est le plan tangent en~$F'$ à~$(\Phi')$,
et comme la développable est circonscrite à~$(\Phi')$, ce plan
tangent est le plan tangent à la développable au point~$F'$,
c'est-à-dire le long de la génératrice~$D$; c'est le plan osculateur
à l'arête de rebroussement~$(A)$ au point~$F$. Il y a
évidemment réciprocité entre $(\Phi), (\Phi')$. L'autre série de développables
aura pour arêtes de rebroussement les enveloppes
des droites~$D$ sur la surface~$(\Phi')$. Soient $(A')$ ces arêtes de
rebroussement, et ces développables seront circonscrites à~$(\Phi)$
le long des courbes de contact~$(C)$. Nous avons ainsi déterminé
sur~$(\Phi)\Add{,} (\Phi')$ \Card{2} réseaux conjugués qui se correspondent
de manière qu'aux courbes~$(A)$ correspondent les courbes~$(c')$
%% -----File: 141.png---Folio 133-------
et aux courbes~$(c)$ les courbes~$(A')$, l'une des familles de courbes
correspondantes étant constituée par des arêtes de rebroussement,
et l'autre par des courbes de contact. Le \Ord{2}{e} foyer~$F'$
est le point de contact de la droite~$D$ avec son enveloppe
quand on se \DPtypo{deplace}{déplace} sur la courbe~$(c)$.

\ParItem{\Secundo.} Supposons une surface focale~$(\Phi)$ et une courbe focale~$(\phi')$.
Une des séries de développables est constituée par
\Figure[3.25in]{141a}
des cônes ayant leurs sommets
sur~$(\phi')$. Les courbes~$(c)$ sur~$(\Phi)$
sont les courbes de contact des
cônes circonscrits à~$(\Phi)$ par les
divers points de~$(\phi')$. Les plans
focaux sont le plan osculateur à~$(A)$
au point~$F$ et le plan tangent
à~$(\Phi)$ au point~$F$, c'est-à-dire
le plan tangent à~$(\phi')$ passant
par~$(D)$, et le plan tangent au cône de la congruence de
sommet~$F'$, le long de~$(D)$. Les courbes~$(c), (A)$ forment un réseau
conjugué sur~$(\Phi)$.

\ParItem{\Tertio.} Supposons enfin \Card{2} courbes focales $(\phi)\Add{,} (\phi')$; les deux
familles de développables sont des cônes passant par l'une des
courbes et ayant leurs sommets sur l'autre.

\MarginNote{Cas singuliers.}
Voyons maintenant le cas des foyers confondus.

\ParItem{\Primo.} Il y a une \emph{surface focale double}. Dans ce cas la congruence
est constituée par les tangentes à une famille d'asymptotiques
de cette surface. Il n'y a plus qu'une famille de
développables ayant pour arêtes de rebroussement ces asymptotiques.
%% -----File: 142.png---Folio 134-------
Prenons cette surface pour support, et pour courbes $w = \cte$
ces asymptotiques. L'équation différentielle qui détermine
les développables est
\[
dw (E'\, dv + F'\, dw) = 0.
\]
L'équation des lignes asymptotiques est
\[
E'\, dv^{2} + 2F'\, dv · dw + G'\, dw^{2} = 0;
\]
elle doit être vérifiée pour $dw = 0$; donc $E' = 0$, et l'équation
qui détermine les développables devient $dw^{2} = 0$, ce qui démontre
le \DPtypo{resultat}{résultat} précédemment énoncé.

\ParItem{\Secundo.} Il y a une \emph{courbe focale double}~$(\phi)$. Les droites de
la congruence sont dans des plans tangents aux divers points
de~$(\phi)$. Une famille de ces développables est donc constituée
par ces plans. On aperçoit immédiatement deux autres développables,
l'enveloppe des plans tangents précédents, et la développable
qui a pour arête de rebroussement la courbe~$(\phi)$. Il
est facile de voir qu'il n'y en a pas d'autre. Soit la courbe~$(\phi)$:
\[
x = f(v), \qquad
y = g(v), \qquad
z = h(v);
\]
la tangente a pour coefficients directeurs $\dfrac{\dd f}{\dd v}, \dfrac{\dd g}{\dd v}, \dfrac{\dd h}{\dd v}$; donnons-nous
en chaque point les coefficients directeurs d'une droite
de la congruence $\alpha(v), \beta(v), \gamma(v)$. Une droite quelconque de la
congruence aura pour coefficients directeurs
\[
a = \frac{\dd f}{\dd v} + w \alpha (v), \qquad
b = \frac{\dd g}{\dd v} + w \beta (v), \qquad
c = \frac{\dd h}{\dd v} + w \gamma (v).
\]
L'équation des développables est
\[%[** TN: Filled in last two columns]
\begin{vmatrix}
f' + w · \alpha & g' + w · \beta & h' + w · \gamma \\
(f'' + w \alpha')\, dv + \alpha · dw &
(g'' + w \beta')\, dv + \beta · dw &
(h'' + w \gamma')\, dv + \gamma · dw \\
f'\, dv & g'\, dv & h'\, dv
\end{vmatrix} = 0;
\]
%% -----File: 143.png---Folio 135-------
$dv$~est en facteur; en retranchant la \Ord{3}{e} ligne de la \Ord{1}{ère}, $w$~est
en facteur, et l'équation se réduit à
\[%[** TN: Filled in last two columns]
w · dv^{2}
\begin{vmatrix}
\alpha          & \beta & \gamma \\
f'' + w \alpha' & g'' + w \beta' & h'' + w \gamma' \\
f'              & g' & h'
\end{vmatrix} = 0.
\]
Nous trouvons $dv = 0$ correspondant aux plans tangents; $w = 0$
correspondant à la développable d'arête de rebroussement~$\phi$,
et enfin
\[
\begin{vmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
f''    & g''   & h''    \\
f'     & g'    & h'
\end{vmatrix} + w \begin{vmatrix}
\alpha  & \beta  & \gamma  \\
\alpha' & \beta' & \gamma' \\
f'      & g'     & h'
\end{vmatrix} = 0\Add{.}
\]
Le plan tangent considéré en un point de la courbe~$(\phi)$ a pour
équation
\[
\begin{vmatrix}
x - f  & y - g & z - h \\
f'     & g'    & h'    \\
\alpha & \beta & \gamma
\end{vmatrix} = 0;
\]
\DPtypo{Cherchons}{cherchons} son enveloppe. La caractéristique est dans le plan
\[
\begin{vmatrix}
x - f  & y - g & z - h \\
f''    & g''   & h''   \\
\alpha & \beta & \gamma
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x - f   & y - g  & z - h \\
f'      & g'     & h'    \\
\alpha' & \beta' & \gamma'
\end{vmatrix} = 0.
\]
La droite~$D$ est
\[%[** TN: Filled in last two equations]
x = f + u \left[\frac{\dd f}{\dd v} + w \alpha (v)\right]\!\!, \quad
y = g + u \left[\frac{\dd g}{\dd v} + w \beta (v)\right]\!\!, \quad
z = h + u \left[\frac{\dd h}{\dd v} + w \gamma (v)\right]\!\!.
\]
Exprimons que cette droite est dans le \Ord{2}{e} plan qui contient la
caractéristique, nous avons
\[%[** TN: Filled in last two columns]
\begin{vmatrix}
f' + w \alpha & g' + w \beta & h' + w \gamma \\
f''           & g'' & h'' \\
\alpha        & \beta & \gamma
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
f' + w \alpha & g' + w \beta & h' + w \gamma \\
f'            & g' & h' \\
\alpha'       & \beta' & \gamma'
\end{vmatrix} = 0,
\]
%% -----File: 144.png---Folio 136-------
condition qui se réduit à
\[
\begin{vmatrix}
f'      & g'     & h'     \\
f''     & g''    & h''    \\
\alpha  & \beta  & \gamma
\end{vmatrix} + w \begin{vmatrix}
\alpha  & \beta  & \gamma \\
f'      & g'     & h'     \\
\alpha' & \beta' & \gamma'
\end{vmatrix} = 0.
\]
C'est précisément l'équation qui définit la \Ord{3}{e} développable,
qui est donc l'enveloppe des plans qui contiennent les droites
de la congruence.

\Section{Sur le point de vue corrélatif.}
{3.}{} Nous avons trouvé comme cas particulier du lieu des
foyers une courbe. En examinant la question au point de vue
corrélatif, nous sommes conduits à examiner \emph{le cas où l'enveloppe
des plans focaux est une surface développable}, soit~$\Phi$.
Soit~$\Phi'$ l'autre nappe le la surface focale. Les droites de la
congruence sont tangentes à $\Phi, \Phi'$; or\Add{,} une tangente à la développable~$\Phi$
doit être dans l'un des plans tangents qui enveloppent
cette développable; les droites de la congruence sont donc les
tangentes à~$\Phi'$ qui sont dans les plans tangents à~$\Phi$, ce sont
les tangentes aux sections de~$\Phi'$ par les plans qui enveloppent~$\Phi$.
Dans ce cas les arêtes de rebroussement~$(A')$ sur la surface~$\Phi'$
sont des courbes planes, les développables correspondantes
étant les plans de ces courbes. Les foyers d'une droite~$D$ sont
le point de contact avec~$\Phi'$, et le point d'intersection avec
la caractéristique du plan tangent à la développable~$\Phi$. L'autre
famille de développables aura ses arêtes de rebroussement
sur la surface~$\Phi$, et correspondant aux courbes~$(c')$ \DPtypo{conjuguees}{conjuguées}
des courbes~$(A')$.

\emph{Réciproquement, si les arêtes de rebroussement des développables
%% -----File: 145.png---Folio 137-------
situées sur une des nappes de la surface focale
sont des courbes planes, les développables correspondantes
seront des plans, et leur enveloppe sera la \Ord{2}{e} nappe de la
surface focale.}

Pour avoir une congruence de cette espèce on peut prendre
arbitrairement la développable~$\Phi$, et sur cette développable,
une famille de courbes quelconque. Les tangentes à ces courbes
engendrent une congruence de l'espèce considérée, car l'une
des familles de développables est évidemment constituée par
les plans tangents à la développable~$\Phi$; les courbes de contact
sur la développable sont les génératrices, qui peuvent
être considérées comme conjuguées à toute famille de courbes.

\emph{Supposons les \Card{2} nappes de la surface focale développables\Add{.}}
Il suffit de partir d'une développable~$\Phi$, de la couper par
une famille de plans quelconques. Les sections seront les
courbes~$A$, et les plans de ces sections envelopperont l'autre
développable focale. On peut dire dans ce cas que l'on a \Card{2} familles
de plans à un paramètre, les droites de la congruence
étant les intersections de chaque plan d'une famille avec chaque
plan de l'autre.

Les \emph{\Card{2} cas singuliers} se correspondent à eux-mêmes au
point de vue corrélatif. Les asymptotiques d'une surface se
correspondent à elles-mêmes; car une asymptotique est telle
que le plan osculateur en l'un de ses points est tangent à la
surface, et au point de vue corrélatif, un point d'une courbe
se transforme en plan osculateur et inversement.
%% -----File: 146.png---Folio 138-------

\MarginNote{Congruences de
Koenigs.}
Il y a un \emph{autre cas particulier corrélatif de lui-même},
c'est le \emph{cas de Koenigs}. On appelle \emph{élément de contact} le système
constitué par un point~$M$ et un plan passant par ce point.
Les surfaces et les courbes sont alors engendrées de la même
façon au moyen des \DPtypo{élément}{éléments} de contact: en chaque point d'une
surface, il y a un plan tangent et un seul, ce qui donne
$\infty^{2}$~éléments de contact; sur une courbe, il y a $\infty^{1}$~points, et
en chaque point $\infty^{1}$~plans tangents, ce qui donne encore $\infty^{2}$~éléments
de contact; pour les développables, nous avons $\infty^{1}$~plans
et $\infty^{2}$~points, donnant $\infty^{2}$~éléments de contact. Une droite est
de même constituée par $\infty^{2}$~éléments de contact, $\infty^{1}$~points sur
la droite et $\infty^{1}$~plans passant par la droite. Dans la \DPtypo{Théorie}{théorie}
des congruences, \emph{un foyer et le plan focal correspondant constituent
un élément de contact}, et les surfaces focales, courbes
focales, développables focales, ou comme l'on dit plus généralement,
les \emph{multiplicités focales, sont engendrées par les
éléments de contact focaux}. Nous voyons alors que nous avons
considéré tous les cas possibles, sauf celui où l'une des multiplicités
focales est une droite.

\Illustration{146a}
La droite peut être considérée comme le lieu de $\infty^{1}$~points
ou comme l'enveloppe de $\infty^{1}$~plans; c'est donc à la fois une
courbe et une développable; il en résulte qu'une des familles
de développables de la congruence est constituée par des cônes
ayant leurs sommets sur la droite, et l'autre par des plans
passant par la droite. Si en particulier la congruence a pour
multiplicités focales une droite~$D$ et une
surface~$\Phi$, les séries de développables
seront d'une part les cônes circonscrits à~$\Phi$
%% -----File: 147.png---Folio 139-------
par les différents points de~$D$, ce qui donne les courbes de
contact~$(c)$; et les plans passant par~$D$, qui coupent suivant
les arêtes de rebroussement~$(A)$, et $(A)\Add{,} (c)$ forment un système
de courbes conjuguées. On obtient ainsi le \emph{Théorème de Koenigs:
Les courbes de contact des cônes circonscrits à une surface
par les divers points d'une droite~$D$, et les sections de
cette surface par les plans passant par~$D$ constituent un réseau
conjugué}.

\MarginNote{Congruences
linéaires.}
Si les multiplicités focales sont \Card{2} droites, la congruence
est constituée par les droites rencontrant ces \Card{2} droites.
C'est une \emph{congruence linéaire}.

Il peut encore arriver qu'il y ait une droite focale double;
il suffira alors d'associer à chaque point~$A$ de la droite
un plan~$P$ passant par cette droite, et la congruence sera
constituée par les droites~$D$ situées dans les plans~$P$ et passant
par les points~$A$.

\Section{Application. Surfaces de Joachimsthal.}
{}{Rechercher les surfaces dont les lignes de courbure d'un
système sont dans des plans passant par une droite fixe~$\Delta$.}

Soit $S$ une surface répondant à la question; considérons
les tangentes aux lignes de courbure; ces tangentes~$D$ constituent
une congruence, et comme les lignes de courbure sont
dans des plans passant par~$\Delta$, ces droites~$D$ rencontrent la
droite~$\Delta$; $S$~est une des nappes de la surface focale; les développables
comprennent, d'une part les plans des lignes de
courbure, et d'autre part les cônes circonscrits à~$S$ par les
différents points de $\Delta$, dont les courbes de contact constituent
%% -----File: 148.png---Folio 140-------
un système conjugué du \Ord{1}{er} système de lignes de courbure,
et par suite forment le \Ord{2}{e} système de lignes de courbure.
Si nous considérons ce \Ord{2}{e} système de lignes de courbure, le
cône circonscrit coupe la surface~$S$ suivant un angle constamment
nul; la courbe de contact, qui est une ligne de courbure
de~$S$, est donc aussi une ligne de courbure du cône circonscrit,
d'après le Théorème de Joachimsthal; c'est donc une trajectoire
orthogonale des génératrices, donc l'intersection du
cône avec une sphère ayant son centre au sommet; le \Ord{2}{e} système
de lignes de courbure est donc constitué par des courbes
sphériques, et les sphères correspondantes coupent orthogonalement
la surface~$S$ le long des lignes de courbure. \emph{La surface~$S$
est donc trajectoire orthogonale d'une famille de sphères
ayant leurs centres sur $\Delta$.} Cette propriété est caractéristique
de la surface~$S$; supposons en effet une famille de sphères
ayant leurs centres sur~$\Delta$, et une surface~$S$ orthogonale
à chacune de ces sphères tout le long de la courbe d'intersection;
l'intersection est une ligne de courbure de la sphère,
et comme l'angle d'intersection de~$S$ et de la sphère est constamment
droit, c'est une ligne de courbure de~$S$. Si on joint
le centre~$A$ de la sphère à un point~$M$ de la ligne de courbure,
cette droite est normale à la sphère, donc tangente à la surface~$S$,
de sorte que la ligne de courbure est la courbe de
contact du cône circonscrit à~$S$ par le point~$A$.

Nous sommes ainsi conduits à rechercher les surfaces coupant
à angle droit une famille de sphères. Considérons les lignes
de courbure du \Ord{1}{er} système; chacune d'elles est tangente
à la droite~$D$ correspondante, donc normale à la sphère, et
%% -----File: 149.png---Folio 141-------
comme elle est dans un plan passant par~$\Delta$, elle est trajectoire
orthogonale pour le grand cercle section de la sphère
par ce plan. Si donc on considère les sections de toutes les
sphères de la famille par un même plan passant par~$\Delta$, la ligne
de courbure située dans ce plan sera trajectoire orthogonale
de la famille de cercles obtenue. Si on considère un autre
plan, la ligne de courbure dans ce plan sera aussi trajectoire
orthogonale de la famille de cercles. En rabattant le \Ord{2}{e} plan
sur le \Ord{1}{er} on aura une autre trajectoire orthogonale de
la même famille de cercles. \emph{On considère donc une famille de
cercles ayant leurs centres sur~$\Delta$, on en détermine les trajectoires
orthogonales, et on fait tourner chacune de ces trajectoires
orthogonales autour de~$\Delta$ d'un angle qui lui corresponde
et qui varie d'une manière continue quand on passe d'une
trajectoire à la trajectoire infiniment voisine.} Le lieu des
courbes ainsi obtenues est une surface qui sera la surface~$S$
si la loi de rotation est convenablement choisie. Quelle que
soit d'ailleurs cette loi on obtient toujours une surface répondant
à la question; cette surface sera en effet engendrée
par des courbes qui couperont orthogonalement la famille de
sphères ayant pour grands cercles les cercles considérés, et
par conséquent la surface coupera à angle droit toutes ces
sphères tout le long des courbes d'intersection.

Nous allons donc chercher les trajectoires orthogonales
d'une famille de cercles ayant leurs centres sur une droite~$\Delta$.
Cherchons plus généralement les trajectoires orthogonales d'une
famille de cercles quelconque, que nous définirons en donnant
%% -----File: 150.png---Folio 142-------
les coordonnées $a\Add{,}b$ du centre et le rayon~$R$ en fonction
d'un paramètre~$u$\DPtypo{;}{.} Considérons une trajectoire orthogonale rencontrant
un des cercles en un point~$M$. Les coordonnées du
point~$M$ sont, en fonction du paramètre~$u$
\[
\Tag{(1)}
x = a + R \cos\phi, \qquad
y = b + R \sin \phi,
\]
$\phi$~étant une fonction de~$u$ convenablement choisie. Tout revient
à déterminer cette fonction de~$u$ de façon que la courbe représentée
par les équations~\Eq{(1)} soit normale à tous les cercles.
La normale au cercle a pour paramètres directeurs $x - a$, $y - b$;
elle doit être tangente à la courbe, donc
\[
\Tag{(2)}
\frac{dx}{x-a} = \frac{dy}{y-b}.
\]
Or:
\begin{gather*}
dx = da + \cos \phi · dR - R \sin \phi · d \phi, \quad
dy = db + \sin \phi · dR + R \cos \phi · d \phi, \\
x - a = R \cos \phi, \quad
y - b = R \sin \phi.
\end{gather*}
L'équation~\Eq{(2)} devient
\[
\begin{vmatrix}
da + \cos\phi · dR - R \sin\phi · d\phi &
db + \sin\phi · dR + R \cos\phi · d\phi \\
R \cos\phi   &    R \sin\phi
\end{vmatrix} = 0,
\]
ou:
\[
\sin\phi · da - \cos\phi · db - R\, d\phi = 0,
\]
ou:
\[
\Tag{(3)}
\frac{d\phi}{du} = \frac{a'}{R} \sin\phi - \frac{b'}{R} \cos\phi.
\]
Si nous posons
\[
\tg \frac{\phi}{2} = w,
\]
d'où
\[
d\phi = \frac{2\, dw}{1 + w^{2}},
\]
l'équation différentielle devient
\[
\frac{1}{du}\, \frac{2\, \Err{du}{dw}}{1 + w^{2}}
  = A \frac{2w}{1 + w^{2}} + B \frac{1 - w^{2}}{1 + w^{2}},
\]
$A\Add{,} B$ étant fonctions de~$u$; de sorte que l'équation est de la
forme
\[
\frac{dw}{du} = Aw + \frac{B}{2} (1 - w^{2}).
\]
%% -----File: 151.png---Folio 143-------
C'est une équation de Riccati. Le rapport anharmonique de \Card{4} solutions~$w$
est constant. Or\Add{,} si $M$~est un point d'une trajectoire
orthogonale, $\tg \dfrac{\phi}{2}$ est le coefficient angulaire de la
droite~$AM$. Si on considère \Card{4} trajectoires
orthogonales $M, M', M'', M'''$, les \Card{4} valeurs de~$u$
correspondantes sont les coefficients angulaires
des \Card{4} droites $AM, AM', AM'', AM'''$, et
le rapport anharmonique des \Card{4} solutions~$u$
est le rapport anharmonique du faisceau
$(A, M, M', M'' M''')$. Ce rapport est indépendant de la position du
point~$A$ sur le cercle. Il en résulte que \emph{\Card{4} trajectoires orthogonales
d'une famille de cercles coupent tous les cercles de
la famille suivant le même rapport anharmonique}.

%[** TN: Setting inset illos side-by-side and floating]
\begin{figure}[hbt]
\centering
\Input{151a}\hfil\hfil
\Input[3in]{151b}
\end{figure}
Dans le cas particulier où les cercles ont leurs centres
sur une droite~$\Delta$, les points $M'\Add{,} M''$ d'intersection du cercle avec~$\Delta$
correspondent à \Card{2} trajectoires orthogonales; on a donc \Card{2} solutions
de l'équation de Riccati, et la détermination des trajectoires
orthogonales se ramène à une quadrature. Pour définir
la famille, au lieu de se donner $a, b, R$ en fonction d'un paramètre,
on peut se donner une trajectoire orthogonale~$\Gamma$, on
aura alors \Card{3} solutions de l'équation de \DPtypo{Ricatti}{Riccati}, et la solution
la plus générale s'obtiendra en écrivant que son rapport
anharmonique avec les \Card{3} solutions connues est constant.

Supposons que $(\Delta)$ soit
l'axe~$\DPtypo{OX}{Ox}$, et donnons
nous $(\Gamma)$ par ses tangentes~$(T)$. L'une d'elles
a pour équations:
%% -----File: 152.png---Folio 144-------
\begin{align*}
x &= a + \rho\cos u, \\
y &= \rho\sin u,
\end{align*}
$a$~étant une fonction de~$u$. Pour déterminer le point de contact
avec~$(\Gamma)$, on a, en différentiant:
\[
da - \rho\sin u\, du + \cos u\, d\rho = 0, \quad
\rho\cos u\, du + \sin u\, d\rho = 0,
\]
d'où, pour la valeur de~$\rho$, c'est-à-dire du rayon~$R$ du cercle,
\[
R = \rho = \frac{da}{du} \sin u.
\]
Une trajectoire orthogonale quelconque est donc représentée
par
\[
\Tag{(4)}
x = a + \frac{da}{du} \sin u · \cos\phi, \qquad
y = \frac{da}{du} \sin u · \sin\phi,
\]
$\phi$~étant lié à~$u$ par la constance du rapport anharmonique
$(M, M', M'', M''')$, ce qui donne simplement
\[
\Tag{(5)}
\tg \frac{\phi}{2} = m · \tg \frac{u}{2}.
\]
Si maintenant on fait tourner la courbe~\Eq{(4)} d'un angle~$v$ autour
de~$\DPtypo{ox}{Ox}$, en supposant~$m$ fonction de~$v$, et posant
\[
a = f(u), \qquad
m = g(v),
\]
on obtiendra une trajectoire orthogonale quelconque de la famille
de sphères ayant pour grands cercles les cercles considérés:
\[
\Tag{(6)}
\left\{
  \begin{aligned}
x &= f(u) + f'(u)\sin u \cos\phi, \\
y &= f'(u) \sin u \sin\phi \cos v,
     \text{ (avec $\tg \tfrac{\phi}{2} = g(v)\tg \tfrac{u}{2}$)}  \\
z &= f'(u) \sin u \sin\phi \sin v.
\end{aligned}
\right.
\]
Et en considérant dans ces équations $u$~et~$v$ comme des paramètres
arbitraires, elles représentent la surface de Joachimsthal
la plus générale.
%% -----File: 153.png---Folio 145-------

\Section{Détermination des développables d'une congruence.}
{4.}{} Nous avons vu que la détermination des développables
d'une congruence dépend de l'intégration d'une équation \DPtypo{difféférentielle}{différentielle}
du \Ord{1}{er} ordre et du \Ord{2}{e} degré. Cette intégration
peut se simplifier dans certains cas.

On obtient les développables sans quadrature si la congruence
admet \Card{2} courbes focales, ou corrélativement deux développables
focales. Dans le \Ord{1}{e} cas, on obtient des cônes, et
dans le \Ord{2}{e}, des plans tangents, comme on l'a vu précédemment.

Si on a une courbe focale, ou corrélativement une développable
focale, on a immédiatement une des familles de développables
de la congruence; pour avoir l'autre, on a à intégrer
une équation différentielle du \Ord{1}{e} ordre et du \Ord{1}{er}~degré.

\Illustration[2.25in]{153a}
Cette équation a des propriétés particulières dans un cas
corrélatif de lui-même, \emph{cas où l'on a une courbe focale et une
développable focale}. Soit $(\alpha)$ l'arête de rebroussement de la
développable focale~$(\Phi)$; considérons
une génératrice quelconque~$C$
de cette développable; les droites
de la congruence rencontrent
la courbe focale~$(\phi')$ et sont dans
les plans tangents à~$(\Phi)$. Considérons
un plan tangent à~$(\Phi)$ qui
rencontre $(\phi')$ en~$F'$; toutes les droites du plan tangent qui
passent par~$F'$ sont des droites de la congruence. Considérons
les développables de la congruence passant par une de ces
droites~$D$; il y a d'abord le plan qui enveloppe la développable,
et qui admet pour courbe de contact la génératrice~$C$. Les
foyers de la droite~$D$ sont $F'$~sur~$(\phi')$ et $F$~sur~$C$. La \Ord{2}{e} développable
%% -----File: 154.png---Folio 146-------
a pour arête de rebroussement une courbe~$(A)$ de~$(\Phi)$
dont les tangentes vont rencontrer~$(\phi')$. Le problème revient
donc à \emph{trouver les courbes d'une développable~$(\Phi)$ dont les
tangentes vont rencontrer une courbe~$(\phi')$}. Nous allons chercher
directement les développables de la congruence, que nous définirons
en partant de la courbe~$(\phi')$ et en associant à chacun de
ses points un certain plan dans lequel seront toutes les droites
de la congruence passant par ce point; la développable~$(\Phi)$
sera l'enveloppe de ce plan. Soit la courbe~$(\phi')$
\[
x = f(v), \qquad
y = g(v), \qquad
z = h(v);
\]
pour définir un plan passant par un de ses points, il suffit
de se donner \Card{2} directions $\alpha(v), \beta(v), \gamma(v)$ et $\alpha_{1}(v), \beta_{1}(v), \gamma_{1}(v)$.

On a ainsi le plan contenant toutes les droites de la
congruence; les coefficients directeurs d'une telle droite
sont alors:
\[
\bar{a} = \alpha + w \alpha_{1}, \quad
\bar{b} = \beta  + w \beta_{1}, \quad
\bar{c} = \gamma + w \gamma_{1}.
\]
L'équation aux développables
\[
\begin{vmatrix}
\bar{a}   & \bar{b}   & \bar{c}  \\
d\bar{a}  & d\bar{b}  & d\bar{c} \\
df        & dg        & dh
\end{vmatrix} = 0
\]
devient ici
\[%[** TN: Filled in last two columns]
dv \begin{vmatrix}
\alpha + w \alpha_{1}  & \beta + w \beta_{1}  & \gamma + w \gamma_{1}  \\
f'(v)                  & g'(v)                  & h'(v)               \\
(\alpha' + w \alpha_{1}')\, dv + \alpha_{1} dw  &
(\beta'  + w \beta_{1}')\, dv + \beta_{1} dw  &
(\gamma' + w \gamma_{1}')\, dv + \gamma_{1} dw
\end{vmatrix} = 0.
\]
Nous trouvons $dv = 0, v = \cte$ ce qui nous donne les plans des
droites de la congruence. L'autre solution s'obtiendra par
l'intégration de l'équation:
%% -----File: 155.png---Folio 147-------
\[%[** TN: Filled in last two columns]
dw \begin{vmatrix}
\alpha + w \alpha_{1} & \beta + w \beta_{1} & \gamma + w \gamma_{1} \\
f'                    & g'                    & h'                   \\
\alpha_{1}            & \beta_{1}            & \gamma_{1}
\end{vmatrix} + dv \begin{vmatrix}
\alpha + w \alpha_{1}   & \beta + w \beta_{1}   & \gamma + w \gamma_{1} \\
f'                      & g'                      & h'                   \\
\alpha' + w \alpha_{1}' & \beta' + w \beta_{1}' & \gamma' + w \gamma_{1}'
\end{vmatrix} = 0,
\]
équation de la forme
\[
\frac{dw}{dv} = Pw^{2} + Qw + R,
\]
$P\Add{,} Q\Add{,} R$ étant fonctions de $v$~seulement. C'est une équation de Riccati.

Cherchons dans quels cas on peut avoir des solutions particulières
de cette équation. Si la courbe~$(\phi')$ est plane, si
on coupe~$(\Phi)$ par son plan, la section est une courbe dont les
tangentes rencontrent~$(\phi')$, c'est une courbe~$(A)$; on a une solution
particulière, le problème s'achève au moyen de \Card{2} quadratures.
En particulier si $(\phi')$ est le cercle imaginaire à
l'infini, on a à déterminer sur~$(\Phi)$ des courbes dont les tangentes
rencontrent le cercle imaginaire à l'infini, ce sont
les courbes minima. \emph{La détermination des courbes minima d'une
développable se ramène à \Card{2} quadratures.}

Corrélativement, si $(\Phi)$ est un cône, considérons le cône
de même sommet et qui a pour base~$(\phi')$; c'est une développable
de le \Ord{2}{e} famille; on a une solution particulière, et le problème
s'achève par \Card{2} quadratures.

Si $(\Phi)$ est un cône et $(\phi')$~une courbe plane, on a \Card{2} solutions
particulières, donc une seule quadrature.

Supposons encore que les plans~$P$ précédemment définis
soient normaux à la courbe~$(\phi')$. Nous avons la \emph{congruence des
normales} à la courbe~$(\phi')$, et la recherche des développables
conduira à celle des \emph{développées} de~$(\phi')$. Le plan normal à~$(\phi')$
%% -----File: 156.png---Folio 148-------
en l'un de ses points~$F'$ est perpendiculaire à la tangente~$F'T$.
Si on \DPtypo{onsidère}{considère} le cône isotrope~$J$ de sommet~$F'$, le plan normal
est le plan polaire de la tangente par rapport à ce cône isotrope;
parmi les normales il y a donc les \Card{2} génératrices de
contact des plans tangents menés par la tangente au cône isotrope.
Soit $G$ l'une d'elles, on l'obtient algébriquement; considérons
la surface réglée qu'elle engendre lorsque $F'$~décrit
la courbe~$(\phi')$. Le plan asymptote, plan tangent à l'infini sur~$G$,
est le plan tangent au cône isotrope~$J$ le long de~$G$; la
surface réglée contient la courbe~$(\phi')$, et le plan tangent au
point~$F'$ est le plan~$G·F'·T$, qui est encore le plan tangent au
cône isotrope le long de~$G$. Ce plan tangent est donc le même
tout le long de la génératrice~$G$, et cette droite engendre une
surface développable. Ainsi \emph{les droites isotropes des plans
normaux à une courbe gauche décrivent \Card{2} développables et enveloppent
\Card{2} développées de la courbe gauche}. Nous avons ainsi
\Card{2} solutions particulières, et la détermination des développées
doit s'achever par une seule quadrature.

Effectivement, en supposant que $\DPtypo{v}{w}$~est l'arc~$s$ de~$(\phi')$, que
$\alpha, \beta, \gamma$; $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$, sont les cosinus directeurs $a'\Add{,} b'\Add{,} c'$ de la normale
principale et $a''\Add{,} b''\Add{,} c''$ de la binormale, l'équation générale
se réduit, en désignant par $a, b, c$ les cosinus directeurs de la
tangente,
\[%[** TN: Filled in last two columns]
dw \begin{vmatrix}
a'  & b'  & c' \\
a   & b   & c  \\
a'' & b'' & c''
\end{vmatrix} + ds \begin{vmatrix}
a' + wa'' & b' + wb'' & c' + wc'' \\
a & b & c \\
-\mfrac{a}{R} - \mfrac{a''}{T} + w\mfrac{a'}{T} &
-\mfrac{b}{R} - \mfrac{b''}{T} + w\mfrac{b'}{T} &
-\mfrac{c}{R} - \mfrac{c''}{T} + w\mfrac{c'}{T}
\end{vmatrix} = 0,
\]
%% -----File: 157.png---Folio 149-------
c'est-à-dire
\[
- dw + \frac{ds}{T} (1 + w^{2}) = 0,
\]
ou enfin
\[
%[** TN: "tang." in original]
w = \tg \int \frac{ds}{T}.
\]
On vérifie bien que l'équation différentielle en~$w$ admet les
deux solutions: $w = ±i$, qui correspondent aux développables
isotropes.

Si on remarque de plus que la surface focale de la congruence
des normales est la surface polaire de~$(\phi')$, c'est-à-dire
que les points de contact des normales avec les développées
sont sur la droite polaire, on retrouve tous les résultats
essentiels sur la détermination des développées.


\ExSection{VI}

\begin{Exercises}
\item[29.] On considère la congruence des tangentes communes aux deux
surfaces $x^{2} + y^{2} = 2az$, $x^{2} + y^{2} = -2az$. Déterminer les développables
de cette congruence: étudier leurs arêtes de rebroussement,
leurs courbes de contact, leurs traces sur le plan
$z = 0$.

\item[30.] Si les deux multiplicités focales d'une congruence sont des
développables isotropes (congruence isotrope), toutes les
surfaces réglées qui passent par une même droite de la congruence
ont même point central et même paramètre de distribution.
Le plan perpendiculaire à chaque droite de la congruence
\DPtypo{mene}{mène} à \DPtypo{egale}{égale} distance des deux points focaux enveloppe
une surface minima. On peut obtenir ainsi la surface minima la
plus générale.

\item[31.] On suppose que les droites $D$~et~$D'$ de deux congruences se correspondent
de manière que deux droites correspondantes soient
parallèles. Si alors les développables des deux congruences se
correspondent, les plans focaux de~$D$ sont parallèles à ceux
de~$D'$; les droites $\Delta, \Delta_{1}$, qui joignent les points focaux
correspondants se coupent en un point~$M$; le lieu de ce point
admet $\Delta$~et~$\Delta_{1}$, pour tangentes conjuguées, et les courbes conjuguées
enveloppées par ces droites correspondent aux développables
des deux congruences.
\end{Exercises}
%% -----File: 158.png---Folio 150-------


\Chapitre{VII}{Congruences de Normales.}

\Section{Propriété caractéristique des congruences de normales.}
{1.}{} Considérons une surface, les coordonnées d'un de ses
points dépendent de deux paramètres; l'ensemble des normales
à cette surface dépend de deux paramètres, et constitue
une congruence. Pour obtenir les développables, il suffit
de considérer sur la surface les \Card{2} \DPtypo{series}{séries} de lignes de
courbure, puisque les normales à une surface en tous les
points d'une ligne de courbure engendrent une surface développable.
Le plan tangent à une développable passe par la normale~$D$
et par la tangente à la ligne de courbure correspondante.
C'est l'un des plans focaux de la droite~$D$. Ainsi \emph{les plans
focaux sont les plans des sections principales de la surface.
Les plans focaux d'une congruence de normales sont rectangulaires}.
Il en résulte qu'une congruence quelconque ne peut pas
en général être considérée comme formée des normales à une
%[** TN: Added parentheses between \gamma, \gamma']
surface. Considérons les \Card{2} lignes de courbure $(\gamma)\Add{,}(\gamma')$ passant
par un point~$M$ de la surface; à la développable
de~$(\gamma)$ correspond une arête de
rebroussement~$(A)$ dont le plan osculateur
est le plan focal, le point de contact~$F$
de~$A$ et de la droite~$D$ est un des points
focaux. On peut considérer l'arête de rebroussement~$(A)$
comme étant l'enveloppe de
la droite~$D$ quand le point~$M$ se déplace
%% -----File: 159.png---Folio 151-------
sur la courbe~$(\gamma)$; le point~$F$ est alors l'un des centres de
courbure principaux de la surface au point~$M$. Le plan focal
associé est le \Ord{2}{e} plan de section principale~$FMT'$. On aura de
même une \Ord{2}{e} arête de rebroussement~$(A')$ en \DPtypo{considerant}{considérant} la courbe~$(\gamma')$.

%[** TN: Exchanged diagram labels for (T') and (\gamma')]
\Illustration[1.5in]{158a}
On verra facilement que ces propriétés des centres de
courbure principaux et des plans de sections principales subsistent,
quelle que soit la nature des multiplicités focales
de la congruence considérée.

\emph{Réciproque}. Prenons une congruence constituée par les
droites~$D$
\begin{alignat*}{2}%[** TN: Stacked to accommodate figure]
x &= f(v,w) &&+ u · a(v,w), \\
y &= g(v,w) &&+ u · b(v,w), \\
z &= h(v,w) &&+ u · c(v,w).
\end{alignat*}
Cherchons à quelles conditions on peut déterminer sur la droite~$D$
un point~$M$ dont le lieu soit une surface constamment normale
à~$D$. Il suffit que l'on puisse déterminer~$u$ en fonction
de~$v\Add{,}w$ de façon que l'on ait
\[
\sum a\,dx = 0,
\]
ou
\[
\sum a(df + u\, da + a\, du) = 0.
\]
On peut supposer que $a\Add{,} b\Add{,}c$ soient les cosinus directeurs; alors
$\sum a^{2} = 1$, et $u$~représentera la distance du point~$P$ où la droite
rencontre le support, au point~$M$. On a en même temps $\sum a\, da = 0$
et la condition précédente devient
\[
du + \sum a\, df = 0;
\]
\DPtypo{Cette}{cette} équation peut encore s'écrire
\[
\Tag{(1)}
-du = \sum a\, df.
\]
Elle exprime que $\sum a\, df$ est une différentielle totale exacte;
or\Add{,} on a
\[
\sum a\, df
  = \sum a \frac{\dd f}{\dd v}\, dv
  + \sum a \frac{\dd f}{\dd w}\, dw;
\]
%% -----File: 160.png---Folio 152-------
la condition est donc:
\[
\frac{\dd}{\dd w} \sum a\Add{·} \frac{\dd f}{\dd v}
  = \frac{\dd}{\dd v} \sum a\Add{·} \frac{\dd f}{\dd w},
\]
ou:
\[
\sum \frac{\dd a}{\dd w}\Add{·} \frac{\dd f}{\dd v}
  = \sum \frac{\dd a }{\dd v} · \frac{\dd f}{\dd w},
\]
ou enfin:
\[
\Tag{(2)}
\sum \left(\frac{\dd a}{\dd w}\Add{·} \frac{\dd f}{\dd v}
         - \frac{\dd a}{\dd v} · \frac{\dd f}{\dd w}\right) = 0.
\]
Nous trouvons une condition unique. Or\Add{,} nous avons trouvé précédemment
comme condition nécessaire l'orthogonalité des plans
focaux. Nous sommes donc conduits à comparer les deux conditions\Add{.}
Les coefficients $A\Add{,} B\Add{,} C$ d'un plan focal vérifient les relations
\begin{gather*}
%[** TN: Moved equation number per errata list]
\Tag{(3)}
Aa + Bb + Cc = 0, \\
\left\{
\begin{alignedat}{4}
  &   A\left(\frac{\dd f}{\dd v} + u \frac{\dd a}{\dd v}\right)
  &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd v} + u \frac{\dd b}{\dd v}\right)
  &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd v} + u \frac{\dd c}{\dd v}\right) &&= 0, \\
%
  &   A\left(\frac{\dd f}{\dd w} + u \frac{\dd a}{\dd w}\right)
  &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd w} + u \frac{\dd b}{\dd w}\right)
  &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd w} + u \frac{\dd c}{\dd w}\right) &&= 0.
\end{alignedat}
\right.
\end{gather*}
\DPchg{Eliminant}{Éliminant} $u$ entre les \Card{2} dernières équations, nous avons
\[
\Tag{(4)}
\begin{vmatrix}
\sum A \mfrac{\dd f}{\dd v} & \sum A \mfrac{\dd a}{\dd v} \\
\sum A \mfrac{\dd f}{\dd w} & \sum A \mfrac{\dd a}{\dd w}
\end{vmatrix} = 0.
\]
Les coefficients de direction des normales aux plans focaux
sont définis par \Eq{(3)}\Add{,}~\Eq{(4)}. Si nous considérons $A\Add{,} B\Add{,} C$ comme coordonnées
courantes, \Eq{(3)}~représente un plan passant par l'origine,
\Eq{(4)}~un cône ayant pour sommet l'origine; et les génératrices
d'intersection sont précisément les normales cherchées.
Exprimons que ces deux droites sont rectangulaires; le plan~\Eq{(3)}
est perpendiculaire à la droite~$(a\Add{,} b\Add{,} c)$, qui est sur le cône~\Eq{(4)},
car on a, puisque $\sum a^{2} = 1$ et $\sum a\, da = 0$
\[
\sum a \frac{\dd a}{\dd v} = 0, \qquad
\sum a \frac{\dd a}{\dd w} = 0;
\]
donc les \Card{2} normales sont perpendiculaires à la droite~$(a\Add{,} b\Add{,} c)$;
si elles sont rectangulaires, c'est que le cône~\Eq{(4)} est capable
d'un trièdre trirectangle inscrit, ce qui donne la condition
%% -----File: 161.png---Folio 153-------
\[
\sum \left(\frac{\dd f}{\dd v} · \frac{\dd a}{\dd w}
         - \frac{\dd f}{\dd w} · \frac{\dd a}{\dd v}\right) = 0;
\]
ce qui est précisément la condition~\Eq{(2)}. De sorte que \emph{la condition
nécessaire et suffisante pour que la congruence soit une
congruence de normales, c'est que les plans focaux soient rectangulaires}.

Supposons satisfaite la condition~\Eq{(2)}. Pour obtenir la
surface normale à toutes les droites de la congruence, il suffit
de calculer~$u$ en fonction de~$v\Add{,}w$, ce qui se fait par l'équation~\Eq{(1)}
\[
du = d\Phi(v, w),
\]
d'où
\[
u = \Phi(v, w) + \cte[.]
\]
Il y a donc une infinité de surfaces répondant à la question;
si un point~$M$ décrit une surface~$(S)$ et un point~$M'$ une surface~$(S')$
répondant à la question, on a $u = PM$, $u' = PM'$, la distance~$MM'$
sera une quantité constante. Les surfaces~$(S)\Add{,} (S')$ sont appelées
\emph{surfaces parallèles} et \emph{une famille de surfaces parallèles
admet pour chaque normale mêmes centres de courbure principaux
et mêmes multiplicités focales}; ces multiplicités focales
constituent la \emph{développée} de l'une quelconque de ces surfaces.

\Section{Relations entre une surface et sa développée.}
{2.}{} Considérons une nappe de la développée d'une
surface~$(S)$. Supposons d'abord que ce soit une surface~$(\Phi)$.
Considérons une droite~$D$ de la congruence des normales à~$(S)$;
cette droite est tangente en~$F$ à l'arête de rebroussement~$(A)$
qui appartient à~$(\Phi)$; les plans focaux associés à~$D$ sont
le plan osculateur à~$(A)$ et le plan tangent à~$(\Phi)$. Pour que la
%% -----File: 162.png---Folio 154-------
congruence soit une congruence
de normales, il faut et il suffit
que le plan osculateur à~$(A)$
soit normal à~$(\Phi)$, donc que $(A)$
soit une géodésique de~$(\Phi)$. \emph{La
congruence des normales à la
surface~$(S)$ est constituée par
les tangentes à une famille de
géodésiques de sa développée~$(\Phi)$\Add{.}
Et réciproquement les tangentes
à une famille de $\infty^{1}$~géodésiques d'une surface quelconque~$(\Phi)$
constituent une congruence de normales.} Soit $M$~le point où la
droite~$D$ coupe la surface~$(S)$; lorsque la droite~$D$ roule sur
l'arête de rebroussement~$(A)$, le point~$M$ décrit une ligne de
courbure~$(\gamma)$ de~$(S)$. A chaque point~$M$ de~$(S)$ correspond un
point~$F$ de~$(\Phi)$; il y a correspondance point par point entre
les \Card{2} surfaces; à la famille de lignes de courbure~$(\gamma)$ de~$(S)$
correspond une famille de géodésiques de~$(\Phi)$. Voyons maintenant
les courbes de contact~$(c)$ de~$(\Phi)$; considérons la tangente~$F\theta$
à~$(c)$, c'est la caractéristique du plan tangent à~$(\Phi)$
lorsque le point~$M$ décrit~$(\gamma)$; or\Add{,} ce plan tangent à~$(\Phi)$ est le
\Ord{2}{e} plan focal, c'est le plan perpendiculaire au plan~$FMT$ passant
par~$FM$, c'est donc le plan normal à~$(\gamma)$ au point~$M$. Donc~$F\theta$
est la caractéristique du plan normal à~$(\gamma)$, c'est la droite
polaire de~$(\gamma)$. \emph{Les courbes de contact de~$(\Phi)$ sont les
courbes tangentes aux droites polaires des différents points
des courbes~$(\gamma)$.} $F\theta$~étant dans le plan normal à~$(\gamma)$ rencontre
la tangente à la \Ord{2}{e} section principale; elle passe au centre
%% -----File: 163.png---Folio 155-------
de courbure géodésique de~$(\gamma)$ sur~$(S)$.

\begin{figure}[hbt]
\centering
\Input[1.75in]{162a}\hfil\hfil
\Input[2.5in]{163a}
\end{figure}
\MarginNote{Surface Canal\Add{.}}
Supposons que l'une des nappes de la développée se réduise
à une courbe~$(\phi)$. La droite~$D$ rencontre~$(\phi)$ en l'un des
points focaux~$F$. L'une des développables passant par~$D$ est un
cône de soumet~$F$; l'une des lignes
de courbure~$(\gamma)$ de~$(S)$ passant
par~$M$ est située sur un
cône de sommet~$F$. Or\Add{,} $(\gamma)$~est
constamment normale à~$D$, c'est
donc une trajectoire orthogonale
des génératrices du cône; c'est
l'intersection de ce cône avec une sphère de centre~$F$. Cette
sphère en chaque point~$M$ a pour normale la droite~$D$, elle est
donc tangente à la surface~$(S)$ tout le long de la courbe~$(\gamma)$.
A chaque point~$F$ de~$(\phi)$ correspond une sphère ayant ce point
pour centre et tangente à~$(S)$ tout le long de la ligne de
courbure correspondante. \emph{La surface~$(S)$ est l'enveloppe d'une
famille de sphères dépendant d'un paramètre.} Nous l'appellerons
une \emph{surface canal}. La réciproque est vraie, comme on le
verra plus loin. La courbe~$(\gamma)$ est alors l'intersection d'une
sphère avec une sphère infiniment voisine; c'est un cercle.
Le cône~$F$ est de révolution, l'axe de ce cône est la position
limite de la ligne des centres, c'est la tangente~$Fu$ à~$(\phi)$.
Considérons la tangente~$MT$ à~$(\gamma)$: $MT$~tangente en un point du
cercle est orthogonale à~$Fu$, $Fu$ est donc dans le \Ord{2}{e} plan de
section principale. \emph{Les congruences considérées sont donc formées
des génératrices de $\infty^{1}$~cônes de révolution, dont les axes
sont tangents à la courbe lieu des sommets} de ces cônes. Et
%% -----File: 164.png---Folio 156-------
\emph{réciproquement toute congruence ainsi constituée est une congruence
de normales}, car les plans focaux sont les plans tangents
et les plans méridiens de ces cônes, et sont par conséquent
rectangulaires.

\MarginNote{Cyclide de Dupin.}
Voyons si les \Card{2} nappes de la développée peuvent se réduire
à \Card{2} courbes $(\phi)\Add{,} (\phi')$. Les développables de la congruence sont
les cônes ayant leur sommet sur l'une des courbes et passant
par l'autre. Tous les cônes~$F$ de révolution doivent passer par la
courbe~$(\phi')$. Cette courbe~$(\phi')$ est telle qu'il passe par
cette courbe une infinité de cônes de révolution. De même~$(\phi)$;
$(\phi), (\phi')$ ne peuvent donc être que des biquadratiques gauches ou
leurs éléments de décomposition. Aucune de ces courbes ne peut
être une biquadratique gauche, sans quoi par chacune d'elles
il passerait \Card{4} cônes du \Ord{2}{e} degré seulement. Voyons si l'une
d'elles peut être une cubique gauche; les cônes du \Ord{2}{e} degré
passant par~$(\phi')$ ont leurs sommets sur~$\Err{(\phi)}{(\phi')}$: les \Card{2} courbes $(\phi)\Add{,}
(\phi')$ seraient confondues. Voyons donc s'il peut exister des cubiques
gauches telles que les cônes du \Ord{2}{e} degré qui les contiennent
soient de révolution. Un tel cône aurait pour axe
la tangente~$Fu$; or\Add{,} il contient cette
tangente, donc il se décompose. Donc ni~$(\phi)$
ni~$(\phi')$ ne peuvent être des cubiques
gauches. Supposons donc que~$(\phi')$ soit une
conique; le lieu des sommets des cônes de
révolution passant par cette conique est
une autre conique, qui est dite focale de la \Ord{1}{ère}. Il y a réciprocité
entre ces coniques, et les cônes de révolution ont
%% -----File: 165.png---Folio 157-------
pour axes les tangentes aux focales. Donc \emph{les droites rencontrant
\Card{2} coniques focales l'une de l'autre constituent une congruence
de normales}. Les surfaces normales à ces droites s'appellent
\emph{Cyclides de Dupin. Leurs \Card{2} systèmes de lignes de courbure
sont des cercles}.

\Illustration[1.25in]{164a}
Supposons en particulier que $(\phi')$ soit un cercle; alors
le lieu les sommets des cônes de révolution passant par $(\phi')$~est
l'axe~$(\phi)$ de ce cercle, et nous voyons que toutes les
droites qui s'appuient sur $(\phi)\Add{,} (\phi')$ sont normales à une famille
de surfaces. Ces surfaces sont des \emph{tores} de révolution autour
de l'axe~$(\phi)$, le lieu du centre du cercle méridien étant le
cercle~$(\phi')$.

Supposons que $(\phi')$ soit une droite, la surface est l'enveloppe
d'une famille de sphères ayant leurs centres sur cette
droite. C'est une surface de révolution autour de~$(\phi')$; la \Ord{1}{ère} nappe
de la développée est la droite~$(\phi')$, la \Ord{2}{e} est engendrée
par la rotation de la développée de la méridienne principale;
pour que ce soit une courbe, il faut que la développée soit un
point, donc que la méridienne soit un cercle, et nous retombons
sur le cas du tore.

\MarginNote{Cas singulier.}
Cherchons enfin si les \Card{2} nappes de la développée peuvent
être confondues. Alors les \Card{2} familles de lignes de courbure de
la surface~$(S)$ sont confondues. C'est le cas des \emph{surfaces réglées
à génératrices isotropes}. Les \Card{2} nappes se réduisent à
une seule courbe, comme on le verra au paragraphe suivant.
%% -----File: 166.png---Folio 158-------

\Section{\DPchg{Etude}{Étude} des surfaces enveloppes de sphères.}
{3.}{} Nous avons été amenés dans ce qui précède à considérer
les surfaces enveloppes de sphères. Nous allons
maintenant étudier les réciproques des propriétés précédentes.

Considérons une surface~$(S)$ enveloppe de $\infty^{1}$ sphères~$(\Sigma)$.
Chaque sphère coupe la sphère infiniment voisine suivant un
cercle, et les normales à~$(S)$ en tous les points de ce cercle
passent par le centre de la sphère. Le lieu des centres des
sphères est une courbe rencontrée par les normales à~$(S)$,
c'est une des nappes de la développée. D'autre part, la sphère~$(\Sigma)$
étant tangente à la surface~$(S)$ tout le long du cercle caractéristique,
ce cercle est une ligne de courbure de la
surface~$(S)$, d'après le Théorème de Joachimsthal. \emph{Les surfaces
enveloppes de sphères ont une famille de lignes de courbure
circulaires. Réciproquement toute surface ayant une famille
de lignes de courbure circulaires est une enveloppe de sphères\Add{.}}
Considérons une ligne de courbure circulaire~$(K)$; toute sphère
passant par~$(K)$ coupe la surface~$(S)$ sous un angle constant,
d'après le Théorème de Joachimsthal. Or\Add{,} il est possible de
trouver une sphère passant par~$(K)$ et tangente à~$(S)$ en l'un
des points de ce cercle; cette sphère sera alors tangente à~$(S)$
en tous les points du cercle~$(K)$, et toute ligne de courbure
circulaire est courbe de contact d'une sphère avec la
surface. La surface est l'enveloppe des sphères ainsi déterminées.

Soit une sphère de centre $(a,b,c)$ et de rayon~$r$, $a,b,c,r$
étant fonctions d'un même paramètre.
%% -----File: 167.png---Folio 159-------
La sphère a pour équation
\[%[** TN: Omitted large brace grouping next two equations]
(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} - r^{2} = 0;
\]
la caractéristique est en outre définie par l'équation
\[
(x - a)\, da + (y - b)\, db + (z - c)\, dc + r\, dr = 0;
\]
On vérifie bien que c'est un cercle dont le plan est perpendiculaire
à la direction~$da, db, dc$, de la tangente au lieu des
centres des sphères.

Nous venons de considérer les surfaces dont une famille
de lignes de courbure est constituée par des cercles. Voyons
si les \Card{2} familles de lignes de courbure peuvent être circulaires.
La surface correspondante pourra être considérée de
\Card{2} façons différentes comme l'enveloppe de $\infty^{1}$~sphères. Les \Card{2} nappes
de la développée sont des courbes. Nous obtenons la
Cyclide de Dupin, que nous allons étudier à un point de vue
nouveau.

\MarginNote{Correspondance
entre les
droites et les
sphères.}
Les droites et les sphères sont des éléments géométriques
dépendant de \Card{4} paramètres. Ce fait seul permet de prévoir
qu'il y aura une espèce de correspondance entre l'étude des
systèmes de droites et celle des systèmes de sphères. Cette
correspondance trouve son expression analytique dans une
transformation, due à Sophus Lie, et que nous exposerons plus
tard. Mais nous la verrons se manifester auparavant dans diverses
questions. C'est ainsi que l'on peut considérer dans la
géométrie des sphères les enveloppes de $\infty^{1}$~sphères comme correspondant
aux surfaces réglées, lieux de $\infty^{1}$~droites; la cyclide
de Dupin correspond alors aux surfaces doublement réglées,
%% -----File: 168.png---Folio 160-------
donc aux surfaces réglées du \Ord{2}{e} degré. Nous allons voir
l'analogie se développer dans l'étude qui suit.

%[** TN: Several {1}-like superscripts rendered as prime accents]
Soit $(\Sigma)$ une sphère de la \Ord{1}{ère} famille, $(\Sigma')$~une sphère
de la \Ord{2}{e} famille, $(\Sigma)$~touche~$(S)$ suivant un cercle~$(K)$, $\Sigma'$~touche~$(S)$
suivant un cercle~$(K')$. La surface~$(S)$ étant engendrée
par le cercle~$(c)$ ou par le cercle~$(c')$, il en résulte que ces
\Card{2} cercles ont au moins un point commun~$M$\DPtypo{.}{}; soient $O\Add{,} O'$ les centres
des sphères $(\Sigma)\Add{,} (\Sigma')$, $OM$~et~$O'M$ sont normales aux sphères
$(\Sigma)\Add{,} (\Sigma')$ et par suite normales en~$M$ à la surface. Donc elles
coïncident, $O\Add{,} M\Add{,} O'$~sont sur une même droite; les sphères $(\Sigma)\Add{,} (\Sigma')$
sont tangentes en~$M$. \emph{Une sphère de l'une des familles est
tangente à une sphère quelconque de l'autre famille.} (Deux génératrices
de systèmes différents d'une quadrique se rencontrent).

Considérons \Card{3} sphères fixes $(\Sigma), (\Sigma_{1}), (\Sigma_{2})$ d'une des familles.
Elles sont tangentes à toutes les sphères de l'autre famille,
et par suite \emph{la surface est l'enveloppe des sphères
tangentes à \Card{3} sphères fixes}. (Une quadrique est le lieu d'une
droite rencontrant \Card{3} droites fixes). Les \Card{3} sphères $(\Sigma), (\Sigma_{1}), (\Sigma_{2})$
se coupent en \Card{2} points qui peuvent être considérés comme des
sphères de rayon nul tangentes à $(\Sigma), (\Sigma_{1}), (\Sigma_{2})$; donc il y a \Card{2} sphères
de rayon nul dans chaque famille de sphères enveloppées
par la cyclide. Les sphères de l'autre famille devant
être tangentes à ces \Card{2} sphères de rayon nul passent par leurs
centres. Ces deux points sont sur le lieu des centres des
sphères, donc sur les coniques focales; \emph{si donc nous considérons
les \Card{2} coniques focales, les sphères d'une des familles
ont leurs centres sur l'une des coniques et passent par \Card{2} points
%% -----File: 169.png---Folio 161-------
fixes de l'autre, symétriques par rapport au plan de
la \Ord{1}{ère}.} Il est alors facile, avec cette génération, de trouver
l'équation de la cyclide.

\Section{\DPchg{Equation}{Équation} de la
\DPtypo{Cyclide}{cyclide} de
Dupin.}
{}{\normalfont\Primo.} Supposons d'abord que l'une des coniques soit une
ellipse, par exemple: l'autre est une hyperbole. Prenons pour
axes $\DPtypo{ox, oy}{Ox, Oy}$ les axes de l'ellipse, dont l'équation dans son
plan est:
\[
\Tag{(E)}
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1 = 0.
\]

\Illustration{169a}
\noindent L'hyperbole focale est dans le plan
$y = 0$. Elle a pour équations
\[
\Tag{(H)}
y = 0, \qquad
\frac{x^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \frac{z^{2}}{b^{2}} - 1 = 0\Add{.}
\]
Un point~$\omega$ de l'ellipse~\Eq{(E)} a pour
coordonnées
\[
x = a \cos\phi, \qquad
y = b \sin\phi, \qquad
z = 0.
\]
Soit sur l'hyperbole~\Eq{(H)} le point fixe~$A$ de coordonnées
\[
x_{0}, \qquad
y_{0} = 0, \qquad
z_{0}^{2} = b^{2} \left(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2} - b^{2}} - 1\right).
\]
L'équation d'une sphère~$\Sigma$ ayant pour centre~$\omega$ et passant par
le point~$A$ sera
\[
\DPtypo{(x - a \cos\phi^{2})}{(x - a \cos\phi)^{2}}
  + (y - b \sin\phi)^{2} + z^{2}
  = (x_{0} - a \cos\phi)^{2} + b^{2} \sin^{2} \phi
  + b^{2} \left(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2} - b^{2}} - 1\right),
\]
ou
\[
x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax \cos\phi - 2by \sin\phi
  = x_{0}^{2} + b^{2} \frac{x_{0}^{2}}{a^{2} - b^{2}}
  - b^{2} - 2ax_{0} \cos\phi,
\]
ou
\[
2a (x - x_{0}) \cos\phi + 2by \sin\phi
  = x^{2} + y^{2} + z^{2} + b^{2} - \frac{a^{2} x_{0}^{2}}{c^{2}},
\]
en posant comme d'habitude
\[
c^{2} = a^{2} - b^{2}.
\]
L'équation de la sphère est de la forme
\[
A \cos\phi + B \sin\phi = C\Add{,}
\]
%% -----File: 170.png---Folio 162-------
la condition pour qu'il y ait une racine double, c'est-à-dire,
l'équation de l'enveloppe, est
\[
A^{2} + B^{2} = C^{2}\Add{.}
\]
Donc la cyclide a pour équation:
\[
4a^{2} (x - x_{0})^{2} + 4b^{2} y^{2}
  = \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} + b^{2} - \frac{a^{2} x_{0}^{2}}{c^{2}}\right)^{2}.
\]

\ParItem{\Secundo.} Supposons maintenant qu'une des coniques soit une
parabole. L'autre est aussi une parabole. Prenons les axes ordinaires,
nous avons pour équations
des \Card{2} coniques
\begin{align*}
\Tag{(P)}
z &= 0, \qquad y^{2} = 2px, \\
\Tag{(P')}
y &= 0, \qquad x^{2} + z^{2} = (x - p)^{2}.
\end{align*}

%\Illustration{170a}
\begin{wrapfigure}[11]{O}{2.125in}
\smash[t]{\raisebox{-1.75in}{\Input{170a}}}
\end{wrapfigure}
\noindent Le centre~$C$ de la sphère sur la parabole~$P$
a pour coordonnées
\[
x = 2p \lambda^{2}, \qquad
y = 2p \lambda, \qquad
z = 0.
\]
Le point fixe~$A$ sur la parabole~$P'$ a pour coordonnées
\[
x_{0}, \qquad
y_{0} = 0, \qquad
z_{0}^{2} = (x_{0} - p)^{2} - x_{0}^{2}.
\]
L'équation de la sphère est
\[
(x - 2p \lambda^{2})^{2} + (y - 2p \lambda)^{2} + z^{2}
  = (x_{0} - 2p \lambda^{2})^{2} + 4p^{2} \lambda^{2}
  + (x_{0} - p)^{2} - x_{0}^{2},
\]
ou
\[
x^{2} + y^{2} + z^{2}
  - (x_{0} - p)^{2} - 4p \lambda y - 4p (x - x_{0}) \lambda^{2} = 0,
\]
et l'équation de l'enveloppe, c'est-à-dire de la cyclide, est
\[
\bigl[x^{2} + y^{2} + z^{2} - (x_{0} - p)^{2}\bigr] (x - x_{0}) + py^{2} = 0.
\]
L'ordre de la surface, qui est on général~$4$, s'abaisse ici
à~$3$.

\MarginNote{Surface canal
isotrope.}
Parmi les surfaces réglées, nous avons considéré les surfaces
développables, où chaque génératrice rencontre la génératrice
infiniment voisine. Le cas correspondant pour les enveloppes
de sphères sera celui où chaque sphère est tangente
à la sphère infiniment voisine. Pour qu'il en soit ainsi, il
faut que le plan radical des \Card{2} sphères leur soit tangent.
%% -----File: 171.png---Folio 163-------
Prenons la sphère
\[
\Tag{(1)}
(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} - r^{2} = 0.
\]
Le plan radical de cette sphère et de la sphère infiniment
voisine est
\[
\Tag{(2)}
(x - a)\, da + (y - b)\, db + (z - c)\, dc + r\, dr = 0;
\]
pour qu'il soit tangent à la sphère~\Eq{(1)} il faut et il suffit
que sa distance au centre~$(a\Add{,} b\Add{,} c)$ soit égale à~$±r$, donc que
l'on ait
\[
\frac{r\, dr}{\sqrt{da^{2} + db^{2} + dc^{2}}} = ±r,
\]
ou
\[
\Tag{(3)}
da^{2} + db^{2} + dc^{2} = dr^{2}.
\]

\Illustration[1.75in]{171a}
\noindent Donc $r$~n'est autre que l'arc~$S$ de la
courbe~$(c)$ lieu des centres des sphères,
cet arc étant compté à partir
d'une origine arbitraire. Cherchons
le point de contact de la sphère
avec la sphère infiniment voisine.
Les coordonnées satisfont aux équations
\[
\frac{x - a}{da} = \frac{y - b}{db} = \frac{z - c}{dc}
  = \frac{-r\, dr}{\Err{dr}{dr^2}} = -\frac{r}{dr} = - \frac{s}{ds};
\]
d'où
\[
x = a - s \frac{da}{ds} = a - s \alpha, \quad
y = b - s \beta, \quad
z = c - s \gamma,
\]
$\alpha\Add{,} \beta\Add{,} \gamma$ étant les cosinus directeurs de la tangente. On obtient
ainsi le point~$I$, qui décrit une développante~$(r)$ de la courbe~$(c)$.
L'intersection d'une sphère avec la sphère infiniment
voisine n'est autre que l'intersection de cette sphère avec
un de ses plans tangents: c'est un couple de droites isotropes
se coupant au point~$I$. \emph{L'enveloppe se compose de deux surfaces
réglées à génératrices isotropes. Nous l'appellerons une
surface canal isotrope. Réciproquement une surface réglée à
%% -----File: 172.png---Folio 164-------
génératrices isotropes est une nappe d'une enveloppe de sphères.}
Considérons en effet une génératrice~$D$ et le cercle de
l'infini. Par la génératrice isotrope~$D$ passent une infinité
de sphères; ces sphères contiennent la droite~$D$ et le cercle
imaginaire à l'infini, ce qui donné \Card{7} conditions; elles dépendent
de \Card{2} paramètres arbitraires. Nous pouvons faire en sorte
que la sphère soit tangente à la surface considérée $(S)$ en \Card{2} points
à distance finie de la droite~$D$; la sphère est alors
déterminée; mais de plus elle est tangente à la surface~$(S)$ au
point à l'infini sur~$D$, donc elle se raccorde avec~$(S)$ tout le
long de la génératrice~$D$. La surface~$(S)$ fera partie de l'enveloppe
de ces sphères.

Sur une telle surface, les \Card{2} systèmes de lignes de courbure
sont confondus avec les génératrices isotropes, les \Card{2} nappes
de la développée sont confondues avec la courbe~$(C)$. La
courbe~$(r)$ joue ici un rôle analogue à l'arête de rebroussement
des surfaces développables. En effet, pour une développable,
il y a un élément de contact (point de l'arête de rebroussement
et plan osculateur en ce point) commun à une génératrice
et à la génératrice infiniment voisine. Ici, c'est
l'élément de contact constitué par le point~$I$ et le plan tangent
à la sphère en ce point, plan normal à~$I\omega$, qui est commun
à la sphère~$(\Sigma)$ et à la sphère infiniment voisine. Le point~$I$
est un ombilic de la surface~$(S)$. La ligne~$(r)$ en est une ligne
double, c'est un lieu d'ombilics. Nous l'appellerons la
\emph{ligne ombilicale} de la surface canal isotrope.

%[** TN: In the manuscript, S_{0} is a tiny 0 set directly below the S]
\Section{Lignes de courbure et lignes asymptotiques.}
{4.}{} Considérons une surface~$(S_{0})$ et une ligne asymptotique.
Les tangentes en chacun des points de cette ligne
%% -----File: 173.png---Folio 165-------
engendrent une développable, et l'élément de contact commun à
une génératrice et à la génératrice infiniment voisine, comprenant
un point de la ligne et le plan osculateur, qui est
tangent à~$(S_{0})$, est un élément de contact de~$(S_{0})$. Considérons
maintenant une ligne de courbure~$(\DPtypo{r}{\Gamma})$: la normale en chaque
point engendre une développable. Soit $(c)$
l'arête de rebroussement; $OI$~est égal à
l'arc de~$(c)$; si donc nous considérons les
sphères de centres~$\DPtypo{o}{O}$ et de rayons~$OI$, chacune
de ces sphères touche la sphère infiniment
voisine, et l'élément de contact
$(I,P)$ commun à ces \Card{2} sphères est un élément de contact de la
surface~$(S_{0})$.

%[** TN: Fixed diagram label (T) -> (\Gamma) as per errata list]
\Illustration[1.5in]{173a}
Appelons \emph{sphère de courbure} de~$(S_{0})$ toute sphère ayant
pour centre un centre de courbure principale et pour rayon le
rayon de courbure principal correspondant. Et nous pourrons
dire:

%[** TN: Not marked for italicization in the original]
\emph{Les sphères de courbure de~$(S_{0})$ qui correspondent à une
même ligne de courbure~$(\Gamma)$, enveloppent une surface canal isotrope,
ayant~$(\Gamma)$ pour ligne ombilicale.}

\emph{Réciproquement}, si une surface canal isotrope~$(S)$ est
circonscrite à la surface~$(S_{0})$ le long de sa ligne ombilicale,
celle-ci étant ligne de courbure pour~$(S)$ sera ligne de courbure
pour~$(S_{0})$, d'après le théorème de Joachimsthal.

Les choses s'énoncent d'une manière plus nette en substituant
à la notion de courbe la notion de \emph{bande}. Une bande
sera, par définition, formée de $\infty^{1}$~éléments de contact appartenant
à une même multiplicité: le lieu des points (de ces
%% -----File: 174.png---Folio 166-------
éléments de contact) sera une courbe, et les plans (de ces
éléments de contact) seront tangents à la courbe aux points
correspondants. Une bande appartenant à une surface sera formée
des points d'une courbe tracée sur la surface, associés
aux plans tangents à la surface en ces points. On appellera
\emph{bande de rebroussement} d'une surface développable le lieu des
éléments de contact communs à chaque génératrice et à la génératrice
infiniment voisine. Et on appellera \emph{bande ombilicale}
d'une surface canal isotrope le lieu des éléments de contact
communs à chacune des sphères inscrites à la surface et à la
sphère infiniment voisine.

Appelant de même \emph{bandes asymptotiques}, \emph{bandes de courbure}
les lieux des éléments de contact d'une surface appartenant
aux lignes asymptotiques ou aux lignes de courbure de cette
surface, on concluera:

\emph{Une bande asymptotique d'une surface est la bande de rebroussement
d'une développable; une bande de courbure d'une
surface est la bande ombilicale d'une surface canal isotrope.
Et réciproquement}: toute bande de rebroussement (d'une développable),
qui appartient à une surface~$(S_{0})$, est bande asymptotique
de~$(S_{0})$; toute bande ombilicale (d'une surface canal
isotrope), qui appartient à une surface~$(S_{0})$, est bande de
courbure pour~$(S_{0})$.

On voit ainsi, qu'au point de vue de la correspondance
entre droites et sphères, les lignes asymptotiques correspondent
aux lignes de courbure.
%% -----File: 175.png---Folio 167-------

\Section{Bandes asymptotiques et \DPtypo{Bandes}{bandes} de \DPtypo{Courbure}{courbure}.}
{}{Remarque \1.} Sur chaque élément de contact~$(M, P)$
d'une bande, il y a \emph{deux éléments
linéaires} à considérer. (Un élément
linéaire étant formé d'un point et
d'une droite passant par ce point).
\Figure{175a}
C'est \emph{l'élément linéaire tangent} formé
du point~$M$ de l'élément et de la
tangente~$(T)$ à la courbe qui sert de \emph{support} à la bande,
qu'on peut appeler simplement la \emph{courbe de la bande}; et \emph{l'élément
linéaire caractéristique} formé du point~$M$ et de la caractéristique~$(K)$
du plan~$(P)$, c'est-à-dire de la génératrice
rectiligne de la développable enveloppée par les plans~$(P)$,
ou \emph{développable de la bande}. Ces deux éléments linéaires sont
corrélatifs, au point de vue de la dualité; une bande est corrélative
d'une bande.

Dans une \emph{bande asymptotique}, $(T)$~et~$(K)$ sont confondues
dans une \emph{bande de courbure}, $(T)$~et~$(K)$ sont rectangulaires;
ces termes ont donc un sens par eux-mêmes, sans supposer une
surface~$(S_{0})$ à laquelle appartienne la bande considérée. Si la
bande de rebroussement est donnée, la développable correspondante
est la développable de la bande. Si la bande de courbure
est donnée, sa courbe~$(\gamma)$ est ligne de courbure de la développable
de la bande; et la surface canal isotrope dont la
bande ombilicale se confond avec cette bande de courbure est
l'enveloppe des sphères de courbure de la développable, construites
aux divers points~$M$. Les mots bande ombilicale, bande
de courbure sont donc équivalents; de même que ceux de bande
%% -----File: 176.png---Folio 168-------
asymptotique et bande de rebroussement.

Remarquons encore que, si l'on se donne une bande de
courbure, la sphère de courbure qui correspond à un élément
de contact~$(M,P)$ de la bande est définie par la condition
d'admettre~$(M,P)$ pour un de ses éléments de contact et d'avoir
son centre sur la droite polaire de la courbe~$(\gamma)$ lieu
des points~$M$ (Voir \No2~et~\No3). Cette seconde condition exprime
que la sphère a avec~$(\gamma)$ un contact du second ordre; de
même que dans une bande asymptotique chaque plan~$(P)$ est osculateur
à~$(\gamma)$. C'est donc une nouvelle analogie entre les bandes
de courbure et les bandes asymptotiques.

\Section{Lignes de courbure des enveloppes de sphères.}
{5.}{} Nous connaissons déjà une des familles de lignes
de courbure, celle constituée par les caractéristiques
des sphères. Déterminons la \Ord{2}{e} famille. Soit $(c)$ le lieu
des centres des sphères. Exprimons
ses coordonnées en fonction
de l'arc~$(S)$; l'une des sphères
de centre~$\omega$ rencontre la sphère
infiniment voisine suivant un
cercle~$(K)$ dont le plan est normal
à la tangente~$\omega T$. Introduisons
le trièdre de Serret au
point~$\omega$ de la courbe~$(c)$, et
définissons par rapport à ce trièdre les coordonnées d'un
point~$M$ de la surface, c'est-à-dire du cercle~$(K)$. Appelons $\theta$
l'angle de~$\omega M$ avec~$\omega T$, cet angle est le même pour tous les
points du cercle~$(K)$. Projetons $M$~en~$P$ sur le plan normal, et
soit $\phi$~l'angle de~$\omega P$ avec~$\omega N$. Les coordonnées de~$M$ par
%% -----File: 177.png---Folio 169-------
rapport au trièdre de Serret sont, en appelant~$r$ le rayon de
la sphère,
\[
\Tag{(1)}
\xi   = r \cos\theta, \qquad
\eta  = r \sin\theta \cos\phi, \qquad
\zeta = r \sin\theta \sin\phi.
\]
Par rapport à un système d'axes quelconques, ces coordonnées
sont, en appelant $x\Add{,}y\Add{,}z$ les coordonnées de~$\omega$
\[
\Tag{(2)}
X = x + a \xi + a' \eta + a'' \zeta, \quad
Y = y + b \xi + b' \eta + b'' \zeta, \quad
Z = z + c \xi + c' \eta + c'' \zeta;
\]

\Illustration[2.5in]{176a}
\noindent $r, \theta$ sont fonctions de~$S$; les paramètres variables sont $s$~et~$\phi$.
\DPchg{Ecrivons}{Écrivons} que $(K)$~est le cercle caractéristique, nous avons
\[
\left\{
\begin{gathered}
\sum (X - x)^{2}- r^{2}= 0, \\
\sum a(X - x) + r \frac{dr}{ds} = 0.
\end{gathered}\right.
\]
En supposant que le trièdre de coordonnées coïncide avec le
trièdre de Serret, cette équation devient:
\[
\xi + r \frac{dr}{ds} = 0,
\]
c'est-à-dire:
\[
r \cos\theta + r \frac{dr}{ds} = 0,
\]
ou
\[
\Tag{(3)}
\Cos\theta = -\frac{dr}{ds}.
\]
$\theta$~est ainsi défini en fonction de~$S$.

Une surface enveloppe de sphères est engendrée par des
cercles; c'est une surface cerclée. Inversement, on peut chercher
si une surface cerclée est une enveloppe de sphères. Le
calcul précédent montre que, pour qu'il en soit ainsi, il
faut que les axes des cercles engendrent une surface développable,
et on outre, que l'on ait la condition~\Eq{(3)}.

Cherchons les lignes de courbure. Ce sont les trajectoires
orthogonales des cercles~$(K)$ définis par $S = \cte[]$. La tangente
à une ligne quelconque passant par $M$ a pour coefficients
directeurs
\begin{alignat*}{7}%[** TN: Filled in last two equations]
dX &= a\, ds &&+ \xi \frac{a'}{R}\, ds
  &&+ \Err{\zeta}{\eta}
          \left(-\frac{a}{R} - \frac{a''}{T} - \dots\right)ds
  &&+ \zeta \frac{a'}{T}\, ds &&+ a\, d\xi &&+ a'\, d\eta  &&+ a''\, d\zeta, \\
dY &= b\, ds &&+ \xi \frac{b'}{R}\, ds
  &&+ \eta  \left(-\frac{b}{R} - \frac{b''}{T} - \dots\right)ds
  &&+ \zeta \frac{b'}{T}\, ds &&+ b\, d\xi &&+ b'\, d\eta  &&+ b''\, d\zeta, \\
dZ &= c\, ds &&+ \xi \frac{c'}{R}\, ds
  &&+ \eta  \left(-\frac{c}{R} - \frac{c''}{T} - \dots\right)ds
  &&+ \zeta \frac{c'}{T}\, ds &&+ c\, d\xi &&+ c'\, d\eta  &&+ c''\, d\zeta.
\end{alignat*}
%% -----File: 178.png---Folio 170-------
En prenant de nouveau le trièdre de Serret pour trièdre de
coordonnées, ces coefficients directeurs deviennent:
\[
\left(1 - \frac{\eta}{R}\right) ds + d\xi, \qquad
\left(\frac{\xi}{R} + \frac{\zeta}{T}\right) ds + d\eta, \qquad
- \frac{\eta}{T} ds + d\zeta.
\]
Pour la tangente au cercle~$(K)$, on a $ds = 0$, et les coefficients
directeurs sont:
\[
\dd \xi= 0, \qquad
\dd \eta = -r \sin\theta \sin\phi\, d\phi, \qquad
\dd \zeta = r \sin\theta \cos\phi\, d\phi.
\]
La condition qui définit les trajectoires orthogonales des
cercles~$(K)$ est donc
\[
-\left[\left(\frac{\xi}{R} + \frac{\zeta}{T}\right) ds + d \eta \right] \sin\phi
  + \left[-\frac{\eta}{T}\, ds + d\zeta\right] \cos\phi = 0.
\]
Telle est l'équation différentielle des lignes de courbure.
On peut l'écrire
\begin{align*}%[** TN: Re-breaking]
-\frac{r \cos\theta}{T}\, ds\Add{·} \sin\phi
  &- \frac{ds}{T} \left(\zeta \sin\phi + \eta \cos\phi\right)
     - d\eta \sin\phi + d\zeta \cos\phi = 0\Add{,}
\\
- \frac{r \cos\theta}{R}\, ds\Add{·} \sin\phi
  &\begin{aligned}[t]- \frac{r \sin\theta}{T}\, ds
    &- \sin\phi \bigl[d(r\sin\theta) · \cos\phi - r\sin\theta\Add{·} \sin\phi · d\phi\bigr] \\
    &+ \cos\phi \bigl[d(r\sin\theta) \Add{·}\sin\phi + r\sin\theta · \cos\phi · d\phi\bigr] = 0,
\end{aligned} \\
-\frac{r \cos\theta}{R}\, ds · \sin\phi
&-\frac{r \sin\theta}{T}\, ds + r \sin\theta · d\phi = 0,
\end{align*}
ou
\[
\frac{d\phi}{ds} = \frac{1}{T} + \frac{\cotg\theta · \sin\phi}{R};
\]
équation de la forme
\[
\frac{d\phi}{ds} = A \sin\phi + \beta.
\]
\DPtypo{si}{Si} on prend comme fonction inconnue $\tg \frac{\phi}{2}$, on est ramené à
une équation de Riccati. Mais l'angle~$\phi$ est l'angle du rayon~$IM$
avec un rayon fixe. Donc \emph{\Card{4} lignes de courbure du \Ord{2}{e} système
coupent les cercles caractéristiques en \Card{4} points dont le rapport
anharmonique est constant}. Nouvelle analogie avec les lignes
asymptotiques d'une surface réglée.

On a les simplifications connues si on a \textit{à~priori} une
solution de l'équation. Ainsi si on considère l'enveloppe de
%% -----File: 179.png---Folio 171-------
sphères~$(\Sigma)$ ayant leurs centres dans un plan, tous les cercles
caractéristiques sont orthogonaux à la section de la surface
par ce plan, qui est alors une ligne de courbure. La détermination
des lignes de courbure se ramène dans ce cas à \Card{2} quadratures.

\Paragraph{Remarque.} Plus généralement, la détermination des trajectoires
orthogonales d'une famille de $\infty^{1}$~cercles dépend de
l'intégration d'une équation de Riccati. D'où des conclusions
analogues aux précédentes.

\Section{Cas où une des nappes de la développée est une développable.}
{6.}{} Nous venons de considérer le cas où une des nappes
de la développée d'une surface est une courbe. Corrélativement,
considérons maintenant le cas où une des
nappes de la développée est une surface développable.
Alors les plans tangents à cette développable constituent une
des familles de développables de la congruence; un tel plan~$P$
coupe la surface suivant une courbe normale à toutes les droites
de la congruence situées dans ce plan et qui sera une
ligne de courbure. En tout point de cette ligne, la normale à
la surface est dans le plan~$P$. Donc le plan~$P$ coupe orthogonalement
la surface~$(S)$ tout le long de la ligne de courbure.

\Illustration[1.875in]{180a}
Réciproquement, si une surface coupe orthogonalement une
famille de plans, ses sections par ces plans sont des lignes
de courbure, d'après le Théorème de Joachimsthal, et ces
plans, constituant une des familles de développables de la
congruence des normales, enveloppent une développable, qui
est une des nappes de la développée de la surface.

Considérons la \Ord{2}{e} ligne de courbure passant par un point~$M$;
%% -----File: 180.png---Folio 172-------
sa tangente~$MU$ est perpendiculaire à
la tangente~$MT$ à la \Ord{1}{ère}~ligne de courbure
et à la normale~$MN$ à la surface; ces \Card{2} droites
étant dans le plan~$P$, $MU$~est perpendiculaire
au plan~$P$. \emph{Les lignes de
courbure de la \Ord{2}{e} famille sont trajectoires
orthogonales des plans~$P$.}

Considérons une de ces trajectoires orthogonales~$(K)$; les
plans~$P$ sont normaux à la courbe~$(K)$: l'une des nappes de la
développée, celle qui est une développable, est ainsi l'enveloppe
des plans normaux, ou la surface polaire de la courbe~$(K)$.
\emph{Toutes les lignes de courbure~$(K)$ non planes ont donc
même surface polaire, qui est l'enveloppe des plans des lignes
de courbure planes. L'arête de rebroussement de cette surface
est le lieu des centres des sphères osculatrices à la courbe~$(K)$.}
La ligne~$(K)$ étant une ligne de courbure, les normales à
la surface en tous les points de~$(K)$ forment une développable,
et par suite enveloppent une développée de la courbe~$(K)$, qui
est une géodésique de sa surface polaire. Si donc on part des
plans~$P$, pour avoir les courbes~$(K)$ on est ramené à la recherche
des géodésiques d'une surface développable, ce qui se réduit
à des quadratures; et comme la surface cherchée peut
être considérée comme engendrée par les courbes~$(K)$ on voit
qu'on obtiendra cette surface par des quadratures.

Partons des plans~$P$, et cherchons leurs trajectoires orthogonales.
Considérons l'arête de rebroussement~$(A)$ de l'enveloppe
des plans~$P$, et introduisons le trièdre de Serret en
%% -----File: 181.png---Folio 173-------
chaque point~$\omega$ de cette courbe, soit~$\DPchg{(\omega\xi\eta\zeta)}{\Tri{\omega}{\xi}{\eta}{\zeta}}$. Le plan~$P$ est
le plan osculateur~$\xi\omega\eta$, et nous voulons chercher dans ce
plan un point~$M(\xi, \eta)$ dont le lieu soit normal à~$P$. Les coordonnées
de~$M$ sont
\[
X = x + a \xi + a' \eta, \qquad
Y = y + b \xi + b' \eta, \qquad
Z = z + c \xi + c' \eta,
\]
la direction de la tangente au lieu du point~$M$ est définie par
\begin{alignat*}{5}%[** TN: Filled in last two equations]
dX &= a · ds &&+ \xi \frac{\DPtypo{\alpha'}{a'}}{R}\, ds
  &&- \eta \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right) ds
  &&+ a\, d\xi &&+ a'\, d\eta, \\
dY &= b · ds &&+ \xi \frac{b'}{R}\, ds
  &&- \eta \left(\frac{b}{R} + \frac{b''}{T}\right) ds
  &&+ b\, d\xi &&+ b'\, d\eta, \\
dZ &= c · ds &&+ \xi \frac{c'}{R}\, ds
  &&- \eta \left(\frac{c}{R} + \frac{c''}{T}\right) ds
  &&+ c\, d\xi &&+ c'\, d\eta,
\end{alignat*}
expressions de la forme
\[
dX = Aa + Ba' + Ca'', \quad
dY = Ab + Bb' + Cb'', \quad
dZ = Ac + Bc' + Cc''.
\]

\DPchg{Ecrivons}{Écrivons} que cette direction est normale au plan~$\xi\omega\eta$,
c'est-à-dire parallèle à la binormale $(a'', b'', c'')$. Nous avons
$A = B = 0$, ou
\[
ds - \frac{\eta}{R} · ds + d\xi = 0, \qquad
\frac{\xi}{R}\, ds + d\eta = 0;
\]
ou
\[
\frac{d\xi}{ds} = \frac{\eta}{R} - 1, \qquad
\frac{d\eta}{ds} = - \frac{\xi}{R};
\]
$\xi, \eta$ sont donnés par \Card{2} équations différentielles du \Ord{1}{er} ordre.
Il en résulte que par chaque point du plan~$P$ passe une trajectoire
orthogonale et une seule. Il existe ainsi une correspondance
point par point entre les divers plans~$P$, les points
correspondants étant sur une même trajectoire orthogonale.

\Illustration{181a}
Considérons dans un plan~$P$ \Card{2} points
$M, N$; et soit $D$ la droite~$MN$; lorsque
le plan~$P$ varie, la droite~$D$ engendre
une surface réglée sur laquelle les
lieux des points $M$~et~$N$ sont trajectoires
orthogonales des génératrices;
or\Add{,} les trajectoires orthogonales interceptent
sur les génératrices des
%% -----File: 182.png---Folio 174-------
segments égaux; il en résulte que si l'on considère \Card{2} positions
$P, P'$, et les positions $MN, M'N'$ correspondantes, on a $MN =
M'N'$. La correspondance entre les plans~$P$ transforme une courbe
du plan~$P$ en une courbe égale. En particulier, les plans~$P$
contenant les lignes de courbure planes, \emph{toutes ces lignes de
courbure planes sont égales. La surface~$(S)$ est donc engendrée
par le mouvement d'une courbe plane de forme invariable}. Pour
la définir, il suffit de \DPchg{connaitre}{connaître} le mouvement de son plan~$P$.

Pour cela, reprenons les équations
\[
\Tag{(1)}
\frac{d\xi}{ds} - \frac{\eta}{R} + 1 = 0, \qquad
\frac{d\eta}{ds} + \frac{\xi}{R} = 0,
\]
et intégrons-les. Considérons d'abord les équations sans \Ord{2}{e} membre
\[
R \frac{d\xi}{ds} - \eta = 0, \qquad
R \frac{d\eta}{ds} + \xi = 0.
\]
Posons
\[
\frac{R}{ds} = \frac{1}{d\phi},
\]
d'où
\[
\Tag{(2)}
d\phi = \frac{ds}{R};
\]
les équations deviennent
\[
\frac{d\xi}{d\phi} - \eta = 0, \qquad
\frac{d\eta}{d\phi} + \xi = 0,
\]
équations linéaires sans \Ord{2}{e} membre à coefficients constants,
dont la solution générale est
\[
\Tag{(3)}
\xi = A \cos\phi + B \sin\phi, \qquad
\eta = -A \sin\phi + B \cos\phi.
\]
Passons alors au système avec \Ord{2}{e} membre
\[
\Tag{(4)}
\frac{d\xi}{d\phi} = \eta - R, \qquad
\frac{d\eta}{d\phi} = - \xi.
\]
Considérons dans~\Eq{(3)} $AB$~comme des fonctions de~$\phi$, et cherchons
à satisfaire au système~\Eq{(4)}. Nous avons
\begin{alignat*}{4}
\frac{d\xi}{d\phi}
  &= \phantom{-}\eta &&+ \frac{dA}{d\phi} \cos\phi &&+ \frac{dB}{d\phi} \sin\phi
  &&= \phantom{-}\eta - R, \\
\frac{d\eta}{d\phi}
  &= -\xi &&- \frac{dA}{d\phi} \sin\phi &&+ \frac{dB}{d\phi} \cos\phi
  &&= -\xi;
\end{alignat*}
%% -----File: 183.png---Folio 175-------
d'où
\[
 \frac{dA}{d\phi} \cos\phi + \frac{dB}{d\phi} \sin\phi = -R, \quad
-\frac{dA}{d\phi} \sin\phi + \frac{dB}{d\phi} \cos\phi = 0;
\]
d'où
\[
\frac{dA}{d\phi} = - R \cos\phi, \qquad
\frac{dB}{d\phi} = - R \sin\phi;
\]
ou, en réintroduisant $s$ d'après la formule~\Eq{(2)},
\[
\frac{dA}{ds} = -\cos\phi, \qquad
\frac{dB}{ds} = -\sin\phi;
\]
et
\[
A = -\int \cos\phi · ds, \qquad
B = -\int \sin\phi · ds.
\]
Posons
\[
x_{0} = \int \cos\phi · ds, \qquad
y_{0} = \int \sin\phi · ds;
\]
alors
\[
A = -x_{0}, \qquad
B = -y_{0}.
\]
Nous avons donc une solution particulière
\[
\xi = -x_{0} \cos\phi - y_{0} \sin\phi, \qquad
\eta = x_{0} \sin\phi - y_{0} \cos\phi;
\]
et la solution générale est, $x_{1}\Add{,} y_{1}$ désignant \Card{2} constantes arbitraires,
\[
\Tag{(5)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}%[** TN: Set on one line in original; added brace]
\xi  &= \phantom{-} (x_{1} - x_{0}) \cos\phi &&+ (y_{1} - y_{0}) \sin\phi, \\
\eta &= -(x_{1} - x_{0}) \sin\phi &&+ (y_{1} - y_{0}) \cos\phi.
\end{alignedat}
\right.
\]
Nous avons \Card{3} quadratures à effectuer. Interprétons géométriquement
ces résultats:

Les formules précédentes, résolues en $\Err{x, y}{x_{1}, y_{1}}$, donnent
\[
\Tag{(6)}
x_{1} = x_{0} + \xi \cos\phi - \eta \sin\phi, \quad
y_{1} = y_{0} + \xi \sin\phi + \eta \cos\phi.
\]

\Illustration[2.25in]{183a}
Prenons dans le plan~$P$ deux axes
fixes $0_{1}x_{1}\Add{,} \DPtypo{}{0_{1}}y_{1}$, et construisons par
rapport à ces axes la courbe~$(R)$ lieu
du point $(x_{0}\Add{,} y_{0})$. La courbe~$(R)$ est
la courbe du plan~$P$ qui a même rayon
de courbure que l'arête de rebroussement~$(A)$.
Pour chaque valeur de~$s$,
le point $(x_{0}\Add{,} y_{0})$ occupa une position~$\omega$
%% -----File: 184.png---Folio 176-------
sur la courbe~$(R)$, et $\phi$~est l'angle de la tangente à~$R$ en~$\omega$
avec~$\Err{0,x}{0x_{1}}$. Considérons un système d'axes $\omega \xi \eta$, où l'axe $\omega \xi$
est la tangente à~$(R)$ correspondant au sens dans lequel se
déplace~$\omega$; $\phi$~est l'angle de~$\omega \xi$ avec~$\DPtypo{o}{O}_{1}x_{1}$; $\xi, \eta$ fonctions de~$s$,
sont les coordonnées d'un point~$M$ fixe par rapport au système~$x_{1} \DPtypo{o}{O}_{1} y_{1}$,
prises par rapport aux axes~$\xi \omega \eta$, et~$x_{1}\Add{,} y_{1}$ sont
les coordonnées de ce même point par rapport aux axes~$x_{1} \DPtypo{o}{O}_{1} y_{1}$.
Pour avoir la trajectoire orthogonale, il suffit de porter le
plan~$P$ dans l'espace, sur le plan osculateur à la courbe~$(A)$,
$\omega \xi$~et~$\omega \eta$ coïncidant respectivement avec $\omega \xi$~et~$\omega \eta$; dans ce
mouvement, les courbes $(R)$~et~$(A)$ coïncideront successivement
en tous leurs points; les rayons de courbure étant les mêmes
en grandeur et en signe, les centres de courbure seront confondus.
Si $S$~varie, la courbe~$(R)$ va rouler sur la courbe~$(A)$,
et un point quelconque~$M$ invariablement lié à la courbe~$(R)$
décrira la trajectoire orthogonale. \emph{Le mouvement du plan~$P$
s'obtiendra donc en faisant rouler la courbe plane $(R)$ sur la
courbe~$(A)$ de façon que le plan~$P$ \DPtypo{coincide}{coïncide} à chaque instant
avec le plan osculateur à la courbe~$(A)$.} On peut dire que \emph{le
plan~$P$ roule sur la développable qu'il enveloppe}, comme nous
allons l'expliquer.

Considérons l'arête de rebroussement~$(A)$ et une tangente~$\omega \xi$;
pour développer cette courbe
sur un plan, il faut construire la
courbe plane dont le rayon de courbure
en chaque point ait même expression
en fonction de l'arc que celui
de la courbe~$(A)$, c'est précisément
\Figure[1.5in]{184a}%****
%% -----File: 185.png---Folio 177-------
la courbe~$(R)$. La position d'un point~$P$ sur la développable
est définie par l'arc~$S$, qui fixe le point~$\omega$ sur~$(A)$ et par
le segment $\omega P = u$. Le point~$P'$ qui correspond à~$P$ dans le développement
est déterminé par les mêmes valeurs de~$s, u$. Les
génératrices de la développable viennent se développer suivant
les tangentes à la courbe~$(R)$. Considérons une courbe~$(\Gamma)$ sur
la développable, et la courbe correspondante~$(\Gamma_{1})$ dans le plan:
les arcs homologues sur ces \Card{2} courbes sont égaux, de sorte
que toute courbe tracée sur le plan roule sur la courbe correspondante
de la développable. \emph{On peut imaginer que l'on ait
enroulé sur la développable une feuille plane déformable; le
mouvement du plan~$P$ consistera alors à dérouler cette feuille
de façon qu'elle reste constamment tendue.} Un point quelconque
de la feuille décrira une trajectoire orthogonale des plans
tangents à la développable. Nous obtenons ainsi en quelque
sorte la \emph{surface développante d'une développable} par la généralisation
du procédé qui donne les développantes d'une courbe
plane.

Nous pouvons enfin examiner le mouvement du plan~$P$ au
point de vue cinématique. Nous avons
\[
\frac{dX}{ds} = -\frac{a''}{T} \eta, \qquad
\frac{dY}{ds} = -\frac{b''}{T} \eta, \qquad
\frac{dZ}{ds} = -\frac{c''}{T} \zeta;
\]
et par suite les projections de la vitesse sur les axes~$\xi \eta \zeta$
invariablement liés au plan~$P$ sont
\[
V_{\xi} = \sum a · \frac{dX}{ds} = 0, \quad
V_{\eta} = \sum a' \frac{dY}{ds} = 0, \quad
V_{\zeta} = \sum a'' \frac{dZ}{ds} = - \frac{1}{T} \eta.
\]
\DPtypo{le}{Le} mouvement instantané du plan~$P$ est une rotation autour de~$\omega \xi$
tangente à~$(A)$, la rotation instantanée étant~$-\dfrac{1}{T}$. \emph{Le
plan \DPtypo{osoulateur}{osculateur}~$P$ roule sur la courbe~$(A)$ en tournant autour
de la tangente avec une vitesse de rotation égale à~$-\dfrac{1}{T}$.}
%% -----File: 186.png---Folio 178-------

La surface~$(S)$ engendrée par le mouvement précédent est
une \emph{surface moulure}, ou \emph{surface de Monge}. Considérons dans le
plan~$P$ une courbe~$(c)$ invariablement liée au système d'axes~$\omega \xi \eta$
et sa développée~$(K)$. La \Ord{2}{e} nappe de la surface focale
sera engendrée par cette développée~$(K)$ dans le mouvement du
plan~$P$. C'est une surface moulure. Ainsi \emph{une des nappes de la
développée d'une surface moulure est une développable, l'autre
est une surface moulure}.

\MarginNote{Cas
particuliers.}
Examinons le cas particulier où la développable enveloppe
du plan~$P$ est un cylindre ou un cône.

\ParItem{\Primo.} Si \emph{le plan~$P$ enveloppe un cylindre}, les tangentes
aux trajectoires orthogonales sont parallèles aux plans de
section droite, les trajectoires sont les développantes des
sections droites; ce sont des lignes planes; \emph{les \Card{2} systèmes
de lignes de courbure de la surface sont des courbes planes.
Le plan~$P$ roule sur le cylindre de façon que son intersection
avec le plan d'une section droite roule sur cette section
droite. On peut encore engendrer la surface en considérant
dans un plan une famille de courbes parallèles (qui sont ici
les développantes de la section droite du cylindre), et en
déplaçant chacune de ces courbes d'un mouvement de translation
perpendiculaire au plan}.

\ParItem{\Secundo.} Si \emph{le plan~$P$ enveloppe un cône} de sommet~$A$, considérons
une trajectoire orthogonale rencontrant le plan~$P$ en~$M$,
la tangente en~$M$ est perpendiculaire à~$A M$, donc la trajectoire
orthogonale est une courbe tracée sur une sphère de centre~$A$\Add{.}
Coupons alors le cône par une sphère de centre~$A$ et de
%% -----File: 187.png---Folio 179-------
rayon~$R$, soit~$(c)$ l'intersection, et considérons dans le plan~$P$
le cercle~$(S)$ de centre~$A$ et de rayon~$R$. \emph{Le plan~$F$ roule
sur le cône de façon que le cercle~$(S)$ roule sur la courbe~$(c)$\Add{.}}

\MarginNote{Autres hypothèses.}
Cherchons maintenant si les deux nappes de la développée
d'une surface peuvent être des développables. La surface
est alors surface moulure de \Card{2} manières; les \Card{2} systèmes
de lignes de courbure sont des courbes planes. Les trajectoires
orthogonales des plans~$P$, qui enveloppent l'une des nappes
de la développée, constituant un des systèmes de lignes
de courbure, doivent être planes. Soit $P'$~le plan de l'une
d'elles. Les plans~$P$ sont tous normaux à une courbe située
dans~$P'$; ils sont donc tous perpendiculaires à $P'$. Si donc
les plans~$P$ ne sont pas parallèles, les plans~$P'$ le sont tous;
les plans~$P$ enveloppent un cylindre, et les plans~$P'$ sont perpendiculaires
aux génératrices de ce cylindre, ainsi que les
normales à la surface; le \DPtypo{profit}{profil} situé dans un plan~$P$ et qui
engendre la surface moulure est une parallèle aux génératrices
du cylindre. Les surfaces obtenues sont donc des cylindres;
la seconde nappe de la développée est une droite rejetée à
l'infini.

Si les plans~$P$ sont parallèles, on arrive à la même conclusion,
car les plans~$P'$ enveloppent un cylindre.

Le cas supposé est donc impossible.

Supposons qu'une des nappes de la développée soit une
développable, l'autre étant une courbe. La surface est une
surface moulure qui s'obtient par le mouvement d'un profil
situé dans le plan~$P$ qui enveloppe la développable. La \Ord{2}{e} nappe
de la développée est engendrée dans ce mouvement par
%% -----File: 188.png---Folio 180-------
la développée du profil; pour que ce soit une courbe, il faut
que la développée du profil soit un point, donc que ce profil
soit un cercle; imaginons alors la sphère qui a ce profil
pour grand cercle; elle est inscrite dans la surface; \emph{la surface
est une enveloppe de sphères de rayon constant}. C'est une
surface canal.

\emph{Réciproquement toute enveloppe d'une famille de sphères
égales satisfait à la condition précédente.} Soit la sphère
\[
\sum (x - a)^{2} - r^{2} = 0,
\]
la caractéristique a pour \Ord{2}{e} équation
\[
\sum (x - a)\, da = 0\DPtypo{;}{.}
\]
C'est un grand cercle de la sphère; les normales à la surface
enveloppe sont dans le plan de ce cercle. L'une des nappes de
la développée sera l'enveloppe des plans de ce cercle. Si
nous considérons le lieu du centre de la sphère, le plan du
grand cercle lui est constamment normal; \emph{la surface est engendrée
par un cercle de rayon constant dont le centre décrit une
courbe, et dont le plan reste constamment normal à cette
courbe}.

Enfin comme cas singulier, nous avons encore celui où
l'une des nappes de la développée est une droite. La surface
est alors de révolution autour de cette droite.


\ExSection{VII}

\begin{Exercises}
\item[32.] \DPchg{Etudier}{Étudier} la congruence formée des droites tangentes à une
sphère et normales à une même surface; étudier les surfaces
normales à ces droites, et leurs lignes de courbure.

\item[33.] \DPchg{Etudier}{Étudier} la congruence formée des droites normales à une surface
dont une famille de lignes de courbure est située sur
des sphères concentriques.

\item[34.] Montrer que les surfaces moulures, dans le cas où l'une des
nappes de la développée est un cylindre ou un cône, peuvent
être \DPtypo{definies}{définies} par le mouvement d'un profil plan, de forme
invariable, dont le plan reste constamment normal à un \DPtypo{cylindr}{cylindre}
ou à un cône. \DPtypo{Prèciser}{Préciser} le mouvement de ce profil. Chercher si
l'on peut dire quelque chose d'analogue pour les surfaces
moulures générales.

\item[35.] Montrer que les droites tangentes à deux quadriques homofocales
constituent une congruence de normales. Si on fait réfléchir
toutes ces droites, considérées comme des rayons lumineux,
sur une autre quadrique homofocale aux deux premières,
quelles seront les multiplicités focales de cette seconde
congruence?

\item[36.] \DPchg{Etant}{Étant} données deux surfaces homofocales du second \DPtypo{degre}{degré} et un
plan~$P$, si on mène par les droites du plan~$P$ des plans tangents
aux deux surfaces, les droites qui joignent les points
de contact correspondants sont normales à une famille de surfaces
parallèles. Soit~$(\delta)$ la droite qui contient les pôles
du plan~$P$ par rapport aux deux quadriques homofocales, et
$(d')$~la droite du plan~$P$ qui correspond à une droite~$(d)$ de
la congruence de normales considérée. Le plan mené par~$(\delta)$
perpendiculairement à~$(d')$ coupe~$(d)$ en un point~$m$. Le lieu
du point~$m$ est l'une des surfaces cherchées: c'est une cyclide.
Les développables de la congruence découpent sur les
surfaces homofocales des réseaux conjugués.

\item[37.] On considère la congruence des droites de l'espace sur lesquelles
trois plans formant un trièdre trirectangle déterminent
des segments invariables. Démontrer que c'est une congruence
de normales et déterminer les surfaces normales aux
droites de la congruence. Déterminer les points focaux sur
une quelconque de ces droites. Déterminer les cônes directeurs
des développables de la congruence.

\item[38.] \DPtypo{Demontrer}{Démontrer} qu'il existe des congruences (isogonales) telles
que les plans focaux forment un dièdre constant. Quelle est
la propriété des arêtes de rebroussement des développables de
la congruence par rapport aux nappes de la surface focale qui
les contiennent? Chercher l'équation différentielle de ces
courbes sur la surface focale supposée donnée. Que peut-on
dire du cas où l'une des nappes de la multiplicité focale est
une développable, une courbe, une sphère?

\item[39.] Si on considère une famille de sphères dont le lieu des
centres~$\omega$ est une courbe plane~$C$, et dont les rayons sont
proportionnels aux distances des centres~$\omega$ à une droite fixe~$\Delta$
du plan de la courbe~$C$, démontrer que l'enveloppe de ces
sphères a toutes ses lignes de courbure planes. Que peut-on
dire des plans de ces lignes de courbure? Réciproquement,
comment peut-on obtenir toutes les surfaces canaux dont toutes
les lignes de courbure sont planes?
\end{Exercises}
%% -----File: 189.png---Folio 181-------


\Chapitre{VIII}{Les Congruences de Droites et les Correspondances Entre
Deux Surfaces.}

\Section{Nouvelle représentation des congruences.}
{1\Add{.}}{} Dans ce qui précède, nous avons défini une congruence
par son support, et en donnant la direction de la
droite ou des droites~$(D)$ qui passent par chaque point
du support. On peut plus généralement, et ce sera préférable
au point de vue projectif, considérer \Card{2} surfaces supports se
correspondant point par point, les droites de la congruence
étant celles qui joignent les points homologues des deux surfaces.
En réalité, les \Card{2} surfaces se correspondront élément
de contact à élément de contact, et en même temps que la congruence
des droites joignant les points homologues, on pourra
considérer celle des intersections des plans tangents homologues.

Il est naturel alors d'employer des coordonnées homogènes\Add{.}
Soient $M(x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t)$ et $\DPtypo{M}{M_{1}}(x_{1}\Add{,} y_{1}\Add{,} z_{1}\Add{,} t_{1})$ les points homologues sur les
\Card{2} surfaces; on pourra définir la congruence par les équations
\[
X = x + \rho x_{1}, \qquad
Y = y + \rho y_{1}, \qquad
Z = z + \rho z_{1}, \qquad
T = t + \rho t_{1}.
\]
Soient de même $u, v, w, r$ les coordonnées tangentielles d'un plan
tangent à la \Ord{1}{ère} surface, $u_{1}, v_{1}, w_{1}, r_{1}$ celles du plan tangent
homologue à la \Ord{2}{e} surface. La congruence pourra être définie
au point de vue tangentiel par les équations
\[
U = u + \rho u_{1}, \qquad
V = v + \rho v_{1}, \qquad
W = w + \rho w_{1}, \qquad
R = r + \rho r_{1}.
\]

Soient $(S), (S_{1})$ les \Card{2} surfaces supports; les systèmes conjugués
%% -----File: 190.png---Folio 182-------
sur ces surfaces étant invariants, d'après leur définition
même, par toute transformation projective, nous sommes
conduits à étudier leurs relations. Soient
\begin{align*}
\Tag{(S)}
x &= f(\lambda,\mu), &
y &= g(\lambda,\mu), &
z &= h(\lambda,\mu), &
t &= \DPtypo{h}{k}(\lambda,\mu); \\
\Tag{(S_{1})}
x_{1} &= f_{1}(\lambda,\mu), &
y_{1} &= g_{1}(\lambda,\mu), &
z_{1} &= h_{1}(\lambda,\mu), &
t_{1} &= \DPtypo{k}{h}_{1}(\lambda,\mu);
\end{align*}
les équations des deux surfaces.

Le choix des paramètres $\lambda\Add{,} \mu$ est fixé par le Théorème suivant:
\emph{Quand \Card{2} surfaces $(S)\Add{,} (S_{1})$ se correspondent point par point, il
existe sur~$(S)$ un réseau conjugué qui correspond à un réseau
conjugué de~$S_{1}$, et en général il n'en existe qu'un.} Soient $d\lambda,
d\mu$ et~$\delta\lambda, \delta\mu$ les paramètres définissant \Card{2} directions conjuguées
sur~$(S)$, elles sont conjuguées harmoniques par rapport aux
directions
\[
E'\, d\lambda^{2} + 2F'\, d\lambda · d\mu + G'\, d\mu^{2} = 0.
\]
De même sur~$(S_{1})$, \Card{2} directions conjuguées sont conjuguées harmoniques
par rapport aux directions
\[
E'_{1}\, d\lambda^{2} + 2F'_{1}\, d\lambda · d\mu + G'_{1}\, d\mu^{2} = 0.
\]
Chercher un système conjugué commun revient donc à chercher un
couple de points conjugués par rapport à \Card{2} couples donnés par
\Card{2} équations quadratiques; si les \Card{2} formes quadratiques n'ont
pas de facteur commun, il y a un couple et un seul répondant
à la question. Or\Add{,} les \Card{2} équations précédentes définissent les
lignes asymptotiques des \Card{2} surfaces; si donc \Card{2} surfaces se
correspondent point par point d'une façon telle qu'il n'y ait
pas sur~$(S)$ une famille d'asymptotiques correspondant à une
famille d'asymptotiques de~$(S_{1})$, il existe un système conjugué
%% -----File: 191.png---Folio 183-------
de~$(S)$ et un seul qui correspond à un système conjugué de~$(S_{1})$\Add{.}
Il est défini par l'équation:
\[
\begin{vmatrix}
E'\, d\lambda + F'\, d\mu    & F'\, d\lambda + G'\, d\mu \\
E_1'\,d\lambda + F_1'\, d\mu & F_1'\, d\lambda + G_1'\, d\mu
\end{vmatrix} = 0\Add{.}
\]
Il y aura impossibilité si les formes ont un facteur commun,
et indétermination si les \Card{2} facteurs sont communs, c'est-à-dire,
si les lignes asymptotiques se correspondent sur les
deux surfaces. \DPchg{Ecartant}{Écartant} ces cas d'exception, nous supposerons
que les paramètres $\lambda\Add{,} \mu$ correspondent à ce système conjugué
commun.

\Section{Emploi des coordonnées homogènes.}
{2.}{} Nous allons reprendre les formules usuelles et
voir ce qu'elles deviennent en coordonnées homogènes.

%[** TN: Removed several ". ---" start-of-paragraph markers]
Une \emph{courbe} en coordonnées homogènes est définie
par \Card{4} équations
\[
x = f(\lambda), \qquad
y = g(\lambda), \qquad
z = h(\lambda), \qquad
t = k(\lambda).
\]
La tangente au point $M(x,y,z,t)$ joint le point~$M$ au point
\[%[** TN: Two large expressions are in-line in original]
M'\left(\dfrac{dx}{d\lambda}, \dfrac{dy}{d\lambda}, \dfrac{dz}{d\lambda}, \dfrac{dt}{d\lambda}\right).
\]
Le plan osculateur passe par la droite~$MM'$ et
par le point
\[
M''\left(\dfrac{d^{2}x}{d\lambda^{2}}, \dfrac{d^{2}y}{d\lambda^{2}}, \dfrac{d^{2}z}{d\lambda^{2}}, \dfrac{d^{2}t}{d\lambda^{2}}\right)\Add{.}
\]

Corrélativement une \emph{développable} sera l'enveloppe du
plan~$P$
\[
u = f(\lambda), \qquad
v = g(\lambda), \qquad
w = h(\lambda), \qquad
r = k(\lambda).
\]
La caractéristique (génératrice) sera l'intersection du plan~$P$
et du plan
$P'\left(\dfrac{du}{d\lambda},
         \dfrac{dv}{d\lambda},
         \dfrac{dw}{d\lambda},
         \dfrac{dr}{d\lambda}\right)$.
Le point de contact avec l'arête
de rebroussement sera en outre dans le plan
$P''\left(\dfrac{d^{2}u}{d\lambda^{2}},
          \dfrac{d^{2}v}{d\lambda^{2}},
          \dfrac{d^{2}w}{d\lambda^{2}},
          \dfrac{d^{2}r}{d\lambda^{2}}\right)$.
%% -----File: 192.png---Folio 184-------

Une \emph{surface} quelconque peut se définir au point de
vue ponctuel par
\[
x = f(\lambda, \mu), \qquad
y = g(\lambda, \mu), \qquad
z = h(\lambda, \mu), \qquad
t = k(\lambda, \mu);
\]
et au point de vue tangentiel par
\[
u = F(\lambda, \mu), \qquad
v = G(\lambda, \mu), \qquad
w = H(\lambda, \mu), \qquad
r = K(\lambda, \mu).
\]
On peut définir le \emph{plan tangent} en fonction du point de contact
$(x, y, z, t)$. Ce plan contient le point, donc
\[
\sum ux = 0;
\]
il contient les tangentes aux courbes $\lambda = \cte$\DPtypo{.}{,} $\mu = \cte$, donc
les points
$\left(\dfrac{\dd x}{\dd \mu}, \dfrac{\dd y}{\dd \mu},
       \dfrac{\dd z}{\dd \mu}, \dfrac{\dd t}{\dd \mu}\right)$
et
$\left(\dfrac{\dd x}{\dd \lambda}, \dfrac{\dd y}{\dd \lambda},
       \dfrac{\dd z}{\dd \lambda}, \dfrac{\dd t}{\dd \lambda}\right)$.
\[
\sum u \frac{\dd x}{\dd \lambda} = 0, \qquad
\sum u \frac{\dd x}{\dd \mu} = 0;
\]
et nous avons ainsi \Card{3} équations définissant des quantités
proportionnelles à $u, v, w, r$. On peut écrire l'équation ponctuelle
du plan tangent au point $(x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t)$
\[
\begin{vmatrix}
X  &   Y  &  Z  &  T \\
x  &   y  &  z  &  t \\
\mfrac{\dd x}{\dd \lambda} &
\mfrac{\dd y}{\dd \lambda} &
\mfrac{\dd z}{\dd \lambda} &
\mfrac{\dd t}{\dd \lambda} \\
%
\mfrac{\dd x}{\dd \mu} &
\mfrac{\dd y}{\dd \mu} &
\mfrac{\dd z}{\dd \mu} &
\mfrac{\dd t}{\dd \mu}
\end{vmatrix} = 0.
\]

\emph{Corrélativement} on définira un \emph{point} de la surface en
fonction du plan tangent en ce point, au moyen des équations:
\[
\sum ux = 0, \qquad
\sum x \frac{\dd u}{\dd \lambda} = 0, \qquad
\sum x \frac{\dd u}{\dd \mu} = 0;
\]
de sorte qu'en définitive, on peut définir l'un des éléments
point, plan tangent, en fonction de l'autre au moyen des formules
\[
\sum ux = 0, \qquad
\sum u\, dx = 0, \qquad
\sum x\, du = 0.
\]

Proposons-nous maintenant d'\emph{exprimer que \Card{2} directions
%% -----File: 193.png---Folio 185-------
$MT(d\lambda, d\mu)$ et $MS(\delta \lambda\DPtypo{.}{,} \delta \mu)$ sont conjuguées}. Ces \Card{2} directions
sont conjuguées si, le point de contact du plan tangent se déplaçant
dans la direction $MT, MS$ est la caractéristique de ce
plan tangent. Or\Add{,} cette caractéristique est
\[
\sum uX = 0, \qquad
\sum du·X = 0;
\]
la droite~$MS$ est définie par le point $(x, y, z, t)$ et le point
$(\delta x, \delta y, \delta z, \delta t)$. Pour exprimer que $MS$~est la caractéristique, il
faut exprimer que les \Card{2} points précédents sont sur la caractéristique,
ce qui donne:
\begin{alignat*}{2}
&\sum ux = 0, \qquad
&&\sum du·x = 0; \\
&\sum u · \delta x = 0, \qquad
&&\sum du · \delta x = 0;
\end{alignat*}
les \Card{3} \Ord{1}{ères} équations sont vérifiées, nous avons donc la condition
unique
\[
\sum du · \delta x = 0,
\]
ou la condition symétrique
\[
\sum \delta u · dx = 0.
\]
En particulier nous trouvons la condition pour qu'une direction
soit conjuguée d'elle-même, c'est-à-dire soit direction
asymptotique
\[
\sum du · dx = 0.
\]

Exprimons alors que les directions $\lambda = \cte$, $\mu = \cte$ forment
un réseau conjugué. Nous avons
\[
\Tag{(1)}
\sum · \frac{\dd u}{\dd \lambda} · \frac{\dd x}{\dd \mu}  = 0.
\]
Cette condition peut se transformer: l'équation
\[
\sum u \frac{\dd x}{\dd \mu} = 0
\]
différentiée par rapport à $\lambda$ donne
\[
\sum \frac{\dd u}{\dd \lambda} · \frac{\dd x}{\dd \mu}
  + \sum u \frac{\dd^{2} x}{\dd \lambda\, \dd \mu} = 0;
\]
%% -----File: 194.png---Folio 186-------
et \Eq{(1)}~s'écrit
\[
\Tag{(2)}
\sum u \frac{\dd^{2} x}{\dd \lambda·\dd \mu} = 0.
\]
De même l'équation
\[
\sum u \frac{\dd x}{\dd \lambda} = 0
\]
différentiée par rapport à~$\mu$ donne
\[
\sum \frac{\dd u}{\dd \mu} · \frac{\dd x}{\dd \lambda}
  + \sum u \frac{\dd^{2} x}{\dd \lambda\, \DPtypo{d}{\dd}\mu} = 0,
\]
et \Eq{(1)}~peut s'écrire
\[
\Tag{(3)}
\sum \frac{\dd u}{\dd \mu} · \frac{\dd x}{\dd \lambda} = 0.
\]
En partant de l'une des relations
\[
\sum x \frac{\dd u}{\dd \lambda} = 0, \qquad
\sum x \frac{\dd u}{\dd \mu} = 0,
\]
on obtiendrait la relation
\[
\Tag{(4)}
\sum x \frac{\dd^{2} u}{\dd \lambda · \dd \mu} = 0.
\]
Ces \Card{4} équations \Eq{(1)}\Add{,} \Eq{(2)}\Add{,} \Eq{(3)}\Add{,} \Eq{(4)} dépendent simultanément des éléments
ponctuel et tangentiel. En exprimant $u, v, w, r$ en fonction
de~$x, y, z, t$, on obtient la condition en coordonnées ponctuelles:
\[
\Tag{(5)}
\begin{vmatrix}
x & \mfrac{\dd x}{\dd \lambda}
  & \mfrac{\dd x}{\dd \mu}
  & \mfrac{\dd^{2} x }{\dd\lambda\, \dd\mu}
\end{vmatrix} = 0.
\]
Dans cette relation~\Eq{(5)}, le premier membre représente, par
abréviation, le déterminant dont la première ligne serait la
ligne écrite entre les deux traits verticaux, et dont les
trois autres lignes se déduiraient de celle-là en~$y$ remplaçant~$x$
par~$y, z, t$. Cette notation sera employée couramment dans la
suite.

Lorsque $t = \cte$, la condition~\Eq{(5)} se réduit à la condition
connue
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd x}{\dd \lambda} &
\mfrac{\dd x}{\dd \mu} &
\mfrac{\dd^{2} x}{\dd \lambda · \dd \mu}
\end{vmatrix} = F' = 0.
\]

La condition~\Eq{(5)} peut s'interpréter autrement: il existe
%% -----File: 195.png---Folio 187-------
une même relation linéaire et homogène entre les éléments correspondants
des lignes
\begin{align*}%[** TN: Filled in last three equations]
\frac{\dd^2 x}{\dd \lambda · \dd \mu}
  &= L \frac{\dd x}{\dd \lambda} + M \frac{\dd x}{\dd \mu} + N x\Add{,} \\
\frac{\dd^2 y}{\dd \lambda · \dd \mu}
  &= L \frac{\dd y}{\dd \lambda} + M \frac{\dd y}{\dd \mu} + N y\Add{,} \\
\frac{\dd^2 z}{\dd \lambda · \dd \mu}
  &= L \frac{\dd z}{\dd \lambda} + M \frac{\dd z}{\dd \mu} + N z\Add{,} \\
\frac{\dd^2 t}{\dd \lambda · \dd \mu}
  &= L \frac{\dd t}{\dd \lambda} + M \frac{\dd t}{\dd \mu} + N t\Add{,}
\end{align*}
c'est-à-dire: \emph{les \Card{4} coordonnées homogènes~$x,y,z,t$ satisfont à
une même équation linéaire aux dérivées partielles de la forme}:
\[
\frac{\dd^2 f}{\dd \lambda· \dd \mu}
  = L \frac{\dd f}{\dd \lambda} + M \frac{\dd f}{\dd \mu} + Nf.
\]
En \DPtypo{operant}{opérant} au point de vue tangentiel, on verrait de même que
\emph{la condition cherchée est que $u,v,w,r$~soient intégrales d'une
même équation}:
\[
\frac{\dd^2f}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  = P \frac{\dd f}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd f}{\dd \mu} + Rf.
\]
On montrerait sans peine que si $x,y,z,t$\DPtypo{,}{} ou $u,v,w,r$ satisfont
à une équation de la forme précédente, elles ne satisfont qu'à
une seule.

\Paragraph{Remarque.} En coordonnées cartésiennes, $t = 1$, $r = 1$, et on a
$R = N = 0$.

Considérons une \emph{surface réglée}; les équations d'une
génératrice, joignant le point $M(x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t)$ au point $M_1 (x_1, y_1, z_1, t_1)$
sont:
\[
X = x + \rho x_1, \qquad
Y = y + \rho y_1, \qquad
Z = z + \rho z_1, \qquad
T = t + \rho t_1.
\]
Supposons la surface \emph{développable}; les plans tangents aux points
$(x,y,z,t)$ et $(x_1, y_1, z_1, t_1)$ sont les mêmes. Or\Add{,} le plan tangent en~$M$
%% -----File: 196.png---Folio 188------
passant par la génératrice et par la tangente à la courbe
$\rho = \Err{\cte}{0}$ contient le point $(dx, dy, dz, dt)$. De même le plan tangent
en~$M_1$, contient le point $(dx_1, dy_1, dz_1, dt_1)$. La condition
pour que les plans soient confondus est donc
\[
\begin{vmatrix}
x  &  x_1  &  dx  &  dx_1
\end{vmatrix} = 0.
\]

Si nous définissions la surface en coordonnées tangentielles,
nous arriverions de même à la condition
\[
\begin{vmatrix}
u  &  u_1  &  du  &  du_1
\end{vmatrix} = 0.
\]

Voyons enfin une \emph{congruence}: nous pouvons encore la
représenter par les équations
\[
X = x + \rho x_1, \qquad
Y = y + \rho y_1, \qquad
Z = z + \rho z_1, \qquad
T = t + \rho t_1;
\]
mais ici $x, y, z, t$ et $x_1, y_1, z_1, t_1$, sont fonctions de deux paramètres
arbitraires $(\lambda, \mu)$. Cherchons les \emph{éléments focaux}. Soit $F$ un
foyer d'une droite~$D(\lambda, \mu)$. Soit $\rho$ la valeur du paramètre qui
correspond à ce point. Toutes les surfaces réglées de la congruence
qui contiennent la droite~$D$ ont en ce point~$F$ même
plan tangent. Considérons en particulier les surfaces $\lambda = \cte$
et $\mu = \cte[]$. Les plans tangents à ces surfaces contiennent respectivement
les points $(x, y, z, t)$\Add{,} $(x_1, y_1, z_1, t_1)$\Add{,}
$\left(\dfrac{\dd x}{\dd \mu} + \rho \dfrac{\dd x_1}{\dd \mu},\dots\right)$
et $(x, y, z, t)$\Add{,} $(x_1, y_1, z_1, t_1)$\Add{,}
$\left(\dfrac{\dd x}{\dd \lambda} + \rho \dfrac{\dd x\Add{_1}}{\dd \lambda},\dots\right)$. La condition pour
que ces plans \DPtypo{coincident}{coïncident}, c'est-à-dire l'\emph{équation aux points
focaux}, est donc
\[
\begin{vmatrix}
x  &  x_1  &
\mfrac{\dd x}{\dd \lambda} + \rho\mfrac{\dd x_1}{\dd \lambda} &
\mfrac{\dd x}{\dd \mu} + \rho\mfrac{\dd x_1}{\dd \mu}
\end{vmatrix} = 0;
\]
On trouvera de même l'\emph{équation aux plans focaux}:
\[
\begin{vmatrix}
u & u_1 &
\mfrac{\dd u}{\dd \lambda} + \rho \mfrac{\dd u_1}{\dd \lambda} &
\mfrac{\dd u}{\dd \mu} + \rho \mfrac{\dd \DPtypo{u}{u_{1}}}{\dd \mu}
\end{vmatrix} = 0.
\]
%% -----File: 197.png---Folio 189-------

\Section{Correspondances spéciales.}
{3.}{} Nous allons étudier la \emph{correspondance entre \Card{2} points
$M\Add{,} \Err{M}{M_{1}}$, de \Card{2} surfaces telle que les développables de la congruence
des droites $M\Err{M}{M_{1}}$ coupent les \Card{2} surfaces suivant les
\Card{2} réseaux conjugués qui se correspondent}. Nous supposerons que
les paramètres $\lambda\Add{,} \mu$ qui fixent la position d'un point sur chacune
des surfaces sont précisément tels quo les courbes conjuguées
homologues soient $\lambda = \cte$ et $\mu = \cte[]$. Les courbes
$\lambda = \cte\Add{,} \mu = \cte$ sont conjuguées sur la \Ord{1}{ère} surface~$(S)$ donc
$x, y, z, t$ satisfont à une même équation différentielle
\[
\Tag{(1)}
\frac{\dd^2 f}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  = P \frac{\dd f}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd f}{\dd \mu} + R f;
\]
de même les courbes $\lambda = \cte$ et $\mu = \cte$ étant conjuguées sur la
\Ord{2}{e} surface~$(S_1)$, $x_1, y_1, z_1, t_1$\DPtypo{,}{} satisfont à une même équation différentielle
\[
\Tag{(2)}
\frac{\dd^2 f}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  = P_1 \frac{\dd f}{\dd \lambda} + Q_1 \frac{\dd f}{\dd \mu} + R_1 f.
\]
Exprimons maintenant que les développables de la congruence
correspondent à $\lambda = \cte$ et $\mu = \cte[]$. Si nous représentons la
congruence par les équations
\[
X = x + \rho x, \qquad
Y = y + \rho y, \qquad
Z = z + \rho z, \qquad
T = t + \rho t,
\]
les développables sont données par l'équation
\[
\begin{vmatrix}
x  &  x_1  &  dx  &  dx_1
\end{vmatrix} = 0.
\]
Or,
\begin{alignat*}{5}
dx &= \frac{\dd x}{\dd \lambda}\, d\lambda
   &&+ \frac{\dd x}{\dd \mu}\, d\mu,\qquad &
dy &= \dots\dots,\qquad &
dz &= \dots\dots,\qquad &
dt &= \dots\dots, \\
%
dx_1 &= \frac{\dd x_1}{\dd\lambda}\, d\lambda
   &&+ \frac{\dd x_1}{\dd\mu}\, d\mu,\qquad &
dy_1 &= \dots\dots,\qquad &
dz_1 &= \dots\dots,\qquad &
dt_1 &= \dots\dots;
\end{alignat*}
\iffalse%%%%%[** TN: Code follows for three sets of equations above]
dy &= \frac{\dd y}{\dd \lambda}\, d\lambda + \frac{\dd y}{\dd \mu}\, d\mu, &
dz &= \frac{\dd z}{\dd \lambda}\, d\lambda + \frac{\dd z}{\dd \mu}\, d\mu, &
dt &= \frac{\dd t}{\dd \lambda}\, d\lambda + \frac{\dd t}{\dd \mu}\, d\mu, \\
%
dy_1 &= \frac{\dd y_1}{\dd\lambda}\, d\lambda + \frac{\dd y_1}{\dd\mu}\, d\mu, &
dz_1 &= \frac{\dd z_1}{\dd\lambda}\, d\lambda + \frac{\dd z_1}{\dd\mu}\, d\mu, &
dt_1 &= \frac{\dd t_1}{\dd\lambda}\, d\lambda + \frac{\dd t_1}{\dd\mu}\, d\mu,
\fi %%%% End of code for elided equations
et l'équation précédente devant être vérifiée pour $d\lambda = 0$,
$d\mu = 0$, nous avons les conditions
%% -----File: 198.png---Folio 190-------
\begin{align}
\Tag{(3)}
\begin{vmatrix}
x  &  x_1  &  \mfrac{\dd x}{\dd \lambda}  &  \mfrac{\dd x_1}{\dd \lambda}
\end{vmatrix} = 0, \\
\Tag{(4)}
\begin{vmatrix}
x  &  x_1  &  \mfrac{\dd x}{\dd \mu}  &  \mfrac{\dd x_1}{\dd \mu}
\end{vmatrix} = 0.
\end{align}
Il existe une même relation linéaire et homogène entre les
éléments des colonnes, donc
\begin{alignat*}{2}
\Tag{(5)}
Ax + B \frac{\dd x}{\dd \lambda}
  &= A_1 x_1 + B_1 \frac{\dd x_1}{\dd \lambda},\qquad
  && \text{et les analogues}\quad\dots\dots\Add{,}
 \\
\Tag{(6)}
Cx + D \frac{\dd x}{\dd \mu}
  &= C_1 x_1 + D_1 \frac{\dd x_1}{\dd \mu},\qquad
  && \text{et les analogues}\quad\dots\dots\Add{.}
\end{alignat*}

\Paragraph{\DPchg{\Ord{1}{er} Cas}{Premier Cas}.} Voyons d'abord ce qui arrive si l'un des \Card{4} coefficients
$B\Add{,} B_1\Add{,} D\Add{,} D_1$ est nul. Soit $B_1 = 0$. Alors les équations~\Eq{(5)}
expriment que le point $M_1(x_1\Add{,} y_1\Add{,} z_1\Add{,} t_1)$ est sur la droite qui
joint les points $M(x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t)$ et
\[%[** TN: Large in-line expression in original]
M\left(\dfrac{\dd x}{\dd \lambda}, \dfrac{\dd y}{\dd \lambda}, \dfrac{\dd z}{\dd \lambda}, \dfrac{\dd t}{\dd \lambda}\right).
\]
La droite~$MM_1$
est tangente à la courbe~$\mu = \cte$ tracée sur la surface~$(S)$.
Toutes les droites~$MM_1$ sont ainsi tangentes à la surface~$(S)$
qui est une des nappes de la surface focale de la congruence.
Sur la surface~$(S)$ les courbes $\mu = \cte$ correspondent à une
famille de développables, et par suite les courbes $\lambda = \cte$
conjuguées des précédentes correspondent à la \Ord{2}{e} famille. Il
nous faut alors chercher comment on peut définir~$(S_1)$ pour
que cette surface soit coupée suivant un réseau conjugué par
les développables de la congruence. Les équations~\Eq{(5)} peuvent
s'écrire dans le cas considéré
\[
x_1 = Ax + B \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \quad
y_1 = Ay + B \frac{\dd y}{\dd \lambda}, \quad
z_1 = Az + B \frac{\dd z}{\dd \lambda}, \quad
t_1 = At + B \frac{\dd t}{\dd \lambda}\Add{.}
\]
Posons
\[
x = \theta X, \qquad
y = \theta Y, \qquad
z = \theta Z, \qquad
t = \theta T;
\]
nous avons alors
\[
x_1 = A \theta X + B \left(\theta \frac{\dd x}{\dd \lambda}
  + X \frac{\dd \theta}{\dd \lambda}\right), \quad
y_1 = \dots\dots, \quad
z_1 = \dots\dots, \quad
t_1 = \dots\dots;
\]
déterminons la fonction~$\theta$ par la relation
\[
A \theta + B \frac{d \theta}{d \lambda} = 0,
\]
%% -----File: 199.png---Folio 191-------
ce qui est toujours possible. Nous avons
\[
x_1 = A \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \qquad
y_1 = A \frac{\dd y}{\dd \lambda}, \qquad
z_1 = A \frac{\dd z}{\dd \lambda}, \qquad
t_1 = A \frac{\dd t}{\dd \lambda};
\]
et comme les coordonnées homogènes ne sont définies qu'à un
facteur près, nous pouvons écrire
\[
\Tag{(7)}
x_1 = \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \qquad
y_1 = \frac{\dd y}{\dd \lambda}, \qquad
z_1 = \frac{\dd z}{\dd \lambda}, \qquad
t_1 = \frac{\dd t}{\dd \lambda}.
\]
Alors, d'après ces relations, l'équation différentielle~\Eq{(1)}
s'écrit
\[
\Tag{(8)}
\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = Px_1 + Q \frac{\dd x}{\dd \mu} + Rx,
\]
condition de la forme~\Eq{(6)}. Les équations \Eq{(3)}~et~\Eq{(4)} sont alors
vérifiées. Différentions la relation~\Eq{(8)} par rapport à~$\lambda$
\[
\frac{\dd^2 x_1}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  = \frac{\dd P}{\dd \lambda} x_1 + P \frac{\dd x_1}{\dd \lambda}
  + \frac{\dd Q}{\dd \lambda} · \frac{\dd x}{\dd \mu}
  + Q \frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  + \frac{\dd R}{\dd \lambda x} + R \frac{\dd x}{\dd \lambda}.
\]
Mais, $\Err{x}{x_{1}}$~vérifiant l'équation~\Eq{(2)}, nous avons
\[
\frac{\dd^2 x_1}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  = P_1 \frac{\dd x_1}{\dd \lambda} + Q_1 \frac{\dd x_1}{\dd \mu} + R_1 x_1,
\]
et nous obtenons ainsi
\[
\Tag{(9)}
P_1 \frac{\dd x_1}{\dd \lambda} + Q_1 \frac{\dd x_1}{\dd \mu} + R_1 x_1
  = \frac{\dd P}{\dd \lambda} x_1
  + P \frac{\dd x_1}{\dd \lambda}
  + \frac{\dd Q}{\dd \lambda}\Err{}{\, \frac{dx}{d\mu}}
  + Q \frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  + \frac{\dd R}{\dd \lambda} · x
  + R \frac{\dd x}{\dd \lambda};
\]
\Eq{(8)}\Add{,}~\Eq{(9)} sont \Card{2} équations en $x$~et~$\dfrac{\dd x}{\dd \mu}$. Si on peut les résoudre, on
en peut tirer $x$ en particulier, en fonction linéaire de~$x_1$,
$\dfrac{\dd x_1}{\dd \lambda}$\Add{,}~et~$\dfrac{\dd \Err{x}{x_1}}{\dd \mu}$;
car~$\dfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}\Err{}{=\dfrac{\dd x_1}{\dd \mu}}$\Err{}{ et $\dfrac{\dd x}{\dd\lambda} = x_1$} s'exprime en fonction linéaire de ces \Card{3} quantités;
donc le point $M(x, y, z, t)$ se trouve dans le plan des \Card{3} points
$(x_1, y_1, z_1, t_1)$\Add{,}
%[** TN: Added elided components in next two points]
$\left(\dfrac{\dd x_{1}}{\dd\lambda}, \dfrac{\dd y_{1}}{\dd\lambda},
       \dfrac{\dd z_{1}}{\dd\lambda}, \dfrac{\dd t_{1}}{\dd\lambda}\right)$\Add{,}
$\left(\dfrac{\dd x_{1}}{\dd \mu}, \dfrac{\dd y_{1}}{\dd \mu},
       \dfrac{\dd z_{1}}{\dd \mu}, \dfrac{\dd t_{1}}{\dd \mu}\right)$,
c'est-à-dire dans le
plan tangent en~$M_1$, à la surface~$(S_1)$. La droite~$MM_1$ est donc aussi
tangente à~$(S_1)$, et $(S_1)$~est la \Ord{2}{e} nappe de la surface focale.
Nous avons ainsi établi une \emph{correspondance point par point entre
les \Card{2} nappes de la surface focale d'une congruence}.
%% -----File: 200.png---Folio 192-------

\emph{\DPchg{Ecartons}{Écartons} ce cas}; il faut alors supposer que les équations
\Eq{(8)}\Add{,}~\Eq{(9)} ne sont pas résolubles en $x$~et~$\dfrac{\dd x}{\dd \mu}$; ce qui exige que
l'on ait
\[
\begin{vmatrix}
Q                          & R  \\
\mfrac{\dd Q}{\dd \lambda} & \mfrac{\dd R}{\dd \lambda}
\end{vmatrix} = 0,
\]
ou
\[
Q \frac{\dd R}{\dd \lambda} - R \frac{\dd Q}{\dd \lambda} = 0;
\]
ce qui exprime que $\dfrac{Q}{R}$ est fonction de $\mu$ seulement
\[
R = Q \psi(\mu).
\]
Reprenons alors la relation~\Eq{(8)}, et multiplions les \Card{4} coordonnées
$x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t$ par un facteur fonction de~$\mu$ de façon à simplifier
la relation~\Eq{(8)}, qui s'écrit
\[
\frac{\dd x_1}{\dd \mu}
  = Px_1 + Q \left[ \frac{\dd x}{\dd \mu} + x \psi(\mu)\right].
\]
On peut multiplier~$x$ par un facteur~$\omega$ tel que l'expression entre
crochets se réduise~$\theta\omega \dfrac{\dd x}{\dd \mu}$; comme ce facteur~$\omega$ ne dépend pas de~$\lambda$,
les équations~\Eq{(7)} subsistent, et nous avons des relations de la forme
\[
\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = Px_1 + Q \frac{\dd x}{\dd \mu}, \quad
\frac{\dd y_1}{\dd \mu} = \dots\dots, \quad
\frac{\dd z_1}{\dd \mu} = \dots\dots, \quad
\frac{\dd t_1}{\dd \mu} = \dots\dots.
\]
Ceci revient à supposer $R = 0$ dans les équations~\Eq{(1)}; ce qui
donne enfin
\[
\Tag{(10)}
\frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  = P \frac{\dd x}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd x}{\dd \mu}, \quad
\frac{\dd^2 y}{\dd \lambda\, \dd \mu} = \dots, \quad
\frac{\dd^2 z}{\dd \lambda\, \dd \mu} = \dots, \quad
\frac{\dd^2 t}{\dd \lambda\, \dd \mu} = \dots.
\]
Il est facile de voir que si $x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t$ satisfont à~\Eq{(10)}, les conditions
\Eq{(1)}\Add{,} \Eq{(2)}\Add{,} \Eq{(3)}\Add{,} \Eq{(4)} sont satisfaites. Tout d'abord \Eq{(3)}~et~\Eq{(4)}
le sont, ainsi que~\Eq{(1)}. Voyons alors~\Eq{(2)}. Les équations~\Eq{(10)}
peuvent s'écrire
\[
\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = Px_1 + Q \frac{\dd x}{\dd \mu}\Add{,}
\]
d'où
\[
\frac{\dd^2 x_1}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  = \frac{\dd P}{\dd \lambda} x_1 + P \frac{\dd x_1}{\dd \lambda}
  + Q \frac{\dd x_1}{\dd \mu}
  + \frac{1}{Q} \left( \frac{\dd x_1}{\dd \mu} - Px_1\right)
      \frac{\dd Q}{\dd \lambda}\Add{,}
\]
ce qui est bien une équation de la forme~\Eq{(2)}.
%% -----File: 201.png---Folio 193-------

\Paragraph{\DPchg{\Ord{2}{ème} Cas}{Deuxième Cas}.} Nous supposons maintenant $B, B_1, D, D_1, \neq 0$. Reprenons
les équations~\Eq{(5)}\Add{,}~\Eq{(6)}\Add{.} En multipliant $x, y, z, t$ et $x_1, y_1, z_1, t_1$,
par des facteurs convenables, on peut faire \DPchg{disparaitre}{disparaître} dans~\Err{\Eq{(S)}}{\Eq{(5)}}
le terme en~$x$ et le terme en~$x_1$, de sorte que nous pouvons
écrire
\[
\Tag{(11)}
\frac{\dd x_1}{\dd \lambda} = L \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \qquad
\frac{\dd y_1}{\dd \lambda} = L \frac{\dd y}{\dd \lambda}, \qquad
\frac{\dd z_1}{\dd \lambda} = L \frac{\dd z}{\dd \lambda}, \qquad
\frac{\dd t_1}{\dd \lambda} = L \frac{\dd t}{\dd \lambda}.
\]
L'équation~\Eq{(6)} peut s'écrire
\[
\Tag{(12)}
\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = M \frac{\dd x}{\dd \mu} + N x + S x_1;
\]
différentions par rapport à~$\lambda$ en tenant compte de~\Eq{(11)}, nous
avons
\[
\frac{\dd}{\dd \mu} \left(L \frac{\dd x}{\dd \lambda}\right)
  = \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(M \frac{\dd x}{\dd \mu}\right)
  + \frac{\dd}{\dd \lambda} (N x) + \frac{\dd}{\dd \lambda} (S x_1);
\]
$\dfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}$ peut d'après~\Eq{(1)} s'exprimer en fonction de~$\Err{x_1}{x}$, $\dfrac{\dd x}{\dd \lambda}$ et $\dfrac{\dd x}{\dd \mu}$,
et la relation précédente s'écrit
\[
\frac{\dd}{\dd \lambda} (S x_1)
  = F \left(x, \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \frac{\dd x}{\dd \mu}\right),
\]
$F$~étant une fonction linéaire, ce qu'on peut écrire encore
\[
\frac{\dd S}{\dd \lambda} x_1 + S L \frac{\dd x}{\dd \lambda}
  = F \left(x, \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \frac{\dd x}{\dd \mu}\right).
\]
Si $\dfrac{\dd S}{\dd \lambda} \neq 0$, $x_1$ est fonction linéaire de~$x$, $\dfrac{\dd x}{\dd \lambda}$, $\dfrac{\dd x}{\dd \mu}$. Le point~$M$
est dans le plan tangent en~$M$ à la surface~$(S)$, qui est alors
une des nappes de la surface focale, cas qui a été précédemment
examiné. Il faut donc supposer $\dfrac{\dd S}{\dd \lambda} = 0$, $S$~n'est fonction
que de~$\mu$. Alors si nous reprenons l'équation~\Eq{(12)}, nous pouvons
multiplier $x_1, y_1, z_1, t_1$ par une fonction de~$\mu$ telle que le
terme en~$x_1$ \DPchg{disparaisse}{disparaîsse}, les relations~\Eq{(11)} subsistant. Et
nous ramènerons~\Eq{(12)} à la forme
\[
\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = H \frac{\dd x}{\dd \mu} + K x.
\]
%% -----File: 202.png---Folio 194-------
Le même raisonnement montrera que $K$~est indépendant de~$\lambda$ et
que par suite on peut faire \DPchg{disparaitre}{disparaître} le terme en~$x$; finalement
on a
\[
\Tag{(13)}
\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = M \frac{\dd x}{\dd \mu},  \qquad
\frac{\dd y_1}{\dd \mu} = M \frac{\dd y}{\dd \mu},  \qquad
\frac{\dd z_1}{\dd \mu} = M \frac{\dd z}{\dd \mu},  \qquad
\frac{\dd t\Add{_1}}{\dd \mu} = M \frac{\dd t}{\dd \mu}.
\]
Les relations \Eq{(11)}~et~\Eq{(13)} sont d'ailleurs suffisantes, car
on en conclut
\begin{align*}
\frac{\dd^2 x_1}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  &= \frac{\dd}{\dd \mu} \left(L \frac{\dd x}{\dd \lambda}\right), \\
\frac{\dd^2 x_1}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  &= \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(M \frac{\dd x}{\dd \mu}\right); \\
\intertext{d'où}
\Tag{(14)}
\frac{\dd}{\dd \lambda} \left(M \frac{\dd x}{\dd \mu}\right)
  &= \frac{\dd}{\dd \mu} \left(L \frac{\dd x}{\dd \lambda}\right),
\end{align*}
équation de la forme~\Eq{(1)}, où $R = 0$; on obtiendrait de même
\[
\Tag{(15)}
\frac{\dd}{\dd \lambda} \left(\frac{1}{M} · \frac{\dd x_1}{\dd \mu}\right)
  = \frac{\dd}{\dd \mu} \left(\frac{1}{M}\, \frac{\dd x_1}{\dd \lambda}\right),
\]
équation de la forme~\Eq{(2)} où $R_1=0$.

\MarginNote{Conclusions.}
Dans le \emph{\Ord{1}{er} cas}, nous avons été ramenés à faire \DPchg{disparaitre}{disparaître}
le terme en~$x$ dans l'équation
\[
\Tag{(1)}
\frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  = P \frac{\dd x}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd x}{\dd \mu} + R x
\]
au moyen de la substitution
\[
x = \omega X
\]
on trouve immédiatement la condition
\[
\frac{\dd^2 \omega}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  = P \frac{\dd \omega}{\dd \lambda}
  + Q \frac{\dd \omega}{\dd \mu} + R \omega\Add{,}
\]
et on peut dire alors que \emph{la surface~$(S_1)$ est définie par les
équations}
\[
x_1 = \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(\frac{x}{\omega}\right)\Add{,} \qquad
y_1 = \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(\frac{y}{\omega}\right)\Add{,} \qquad
z_1 = \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(\frac{z}{\omega}\right)\Add{,} \qquad
t_1 = \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(\frac{t}{\omega}\right)\Add{,}
\]
\emph{$\omega$~étant une solution de l'équation~\Eq{(1)}}.
%% -----File: 203.png---Folio 195-------

Passons au \emph{\Ord{2}{e} cas}: il faut encore faire \DPtypo{disparaitre}{disparaître} le
terme en~$x$ de l'équation~\Eq{(1)}, ce qui revient à chercher une
intégrale de cette équation. L'équation prend alors la forme
\[
\Tag{(2)}
\frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  = P \frac{\dd x}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd x}{\dd \mu}\Add{.}
\]
Identifions avec l'équation~\Eq{(14)} précédemment obtenue. Nous
avons
\[
\frac{\dd L}{\dd \mu} = P(M - L), \qquad
\frac{\dd M}{\dd \lambda} = Q(L - M);
\]
posons alors
\[
L - M = \theta,
\]
et nous aurons
\[
\frac{\dd L}{\dd \mu} = -P\theta, \qquad
\frac{\dd M}{\dd \lambda} = Q\theta;
\]
et l'on voit immédiatement que $\theta$~doit être intégrale de l'équation
\[
\Tag{(3)}
\frac{\dd^2 \theta}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  + \frac{\dd (P \theta)}{\dd \lambda}
  + \frac{\dd (Q \theta)}{\dd \mu} = 0\Add{,}
\]
qui est ce qu'on appelle \emph{l'adjointe} de~\Eq{(2)}. Ayant~$\theta$, on détermine
par quadratures $L$~et~$M$; car
\[
L = -\int P\theta · d\mu, \qquad
M =  \int Q\theta · d\lambda\Add{.}
\]

\MarginNote{Propriétés de
la correspondance
précédente.}
Soient $M(x, y, z, t)$, $M_1(x_1, y_1, z_1, t_1)$; soit maintenant $P$~le
\Figure{203a}
point de coordonnées $\left(\dfrac{\dd x}{\dd \lambda},\dots\right)$ ou
$\left(\dfrac{\dd x_1}{\dd \lambda},\dots\right)$ et $Q$~le point $\left(\dfrac{\dd x}{\dd \mu},\dots\right)$ ou
$\left(\dfrac{\dd x_1}{\dd \mu},\dots\right)$, de sorte que la droite~$PM$
est tangente à la courbe $\mu = \cte$ sur
la surface~$(S)$ et~$PM_1$ à la courbe $\mu =
\cte$, sur la surface~$(S_1)$, et de même
%% -----File: 204.png---Folio 196-------
la droite~$QM$ est tangente à la courbe~$\lambda = \cte$ sur la surface~$(S)$,
et~$QM_1$ à la courbe~$\lambda = \cte$ sur la surface~$(S_1)$. Les plans
tangents aux \Card{2} surfaces $(S), (S_1)$ aux points $M, M_1$ se coupent suivant
la droite~$PQ$. Considérons la congruence de ces droites~$PQ$.
On peut la définir par les équations
\[
X = \frac{\dd x}{\dd \lambda} + \rho \frac{\dd x}{\dd \mu},  \quad
Y = \frac{\dd y}{\dd \lambda} + \rho \frac{\dd y}{\dd \mu},  \quad
Z = \frac{\dd z}{\dd \lambda} + \rho \frac{\dd z}{\dd \mu},  \quad
T = \frac{\dd t}{\dd \lambda} + \rho \frac{\dd t}{\dd \mu}.
\]
Les développables de cette congruence sont définies par l'équation
\[
\begin{vmatrix}
  \mfrac{\dd x}{\dd \lambda} &
  \mfrac{\dd x}{\dd \mu} &
   \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda^2} · d \lambda
 + \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} d\mu &
   \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} · d\lambda
 + \mfrac{\dd^2 x}{\dd \mu^2} d\mu
\end{vmatrix} = 0;
\]
mais on a
\[
\frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}
  = P \frac{\dd x}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd x}{\dd \mu},
\]
de sorte que l'équation précédente se réduit à
\[
d\lambda · d\mu = 0.
\]
\emph{Les développables de la congruence des droites~$PQ$ correspondent
donc aux développables de la congruence des droites~$MM\Add{_1}$,
c'est-à-dire encore aux systèmes conjugués homologues.}

Cherchons maintenant les points focaux. Ils sont donnés
par l'équation
\[
\begin{vmatrix}
  \mfrac{\dd x}{\dd \lambda} &
  \mfrac{\dd x}{\dd \mu} &
  \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda^2} + \rho \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} &
  \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} + \mfrac{\rho \dd^2 x}{\dd \mu^2}
\end{vmatrix} = 0,
\]
équation qui, à cause de la même condition que précédemment,
se réduit à $\rho = 0$; une racine est nulle, l'autre infinie;
\emph{les points focaux ne sont autres que les points~$P, Q$. Ils sont
dans les plans focaux de la congruence~$MM_1$}.

Considérons le point~$P$, et supposons que l'on fasse $\lambda =
\cte[]$. La direction de la tangente à la trajectoire du point~$P$
est définie par un \Ord{2}{e} point, dont les coordonnées sont
\[
\frac{\dd}{\dd \mu} \left(\frac{\dd x}{\dd \lambda}\right)
  = P \frac{\dd x}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd x}{\dd \mu},
\]
et les analogues.
%% -----File: 205.png---Folio 197-------
C'est un point de~$PQ$. Le point~$P$ décrit une courbe tangente à~$PQ$,
arête de rebroussement de la développable correspondant à
$\lambda = \cte[]$. Le point~$Q$ décrira de même l'arête de rebroussement
de la développable correspondant à~$\mu = \cte[]$.

Les propriétés de la correspondance que nous venons d'étudier
se transforment en elles-mêmes par dualité. En choisissant
convenablement les coordonnées tangentielles homogènes,
on aurait donc
\begin{align*}
\frac{\dd u_1}{\dd \lambda} &= H \frac{\dd u}{\dd \lambda},
  \quad\text{et les analogues;}\quad\dots\dots, \\
\frac{\dd u_1}{\dd \mu} &= K \frac{\dd u}{\dd \mu},
  \quad\text{et les analogues.}\quad\dots\dots.
\end{align*}
Appelons alors congruence~$(K)$ celle des droites~$MM_1$, congruence~$(K')$
celle des droites~$PQ$. \emph{Si les développables de la congruence~$(K)$
coupent les surfaces $(S)\Add{,} (S_1)$ suivant deux réseaux
conjugués, les développables de la congruence~$(K')$ sont circonscrites
à ces surfaces suivant les mêmes réseaux, et réciproquement.
Les points focaux de~$(K')$ sont dans les plans focaux
de~$(K)$, chaque point focal se trouvant dans le plan focal
qui ne lui correspond pas.}

\Section{Correspondance par plans tangents parallèles.}
{4.}{} Soit sur la surface~$(S)$ l'une des courbes~$(c)$ du réseau
conjugué qui correspond à un réseau conjugué sur~$(S_1)$
et soit~$(c_1)$ la courbe correspondante sur~$(S_1)$. Supposons
qu'en deux points homologues les plans tangents aux surfaces
$(S)\Add{,} (S_1)$ soient parallèles; leurs caractéristiques le sont aussi;
donc \emph{les directions conjuguées homologues sont parallèles.}
%% -----File: 206.png---Folio 198-------
Faisons $t = 1$ et~$t_1 = 1$, nous avons
\begin{alignat*}{3}
\Tag{(1)}
\frac{\dd x_1}{\dd \lambda} &= L \frac{\dd x}{\dd \lambda},  \qquad &
\frac{\dd y_1}{\dd \lambda} &= L \frac{\dd y}{\dd \lambda},  \qquad &
\frac{\dd z_1}{\dd \lambda} &= L \frac{\dd z}{\dd \lambda}; \\
\Tag{(2)}
\frac{\dd x_1}{\dd \mu} &= M \frac{\dd x}{\dd \mu}  \qquad &
\frac{\dd y_1}{\dd \mu} &= M \frac{\dd y}{\dd \mu}  \qquad &
\frac{\dd z_1}{\dd \mu} &= M \frac{\dd z}{\dd \mu}.
\end{alignat*}
Nous pouvons donc appliquer les résultats précédemment obtenus\Add{.}
Les plans tangents en~$M\Add{,} M_1$ étant parallèles, la droite~$PQ$ est à
l'infini. Les droites de la congruence~$(K')$ sont les droites
du plan de l'infini. Sur chacune de ces droites, les points~$P\Add{,} Q$
sont les points où elles sont rencontrées par les tangentes
conjuguées homologues sur $(S)\Add{,} (S_1)$, et le lieu des points~$P\Add{,}Q$
est tangent à chaque droite~$PQ$ aux points~$P, Q$.

\MarginNote{Cas particulier.}
En particulier, supposons que, la surface~$(S)$ étant quelconque,
la surface~$(S_1)$ soit une sphère. La congruence des
droites~$MM_1$ a des développables qui découpent sur $(S)\Add{,} (S_1)$ des
réseaux conjugués, les tangentes homologues étant parallèles.
Or\Add{,} sur une sphère, un réseau conjugué est un réseau orthogonal;
donc le réseau conjugué de~$(S)$ est aussi un réseau orthogonal,
ce sont les \emph{lignes de courbure}, dont la recherche est
ainsi ramenée à celle des développables d'une congruence. En
particulier, supposons la surface~$(S)$ du \Ord{2}{e} degré, et considérons
la congruence des droites~$PQ$ du plan de l'infini. Le
plan de l'infini coupe $(S),(S_1)$ suivant deux coniques $(\Gamma),(\Gamma_1)$.
Considérons leurs points d'intersection avec une droite~$PQ$;
les points d'intersection avec~$(\Gamma)$ correspondent aux directions
des génératrices de~$(S)$ qui passent par~$M$, et qui sont
les tangentes asymptotiques; les points~$P\Add{,} Q$ qui correspondent
aux directions principales sont donc conjugués par rapport à
ces points d'intersection, c'est-à-dire conjugués par rapport
%% -----File: 207.png---Folio 199-------
à la conique~$(\Gamma)$. Ils sont de même conjugués par rapport à~$(\Gamma_1)$.
Les points~$P,Q$ sont les points doubles de l'involution
déterminée sur la droite~$PQ$ par le faisceau de coniques ayant
pour bases $(\Gamma),(\Gamma_1)$. La droite~$PQ$ est tangente en~$P\Add{,} Q$ aux \Card{2} coniques
de ce faisceau qui lui sont tangentes; de sorte que la
détermination des développables de la congruence~$(K)$, c'est-à-dire
des lignes de courbure de la quadrique~$(S)$, revenant à
celle d'un faisceau de coniques, peut se faire algébriquement.
Si on prend pour paramètres ceux des génératrices rectilignes
qui passent par un point de~$(S)$, on obtient ainsi l'intégration
de l'\emph{équation d'Euler}.

\Paragraph{Remarque.} Au lieu du plan de l'infini, on pourrait considérer
un plan fixe quelconque~$(\Pi)$. La correspondance serait
telle que les plans tangents en \Card{2} points homologues de $(S), (S_1)$
se coupent dans le plan~$\Pi$.\DPnote{** TN: [sic], no ()} Les résultats seraient analogues;
et de même si, corrélativement, on établissait entre les \Card{2} surfaces
une correspondance telle que la droite~$MM_1$ passe par
un point fixe.

Considérons deux surfaces $(S), (S_1)$ qui se correspondent
par plans tangents parallèles. Prenons dans l'espace un point
fixe~$O$, et substituons à~$(S_1)$ une de ses homothétiques par
rapport à~$O,(S'_1)$. A tout réseau conjugué sur~$(S_1)$ correspond
sur~$(S_1\Add{'})$ un réseau homothétique qui est aussi conjugué, et le
réseau conjugué de~$(S)$ qui correspond à un réseau conjugué
sur~$(\Err{S_1}{S'_1})$ correspond aussi à un réseau conjugué sur~$(S'_1)$. Imaginons
que le rapport d'homothétie croisse indéfiniment le
point~$M'_1$ homothétique de~$\Err{M}{M_1}$ s'éloigne à l'infini, la droite~$MM_1$
est la parallèle menée par~$M$ au rayon~$OM$. Donc, \emph{si l'on a
%% -----File: 208.png---Folio 200-------
\Card{2} surfaces $(S),(S_1)$ se correspondant par plans tangents parallèles,
si on prend dans l'espace un point fixe~$O$, et si par
le point~$M$ de~$(S)$ on mène la parallèle~$MN$ au rayon~$\Err{OM}{OM_1}$, les
développables de la congruence des droites~$MN$ découpent sur~$(S)$
le réseau conjugué qui correspond à un réseau conjugué
sur~$(S_1)$}. Si en particulier nous prenons pour~$(S_1)$ une sphère,
pour~$O$ son centre, $\Err{OM}{OM_1}$~est perpendiculaire au plan tangent à~$(\Err{S}{S_1})$,
et par conséquent au plan tangent à~$(S)$; $MN$~qui lui est
parallèle est la normale à~$(S)$. \emph{La congruence des normales à
une surface a des développables qui déterminent sur cette
surface un réseau conjugué orthogonal.} On retrouve donc la
propriété fondamentale des lignes de courbure de la surface~$(S)$.

Remarquons encore que si le rayon de la sphère~$(S_1)$ est
égal à~$1, x, y, z,$ sont les cosinus directeurs de la normale,
et les formules \Eq{(1)}\Add{,}~\Eq{(2)} ne sont autres que les formules
d'Olinde Rodrigues.


\ExSection{VIII}

\begin{Exercises}
\item[40.] On donne deux courbes $C, C_{1}$. Trouver toutes les surfaces~$S$ sur
lesquelles les courbes de contact des cônes circonscrits à~$S$,
ayant leurs sommets sur $C$ et~$C_{1}$, forment un réseau conjugué.
En définissant $C$~et~$C_{1}$ par les équations
\begin{alignat*}{4}
x &= f(\lambda), \qquad &
y &= g(\lambda), \qquad &
z &= h(\lambda), \qquad &
t &= k(\lambda); \\
%
x &= \phi(\mu), &
y &= \psi(\mu), &
z &= \chi(\mu), &
t &= \theta(\mu),
\end{alignat*}
la surface la plus générale répondant à la question est définie
par les équations
\begin{align*}
x &= \int A(\lambda)f(\lambda)\, d\lambda + \int B(\mu)\phi(\mu)\, d\mu, \\
y &= \int A(\lambda)g(\lambda)\, d\lambda + \int B(\mu)\psi(\mu)\, d\mu, \\
z &= \int A(\lambda)h(\lambda)\, d\lambda + \int B(\mu)\chi(\mu)\, d\mu, \\
t &= \int A(\lambda)k(\lambda)\, d\lambda + \int B(\mu)\theta(\mu)\, d\mu.
\end{align*}

Interpréter géométriquement les formules obtenues de
façon à trouver une définition géométrique de ces surfaces.
Transformer par dualité les divers résultats obtenus.

\item[41.] Soit $\Sigma$ la sphère de centre~$O$ et de rayon égal à un; soit $S$
une surface quelconque et $S'$~sa polaire \DPtypo{reciproque}{réciproque} par rapport
à~$\Sigma$. Soit $M$ un point quelconque de~$S$ et~$P$ le plan tangent en
ce point; soient $M'$~et~$P'$ le point et le plan tangent de~$S'$ qui
correspondent à~$P$ et~$M$ par polaires réciproques. On considère
la congruence~$K$ des droites~$MM'$ et la congruence~$K'$ des intersections
des plans $P$~et~$P'$. Montrer que leurs développables
se correspondent, et que les développables de~$K$ découpent
sur~$S$ et~$S'$ des réseaux conjugués. Comment les développables
de~$K$ coupent-elles~$\Sigma?$ Chercher à déterminer~$S$ de manière
que $K$~soit une congruence de normales; que peut-on dire alors
des développables de~$K$ et de la surface~$S$?

\item[42.] \DPchg{Etant}{Étant} \DPtypo{donnee}{donnée} une courbe gauche~$C$, par un point fixe~$O$ on
mène des segments~$OM$ équipollents aux diverses cordes de~$C$.
Le lieu des points~$M$ est une surface~$S_{0}$. Par chaque point~$M$
de cette surface on mène la parallèle~$\Delta$ à l'intersection
des plans osculateurs de $C$~\DPtypo{menes}{menés} aux points $P$~et~$P_{1}$ de~$C$ tels
que $PP_{1}$~est équipollent à~$OM$. Soient $S_{1}$~et~$S_{2}$ les deux nappes de
la surface focale de la congruence des droites~$\Delta$:

%[** TN: Regularized formatting of parts]
\Primo. déterminer
$S_{1}$~et~$S_{2}$, leur~$ds^2$, leur~$\sum l\,d^{2}x$. Montrer que les
asymptotiques se correspondent sur $S_{1}$~et~$S_{2}$. Quelles sont les
courbes de $S_{0}$ qui leur correspondent?

\Secundo. Condition nécessaire
et suffisante que doit remplir~$C$ pour que la congruence
des droites~$\Delta$ soit une congruence de normales. Trouver alors
l'une des surfaces normales. Montrer que les rayons de courbure
de~$\Sigma$ sont fonctions l'un de l'autre.

\Tertio. En restant
dans ce cas, rapporter le~$ds^{2}$, de $S_{1}$~aux géodésiques tangentes
aux droites~$\Delta$ et à leurs trajectoires orthogonales. En conclure
que $S_{1}$~est applicable sur un \DPchg{paraboloide}{paraboloïde} de révolution.

\textsc{Nota}. Les deux dernières parties de cet exercice se
rattachent à la fin du chapitre~XIII\@.
\end{Exercises}
%% -----File: 209.png---Folio 201-------


\Chapitre{IX}{Complexes de Droites.}

\Section{\DPchg{Eléments}{Éléments} fondamentaux d'un complexe de droites.}
{1.}{} On appelle \emph{complexe} un système de $\infty^{3}$~droites,
c'est-à-dire une famille de droites dépendant de \Card{3} paramètres.

Soit $A$ un point de l'espace, toutes les droites~$(D)$ du
complexe qui passent par ce point sont au nombre de~$\infty^{1}$, et
constituent le \emph{cône du complexe} attaché au point~$A$: nous
l'appellerons le cône~$(K)$.

Corrélativement: soit un plan~$P$, toutes les droites~$(D)$
du complexe situées dans ce plan sont au nombre de~$\infty^{1}$, et enveloppent
une courbe~$(c)$ qui est la \emph{courbe du complexe} associée
à~$P$. La tangente en tout point de cette courbe est une
droite du complexe.

Plus généralement nous appellerons \emph{courbe du complexe}
une courbe~$(c)$ dont toutes les tangentes appartiennent au complexe.
Considérons sur une telle courbe un point~$A$, et le
cône du complexe~$(K)$ associé au point~$A$. Ce cône est tangent
à la courbe~$(c)$. \emph{Une courbe du complexe est tangente en chacun
de ses points au cône du complexe associé à ce point.}

\Illustration[2.25in]{210a}%[** TN: Moved to top of paragraph]
Considérons un plan~$P$, et un point~$A$ de ce plan; cherchons
les droites du complexe situées dans le plan~$P$ et passant
par~$A$. Considérons le cône du complexe associé au point~$A$,
%% -----File: 210.png---Folio 202-------
les droites cherchées sont les
génératrices de ce cône situées dans
le plan~$P$: si nous considérons la
courbe du complexe associée au plan~$P$,
les droites cherchées sont aussi
les tangentes issues de~$A$ à cette
courbe. Cherchons dans le plan~$P$ le
lieu des points~$A$ tels que deux des
droites du complexe situées dans le plan~$P$ et passant par~$A$
soient confondues; les points~$A$ correspondants seront, d'après
ce qui précède, tels que le cône du complexe correspondant
soit tangent au plan~$P$: ils doivent aussi être sur la
courbe du complexe: les droites du complexe confondues \DPtypo{coincident}{coïncident}
avec la génératrice de contact du cône du complexe, ou
avec la tangente à la courbe du complexe. Ainsi l'on peut définir
la courbe du complexe située dans un plan comme étant
le lieu des points de ce plan pour lesquels le cône du complexe
est tangent au plan, et la génératrice de contact n'est
autre que la tangente en ce point à la courbe. La courbe du
complexe est ainsi définie par points et par tangentes.

\begin{wrapfigure}[14]{O}{1.625in}
\Input[1.5in]{210b}
\end{wrapfigure}
Considérons alors une droite~$(D)$ du complexe; prenons sur
cette droite un point~$A$, et considérons le cône~$(K)$ du complexe
associé au point~$A$; soit $P$ le plan
tangent à ce cône le long de la génératrice~$(D)$.
A chaque point~$A$ de la droite
correspond ainsi un plan~$P$. Considérons
maintenant la courbe~$(c)$ du complexe située
dans le plan~$P$, elle est tangente à
%% -----File: 211.png---Folio 203-------
la droite~$(D)$ précisément au point~$A$, de sorte qu'à chaque
plan~$P$ passant par la droite correspond un point de cette
droite. \emph{Il y a une correspondance homographique entre les
points et les plans d'une droite du complexe.}

Précisons la nature de cette homographie. Une droite
quelconque peut être représentée par \Card{2} équations de la forme
\[
\Tag{(1)}
X = a Z + f, \qquad
Y = b Z + g.
\]
Pour qu'elle appartienne à un complexe, il faut et il suffit
qu'il existe une relation entre les paramètres~$a\Add{,}b\Add{,}f\Add{,}g$:
\[
\Tag{(2)}
\phi (a,b,f,g) = 0.
\]
Cherchons alors toutes les droites du complexe infiniment
voisines de la droite~\Eq{(1)} et rencontrant cette droite. Une
telle droite peut être représentée par les équations
\[
\Tag{(3)}
X = (a + da) Z + (f + df), \qquad
Y = (b + db) Z + (g + dg).
\]
Exprimons qu'elle rencontre la droite~\Eq{(1)}. Les équations
\[
\Tag{(4)}
Z\, da + df = 0, \qquad
Z\, db + dg = 0,
\]
doivent avoir une solution commune en~$Z$, ce qui donne la condition
\[
\Tag{(5)}
da · dg - db · df = 0.
\]
Le point d'intersection~$M$ des \Card{2} droites infiniment voisines
aura alors pour cote
\[
Z = - \frac{df}{da}.
\]
Différentions la relation~\Eq{(2)}, nous avons
\[
\Tag{(6)}
\frac{\dd \phi}{\dd a}\, da +
\frac{\dd \phi}{\dd b}\, db +
\frac{\dd \phi}{\dd f}\, df +
\frac{\dd \phi}{\dd g}\, dg = 0.
\]
Supposons connu le point~$M$, nous avons les relations~\Eq{(4)} dans
lesquelles $Z$ est connu, et qui par conséquent déterminent les
rapports des différentielles. Cherchons alors le plan passant
%% -----File: 212.png---Folio 204-------
par les deux droites infiniment voisines. Il suffit de multiplier~\Eq{(3)}
respectivement par $db$ et~$-da$, et d'ajouter, il
vient, en tenant compte de~\Eq{(5)}
\[
\Tag{(7)}
(X - aZ - f)\, db - (Y - bZ - g)\, da = 0\Add{.}
\]
Telle est l'équation du plan cherché: il ne dépend que du rapport~$\dfrac{db}{da}$.
Nous en concluons que \emph{toutes les droites du complexe
infiniment voisines de la droite~$D$ et rencontrant cette droite
en un point~$M$ donné sont dans un même plan, et inversement
toutes les droites du complexe infiniment voisines de la droite~$D$
et situées dans un même plan passant par~$D$ rencontrent $D$
au même point}. Posons
\[
\lambda = \frac{da}{db}\Add{,}
\]
l'équation~\Eq{(7)} s'écrit
\[
\Tag{(8)}
X - a Z - f -\lambda (Y - b Z - g) = 0\Err{\lambda}{}\Add{.}
\]
Démontrons qu'il y a une relation homographique entre~$\lambda, Z$:
tirons en effet $df, dg$ des équations~\Eq{(4)} et portons dans~\Eq{(6)},
nous avons
\[
\left(\frac{\dd \phi}{\dd a} - Z \frac{\dd \phi}{\dd f}\right) da +
\left(\frac{\dd \phi}{\dd b} - Z \frac{\dd \phi}{\dd g}\right) db = 0
\]
et la relation d'homographie est
\[
\lambda \left(\frac{\dd \phi}{\dd a} - Z \frac{\dd \phi}{\dd f}\right)
            + \frac{\dd \phi}{\dd b} - Z \frac{\dd \phi}{\dd g} = 0.
\]

Considérons en particulier le cône du complexe de sommet~$M$;
la génératrice infiniment voisine est une droite du complexe
rencontrant $D$ en~$M$: le plan de ces \Card{2} droites est le plan
tangent au cône du complexe, et nous avons l'homographie
précédemment définie.

Considérons encore une courbe du complexe quelconque
%% -----File: 213.png---Folio 205-------
tangente à la droite~$D$ au point~$A$. Considérons une tangente
infiniment voisine à cette courbe; à la limite cette tangente
rencontre $D$ au point~$A$, et le plan de ces \Card{2} droites n'est autre
que le plan osculateur à la courbe au point~$A$, et ce plan
osculateur est associé au point~$A$ dans l'homographie précédente.
Donc \emph{toutes les courbes du complexe tangentes à une
droite~$D$ en un même point~$A$ ont même plan osculateur en ce
point: c'est le plan tangent au cône du complexe associé au
point~$A$}.

Considérons enfin une congruence de droites appartenant
au complexe; prenons dans cette congruence une droite~$D$, et
sur cette droite un point focal~$A$; le point~$A$ appartient à
une des nappes de la surface focale de la congruence; il appartient
aussi à l'arête de rebroussement d'une des développables
de la congruence, et cette arête de rebroussement, enveloppe
de droites~$D$ appartenant au complexe, est une courbe du
complexe. Son plan osculateur en~$A$ est le \Ord{2}{e} plan focal de la
congruence; d'après ce qui précède, \emph{toutes les congruences du
complexe passant par la droite~$D$ et ayant un foyer en~$A$ ont
même \Ord{2}{e} plan focal relatif à la droite~$D$;} il y a correspondance
homographique entre ce \Ord{2}{e} plan focal et le point~$A$.

\Section{Surfaces du complexe.}
{2.}{} Cherchons si dans un complexe il y a des congruences
ayant une surface focale double. Sur une telle surface~$(\Phi)$
les arêtes de rebroussement des développables sont des lignes
asymptotiques; or\Add{,} ce sont des courbes du complexe.
Il s'agit donc de trouver des surfaces telles qu'une famille
%% -----File: 214.png---Folio 206-------
de lignes asymptotiques soit formée de courbes du complexe.
Considérons une telle asymptotique~$(c)$ et un de ses points~$A$.
Le plan osculateur à la courbe~$(c)$ en~$A$ est le plan tangent
au cône~$(K)$ du complexe associé au point~$A$, et ce plan osculateur
est tangent à la surface~$(\Phi)$. Les surfaces cherchées
sont donc tangentes en chacun de leurs points au cône du complexe
associé à ce point. Réciproquement soit~$(\Phi)$ une telle
surface; considérons en chacun de ses points la génératrice
de contact~$(D)$ du cône du complexe avec le plan tangent. Nous
déterminons ainsi sur la surface~$(\Phi)$ une famille de courbes
tangentes en chaque point aux droites~$(D)$; ces courbes~$(\DPtypo{C}{c})$
sont des courbes du complexe; leur plan osculateur est le
plan tangent au cône du complexe le long de la droite~$(D)$,
c'est le plan tangent à la surface~$(\Phi)$ et les courbes~$(c)$ sont
des asymptotiques de cette surface. De telles surfaces sont
appelées \emph{surfaces du complexe}.

Considérons les équations d'une droite du complexe
\[
\Tag{(1)}
x = az + f, \qquad
y = bz + g,
\]
$a\Add{,} b\Add{,} f\Add{,} g$ étant liés par l'équation
\[
\Tag{(2)}
\phi(a, b, f, g) = 0.
\]
Transportons l'origine au point~$(x, y, z)$ et appelons $X, Y, Z$ les
nouvelles coordonnées. $X, Y, Z$~sont alors les coefficients de
direction d'une droite du complexe
\[
a = \frac{X}{Z}, \qquad
b = \frac{Y}{Z},
\]
et l'équation du cône du complexe associé au point $(x\Add{,}y\Add{,}z)$ est
\[
\phi\left(\frac{X}{Z},
          \frac{Y}{Z},
          x - \frac{X}{Z} z,
          y - \frac{Y}{Z} z\right) = 0,
\]
%% -----File: 215.png---Folio 207-------
ou, en rendant homogène
\[
\Psi(X, Y, Z, xZ - zX, yZ - zY) = 0;
\]
les courbes du complexe sont alors définies par l'équation
différentielle, homogène en~$dx, dy, dz$,
\[
\Psi(dx · dy · dz, x\,dz - z\,dx, y\,dz - z\,dy) = 0.
\]
Une telle équation s'appelle une \emph{équation de Monge}, et \emph{équation
de Pfaff} si elle est du \Ord{1}{er} degré.

Prenons maintenant l'équation tangentielle du cône du
complexe
\[
F(x, y, z, U, V, W) = 0;
\]
la condition pour qu'une surface $z = G(x, y)$ soit tangente à
ce cône en chacun de ses points, est que l'équation soit vérifiée
par $U = \dfrac{\dd G}{\dd x} = p$, $V = \dfrac{\dd G}{\dd y} = q$, $W = - 1$; les surfaces du complexe
sont donc définies par l'équation aux dérivées partielles
\[
F(x, y, z, p, q, -1) = 0,
\]
qui est de la forme:
\[
\Tag{(3)}
f(x, y, z, p, q) = 0.
\]
Nous obtenons une équation aux dérivées partielles du \Ord{1}{er} ordre.
Inversement, avec les notations précédentes, toute
équation aux dérivées partielles du \Ord{1}{er} ordre pouvant se
mettre sous la forme
\[
\Tag{(4)}
f\left(x, y, z, \Err{}{-}\frac{U}{W}, \Err{}{-}\frac{V}{W}\right) = 0
\]
exprime que le plan tangent à une surface intégrale est tangent
à un certain cône associé au point de contact, mais les
génératrices de tous ces $\infty^{3}$~cônes remplissent en général tout
l'espace, et ne forment un complexe qu'exceptionnellement.

Pour pouvoir mieux préciser ce cas d'exception, rappelons
%% -----File: 216.png---Folio 208-------
les points essentiels de la théorie des équations générales
aux dérivées partielles du premier ordre, c'est-à-dire
de la forme~\Eq{(3)}.

Un \emph{élément de contact intégral} est un élément de contact
dont les coordonnées $(x, y, z, p, q)$ satisfont à l'équation donnée~\Eq{(3)}.

Le \emph{cône élémentaire} associé au point $(x, y, z)$ est l'enveloppe
des éléments de contact intégraux appartenant à ce point
son équation tangentielle est précisément l'équation~\Eq{(4)}.
Tout élément linéaire formé d'un point et d'une génératrice du
cône élémentaire associé à ce point s'appelle un \emph{élément linéaire
intégral}. Si $dx, dy, dz$~sont les coefficients de direction
d'une telle génératrice, l'équation qui caractérise les
éléments linéaires intégraux s'obtient en éliminant $p$~et~$q$
entre les équations:
\[
\Tag{(5)}
f(x, y, z, p, q) = 0, \quad
dz - p\, dx - q\, dy = 0, \quad
\frac{\dd f}{\dd p} dy - \frac{\dd f}{\dd q} dx = 0.
\]

\Illustration[1.75in]{217a}
\noindent L'équation obtenue est une équation de Monge:
\[
\Tag{(6)}
G(x, y, z, dx, dy, dz) = 0.
\]

Les \emph{courbes intégrales} sont les courbes dont tous les
éléments linéaires (points-tangentes) sont intégraux. Elles
sont définies par l'équation~\Eq{(6)}.

Une \emph{bande intégrale} est un lieu d'éléments de contact
appartenant à une même courbe (points-plans tangents), et
qui soient tous des éléments de contact intégraux. C'est donc
un ensemble de $\infty^{1}$~éléments de contact satisfaisant aux équations
\[
\Tag{(7)}
f(x, y, z, p, q) = 0, \qquad
dz - p\,dx - q\,dy = 0.
\]
%% -----File: 217.png---Folio 209-------
Si on prend une courbe quelconque et si par chacune de ses
tangentes on mène un plan tangent au cône élémentaire associé
au point de contact, on obtient une bande intégrale. Par une
courbe quelconque passent donc, si l'équation~\Eq{(3)}
est algébrique en~$p, q$, un nombre
limité de bandes intégrales. Ce nombre
se réduit de un dans le cas où la courbe
est une courbe intégrale.

\Paragraph{Par une bande intégrale passe en général
une surface intégrale et une seule.}
Les bandes intégrales qui font exception s'appellent \emph{bandes
caractéristiques}. Les courbes qui leur servent de supports
sont des courbes intégrales particulières, qu'on appelle
\emph{caractéristiques}.

Les bandes caractéristiques sont définies par les équations
\begin{gather*}
f(x, y, z, p, q) = 0, \\
%
\Tag{(8)}
\frac{dx}{\dfrac{\dd f}{\dd p}}
  = \frac{dy}{\dfrac{\dd f}{\dd q}}
  = \frac{dz}{p \dfrac{\dd f}{\dd p} + q \dfrac{\dd f}{\dd q}}
  = \frac{dp}{- \dfrac{\dd f}{\dd x} - p \dfrac{\dd f}{\dd z}}
  = \frac{dq}{- \dfrac{\dd f}{\dd y} - q \dfrac{\dd f}{\dd z}}.
\end{gather*}

On les obtient donc en intégrant un système d'équations
différentielles ordinaires. \emph{Par un élément de contact intégral
passe une bande caractéristique et une seule.}

\emph{La surface intégrale qui passe par une bande intégrale
non caractéristique donnée est engendrée par les bandes caractéristiques
passant par les divers éléments de contact intégraux
de cette bande intégrale.}

Sur une surface intégrale il y a au plus une courbe
%% -----File: 218.png---Folio 210-------
intégrale qui ne soit pas une caractéristique.

\Paragraph{Toute courbe intégrale est l'enveloppe d'une famille
de $\infty^{1}$~courbes caractéristiques.} Ces caractéristiques engendrent
une surface intégrale.

\emph{Réciproquement}: si une famille de $\infty^{1}$~caractéristiques
a une enveloppe, cette enveloppe est une courbe intégrale.

L'intégration du système~\Eq{(8)} suffit donc pour l'intégration
de l'équation~\Eq{(3)} et de l'équation de Monge~\Eq{(6)}, qui lui
est associée.

Ces trois intégrations s'achèvent enfin immédiatement si
on a une \emph{intégrale complète}, c'est-à-dire une équation où
figure deux constantes arbitraires
\[
H(x, y, z, a, b) = 0
\]
définissant des surfaces intégrales, pour toutes les valeurs
de ces constantes.

Les \emph{courbes caractéristiques} sont alors définies par les
équations
\[
H = 0,\qquad
\frac{\dd H}{\dd a} + c \frac{\dd H}{\dd b} = 0,
\]
où $c$~est une nouvelle constante arbitraire.

Une \emph{surface intégrale quelconque} s'obtient en prenant
l'enveloppe de $\infty^{1}$~surfaces, faisant partie de l'intégrale
complète, c'est-à-dire en éliminant~$a$ entre les équations\DPtypo{.}{}
\[
H(x, y, z, a, b) = 0,\qquad
\frac{\dd H}{\dd a}\, da + \frac{\dd H}{\dd b}\, db = 0,
\]
après y avoir remplacé~$b$ par une fonction arbitraire de~$a$.

Les caractéristiques tracées sur une telle surface ont
nécessairement une enveloppe; par suite on obtient une \emph{courbe
%% -----File: 219.png---Folio 211-------
intégrale quelconque}, en éliminant~$a$ entre les équations
\[
H = 0,\quad
\frac{\dd H}{\dd a}\, da + \frac{\dd H}{\dd b}\, db = 0,\quad
\frac{\dd^2 H}{\dd a^2}\, da^2 + 2 \frac{\dd^2 H}{\dd a\, \dd b}\, da\, db +
\frac{\dd^2 H}{\dd b^2}\, db^2 + \frac{\dd H}{\dd b}\, d^2 b = 0,
\]
après y avoir remplacé~$b$ par une fonction arbitraire de~$a$.

Si nous revenons maintenant au cas particulier où l'équation~\Eq{(3)}
est celle qui définit les surfaces d'un complexe,
nous voyons que les courbes intégrales sont les courbes du
complexe, et que les caractéristiques situées sur une surface
intégrale constituent la famille de $\infty^{1}$~courbes du complexe
qui sont les lignes asymptotiques de cette surface. Il en résulte
que les équations~\Eq{(8)} ont alors pour conséquence
\[
dp\, dx + dq\, dy = 0,
\]
c'est-à-dire que l'équation~\Eq{(3)} a elle-même pour conséquence
\[
\frac{\dd f}{\dd p} \left(\frac{\dd f}{\dd x}
  + p\, \frac{\dd f}{\dd z}\right) +
\frac{\dd f}{\dd q} \left(\frac{\dd f}{\dd y}
  + q\, \frac{\dd f}{\dd z}\right) = 0.
\]
On démontre que, réciproquement, les seules équations~\Eq{(3)}
pour lesquelles les caractéristiques sont les lignes asymptotiques
des surfaces intégrales, sont, (si on excepte les
équations linéaires), les équations dont les cônes élémentaires
sont les cônes des complexes de droites.

\Paragraph{Remarque.} Si le cône du complexe se réduit à un plan, le complexe
est appelé un \emph{complexe linéaire}. Le cône n'a alors pas
d'équation tangentielle, et la théorie précédente ne s'applique
plus.

Le cas des complexes linéaires sera étudié dans le chapitre
suivant.


\Section{Complexes spéciaux.}
{3.}{} Nous dirons qu'un complexe est \emph{spécial} quand l'homographie
qui existe entre les points et les plans d'une droite
%% -----File: 220.png---Folio 212-------
du complexe est spéciale. A un élément d'un système correspond
toujours le même élément dans le système associé, sauf
pour un seul élément du \Ord{1}{er} système, dont le correspondant
est indéterminé. L'équation de l'homographie étant
\[
\lambda \left(\frac{\dd \phi}{\dd a} - z\, \frac{\dd \phi}{\dd f}\right)
            + \frac{\dd \phi}{\dd b} - z\, \frac{\dd \phi}{\dd b} = 0\Add{,}
\]
la condition pour qu'on ait une homographie spéciale est
\[
\Tag{(1)}
\frac{\dd \phi}{\dd a} · \frac{\dd \phi}{\dd g} -
\frac{\dd \phi}{\dd b} · \frac{\dd \phi}{\dd f} = 0.
\]
Considérons le \emph{complexe des droites tangentes à une surface};
considérons une congruence de ce complexe; \Err{les développables}{ces développables de l'une des familles}
de la congruence seront circonscrites à la surface, l'un des
plans focaux sera indépendant de la \Err{développable}{congruence} que l'on
considère. Même résultat si on considère le \emph{complexe des
droites rencontrant une courbe donnée}. On obtient donc ainsi
des complexes spéciaux. Nous allons montrer qu'il n'y en a
pas d'autres. Prenons l'équation d'un complexe sous la forme
\[
\Phi = g - \phi(a, b, f) = 0;
\]
\Eq{(1)}~s'écrit
\[
%[** TN: Original has a leading +; suspect artifact from typist]
\Tag{(2)}
\frac{\dd \phi}{\dd a} + \frac{\dd \phi}{\dd b} · \frac{\dd \phi}{\dd f} = 0.
\]
Cette relation ne contient plus~$g$, elle doit être une identité
par rapport à~$a, b, f$. Considérons une droite~$D$ du complexe, et
les droites infiniment voisines qui la rencontrent; on a la
condition
\[
da · d\phi - db · df = 0,
\]
ou
\[
db · df - da \left(
  \frac{\dd \phi}{\dd a}\, da
+ \frac{\dd \phi}{\dd b}\, db
+ \frac{\dd \phi}{\dd f}\, df\right) = 0;
\]
remplaçons $\dfrac{\dd \phi}{\dd a}$ par sa valeur tirée de~\Eq{(2)}, il vient
\[
\frac{\dd \phi}{\dd b} · \frac{\dd \phi}{\dd f}\, da^2
  - \frac{\dd \phi}{\dd b}\, da · db
  - \frac{\dd \phi}{\dd f}\, da · df + db · df = 0,
\]
ou
\[
\Tag{(3)}
\left(\frac{\dd \phi}{\dd b}\, da - df\right)
\left(\frac{\dd \phi}{\dd f}\, da - db\right) = 0.
\]
%% -----File: 221.png---Folio 213-------
le point de rencontre de la droite~$D$ avec les droites infiniment
voisines est
\[
\Tag{(4)}
z = - \frac{df}{da} = - \frac{\dd \phi}{\dd b},
\]
de sorte qu'à tout plan passant par~$D$ correspond toujours le
même point~$F$:
\[
x = az + f,\qquad
y = bz + \phi,\qquad
z = - \frac{\dd \phi}{\dd b}.
\Tag{(5)}
\]
Différentions $x, y$
\[
dx = a\, dz + z\, da + df,\qquad
dy = b\, dz + z\, db + d \phi,
\]
d'où, en remplaçant $z$ par sa valeur
\[
dx - a\, dz = - \frac{\dd \phi}{\dd b}\, da + df,\qquad
dy - b\, dz =   \frac{\dd \phi}{\dd a}\, da + \frac{\dd \phi}{\dd f}\, df;
\]
d'où la relation
\[
\Tag{(6)}
-\frac{\dd \phi}{\dd f} (dx - a\, dz) + dy - b\, dz = 0.
\]
Les différentielles $dx, dy, dz$ sont liées par une relation linéaire
et homogène; les fonctions~$x, y, z$ sont liées au moins
par une relation.

Si on n'a qu'une relation, le lieu des points~$F$ est une
surface, et \Eq{(6)}~exprime que la droite~$D$ est tangente à cette
surface. Si on a 2~relations, le lieu des points~$F$ est une
courbe et la droite~$D$ rencontre cette courbe. Tels sont les
2~seuls cas possibles pour les complexes spéciaux.

\Paragraph{Remarques. \1.} Dans l'équation~\Eq{(3)} nous avons jusqu'à
présent considéré le seul facteur $\left(\dfrac{\dd \phi}{\dd b}\, da - df\right)$. Annulant l'autre
facteur
\[
\frac{db}{da} = \frac{\dd \phi}{\dd f},
\]
nous aurions alors des droites du complexe qui seraient
%% -----File: 222.png---Folio 214-------
toutes situées dans un même plan avec~$D$, ce plan serait le
plan singulier de l'homographie, et précisément le plan tangent
à la surface lieu des points~$F$. On voit ainsi qu'en prenant
l'un ou l'autre des facteurs, on définit la même surface
par points et par plans tangents.

\Paragraph{\2.} Si l'équation du complexe ne contient ni~$f$ ni~$g$, on
a une relation entre les coefficients de direction de la droite~$D$,
on a le complexe des droites rencontrant une même courbe
à l'infini.

\Paragraph{\3.} Le calcul précédent peut s'interpréter dans le cas
d'un complexe quelconque. L'équation~\Eq{(1)}, qui n'est plus alors
conséquence de l'équation du complexe, jointe à cette équation
du complexe, définit une congruence des droites du complexe
sur lesquelles l'homographie est spéciale. Ce sont les
\emph{droites singulières} du complexe. Alors \emph{toutes les surfaces
réglées du complexe passant par une droite singulière ont même
plan tangent au point~$F$ de cette droite défini précédemment},
ce plan tangent étant parallèle au plan
\[
-\frac{\dd \phi}{\dd f} (x - az) + y - bz = 0.
\]
Si le lieu des points singuliers est une surface, \Eq{(6)}~montre
que cette surface est aussi l'enveloppe des plans singuliers,
et les droites singulières lui sont tangentes. \emph{La surface des
singularités est une des nappes de la surface focale de la
congruence des droites singulières, les points et les plans
singuliers sont des éléments focaux de cette congruence non
associés entre eux. Si le lieu des points singuliers est une
%% -----File: 223.png---Folio 215-------
courbe, les plans singuliers sont \(d'après~\Eq{(6)}\) tangents à
cette courbe, qui est une courbe focale de la congruence des
droites singulières.}

\Paragraph{\4.} Considérons en particulier le cas des \emph{complexes du
\Ord{2}{e} degré}. En un point quelconque, le plan associé est tangent
au cône du complexe; il est unique et bien déterminé. Il ne
peut y avoir indétermination que si le cône du complexe associé
à ce point se décompose. \emph{La surface des singularités est
donc le lieu des points où le cône du complexe se décompose;
c'est aussi l'enveloppe des plans pour lesquels la courbe du
complexe se décompose}, comme le verrait par un raisonnement
analogue.

\MarginNote{Surfaces et
courbes des
complexes spéciaux.}
Revenons aux complexes spéciaux: considérons d'abord le
cas du complexe des tangentes à une surface~$(\Phi)$. Les cônes
du complexe sont les cônes circonscrits à cette surface.
Les plans tangents à~$(\Phi)$ constituent une intégrale complète.
Une intégrale quelconque est donc l'enveloppe de $\infty^{1}$~plans tangents
à~$(\Phi)$, c'est-à-dire une développable quelconque circonscrite
à~$(\Phi)$. Les caractéristiques, qui sont en général les
courbes de contact de la surface intégrale avec les surfaces,
faisant partie de l'intégrale complète, qu'elle enveloppe,
sont les génératrices rectilignes de ces développables, c'est-à-dire
les droites même du complexe. Enfin on obtiendra les
courbes intégrales en prenant l'enveloppe des caractéristiques
sur les surfaces intégrales; ce sont précisément les
arêtes de rebroussement des développables qui sont les courbes
%% -----File: 224.png---Folio 216-------
du complexe.

Considérons maintenant le complexe des droites rencontrant
une courbe; on voit de même que les surfaces du complexe
sont les développables passant par la courbe, les caractéristiques
sont les droites du complexe, et les courbes
du complexe sont les arêtes de rebroussement.

\emph{Dans les complexes spéciaux, l'équation aux dérivées partielles
du \Ord{1}{e} ordre dont dépend la recherche des surfaces du
complexe a pour caractéristiques les droites du complexe.
Réciproquement toute équation aux dérivées partielles du \Ord{1}{er} ordre
dont les caractéristiques sont des droites est associée
à un complexe spécial.}

Soit en effet l'équation aux dérivées partielles
\[
f(x, y, z, p, q) = 0
\]
dont les caractéristiques sont des droites. On obtient les
surfaces intégrales en prenant une courbe intégrale et en menant
les caractéristiques tangentes: donc les surfaces intégrales
sont des développables, et le plan tangent est le même
le long de chaque caractéristique, c'est-à-dire que $dp = 0$,
$dq = 0$ doivent être conséquences de l'équation des caractéristiques,
ce qui revient à dire que $f = 0$ doit \DPtypo{entrainer}{entraîner} comme
conséquence les équations
\[
\frac{\dd f}{\dd x} + p\, \frac{\dd f}{\dd z} = 0,\qquad
\frac{\dd f}{\dd y} + q\, \frac{\dd f}{\dd z} = 0.
\]
Supposons alors que $z$~figure dans l'équation aux dérivées
partielles et posons
\[
f = z - \Phi(x, y, p, q);
\]
%% -----File: 225.png---Folio 217-------
les conditions précédentes s'écriront
\[
\frac{\dd \Phi}{\dd x} - p = 0,\qquad
\frac{\dd \Phi}{\dd y} - q = 0,
\]
d'où il résulte que $\Phi$~est de la forme
\[
\Phi = px + qy + \Psi(p, q),
\]
et l'équation aux dérivées partielles est
\[
z - px - qy = \Psi(p, q).
\]
Le plan tangent à une quelconque des surfaces intégrales est
donc
\[
pX + qY - Z + \Psi(p\DPtypo{.}{,} q) = 0\Add{.}
\]
L'ensemble de tous ces plans a donc une enveloppe, surface ou
courbe. Le cône élémentaire associé à un point quelconque est
le cône circonscrit à cette surface ou à cette courbe, et
l'équation aux dérivées partielles est bien associée à un
complexe spécial.

\Paragraph{Remarque.} Nous avons dû supposer que $z$~figurait dans
l'équation aux dérivées partielles; s'il n'en est pas ainsi,
cette équation s'écrit
\[
\Phi(x, y, p, q) = 0
\]
et les conditions obtenues plus haut s'écrivent
\[
\frac{\dd \Phi}{\dd x} = 0,\qquad
\frac{\dd \Phi}{\dd y} = 0;
\]
$\Phi$ doit être indépendant de~$x\Add{,} y$, et l'équation aux dérivées partielles
prend la forme
\[
\Phi(p, q) = 0.
\]
On a alors le complexe des droites rencontrant une courbe à
l'infini.

Considérons par exemple l'équation
\[
1 + p^2 + q^2 = 0
\]
%% -----File: 226.png---Folio 218-------
elle définit le \emph{complexe des droites isotropes}; les courbes
du complexe sont les courbes minima, et on les obtient sans
intégration comme arêtes de rebroussement des développables
isotropes.

\Section{Surfaces normales aux droites du complexe\Add{.}}
{4.}{} Proposons-nous maintenant de chercher les \emph{surfaces
dont les normales appartiennent au complexe} défini par l'équation
\[
\Phi(a, b, f, g) = 0.
\]
Une normale à une surface du complexe est définie par les
équations
\[
\frac{X - x}{p} = \frac{Y - y}{q} = -(Z - z)
\]
ou
\[
X = -pZ + x + pz,\qquad
Y = -qZ + y + qz;
\]
de sorte que les surfaces cherchées sont définies par l'équation
aux dérivées partielles
\[
\Phi(-p, -q, x + pz, y + qz) = 0.
\]
Si une surface répond à la question, il est évident que toutes
les surfaces parallèles répondent aussi à la question.
Si le complexe est spécial, le problème revient à la recherche
d'une congruence de normales, connaissant une des multiplicités
focales. Pour le cas d'un complexe quelconque, nous
allons chercher les congruences de normales appartenant au
complexe: on obtiendra ensuite les surfaces au moyen d'une
quadrature. Pour que  $\infty^{2}$~droites:
\[
\frac{x - f}{a} = \frac{y - g}{b} = \frac{z - 0}{1}
\]
%% -----File: 227.png---Folio 219-------
soient les normales d'une même surface, la condition est, en
posant
\[
\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}},\qquad
\beta  = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}},\qquad
\gamma = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}},
\]
que $\alpha\, df + \beta\, dg$ soit une différentielle exacte. Or\Add{,} l'équation
du complexe, résolue par rapport à~$\beta$ peut s'écrire
\[
\beta = \phi(\alpha, f, g)\Add{,}
\]
et $\alpha\, df + \phi(\alpha, f, g)\, dg$ doit être une différentielle exacte par
rapport à deux variables indépendantes. Déterminons~$\alpha$ par
exemple en fonction de $f, g$, nous aurons la condition
\[
\frac{\dd \alpha}{\dd g}
  = \frac{\dd \phi}{\dd \alpha} · \frac{\dd \alpha}{\dd f}
  + \frac{\dd \phi}{\dd f}.
\]
Cherchons une solution de la forme
\[
F(\alpha, f, g) = \cte,
\]
nous avons, pour déterminer~$F$,
\[
\frac{\dd F}{\dd f} + \frac{\dd \alpha}{\dd f} · \frac{\dd F}{\dd \alpha} = 0,
\qquad
\frac{\dd F}{\dd g} + \frac{\dd \alpha}{\dd g} · \frac{\dd F}{\dd \alpha} = 0.
\]
On est ramené à l'équation
\[
\frac{\dd F}{\dd g}
  - \frac{\dd \phi}{\dd \alpha} · \frac{\dd F}{\dd f}
  + \frac{\dd \phi}{\dd f} · \frac{\dd F}{\dd \alpha} = 0,
\]
qui se ramène au système d'équations différentielles ordinaires
\[
dg = \frac{\ -df\ }{\dfrac{\dd \phi}{\dd \alpha}}
   = \frac{\ d \alpha\ }{\dfrac{\dd \alpha}{\dd f}}.
\]

Remarquons encore que \emph{les développées des surfaces cherchées
sont les surfaces pour lesquelles $\infty^{1}$~géodésiques sont
des courbes du complexe}. Ce sont les surfaces focales des congruences
considérées.


\ExSection{IX}

\begin{Exercises}
\item[43.] On considère deux plans rectangulaires, et toutes les droites
telles que le segment intercepté sur chacune d'elles par les
plans précédents ait une longueur constante. Trouver les congruences
de normales du complexe de ces droites.

\item[44.] On considère trois plans formant un trièdre trirectangle et
les droites telles que le rapport des segments déterminés par
ces trois plans sur chacune d'elles soit constant. Trouver
les surfaces dont les normales appartiennent au complexe de
ces droites. Il y a parmi ces surfaces une infinité de surfaces
du \Ord{2}{e} ordre admettant les \Card{3} plans donnés comme plans de
symétrie. Le complexe précédent est celui des normales à une
famille de quadriques homofocales, ou homothétiques par rapport
à leur centre.
\end{Exercises}
%% -----File: 228.png---Folio 220-------


\Chapitre{X}{Complexes Linéaires.}

\Section{Généralités sur les complexes algébriques.}
{1.}{} Soit une droite
\[
\Tag{(1)}
x = az + f,\qquad
y = bz + g;
\]
un \emph{complexe algébrique} sera défini par une relation algébrique
entre $a, b, f, g$:
\[
\Phi(a, b, f, g) = 0.
\]
Si on considère les droites du complexe passant par un point~$A$,
et situées dans un plan~$P$ passant par ce point, ce sont
les génératrices d'intersection du plan~$P$ avec le cône du
complexe associé au point~$A$, ou bien les tangentes issues de~$A$
à la courbe du complexe située dans le plan~$P$; si le complexe
est algébrique, le cône et la courbe sont algébriques,
et on voit que \emph{le degré du cône du complexe est égal à l'ordre
de la courbe plane du complexe}; leur valeur commune s'appelle
le \emph{degré du complexe}, c'est le nombre de droites du
complexe situées dans un plan et passant par un point de ce
plan.

Si ce nombre est égal à~$1$, on a ce qu'on appelle un
\emph{complexe linéaire}; le cône du complexe associé au point~$A$ est
un plan qu'on appelle \emph{plan focal} ou \emph{plan polaire} du point~$A$.
La courbe du complexe située dans un plan~$P$ se réduit à un
point, qu'on appelle \emph{foyer} ou \emph{pôle} du plan~$P$; si le plan~$P$ est
%% -----File: 229.png---Folio 221-------
le plan polaire du point~$A$, le point~$A$ est le pôle du plan~$P$;
\emph{il y a réciprocité entre un pôle et son plan polaire}.

\Section{Coordonnées homogènes.}
{2.}{} Pour l'étude des complexes algébriques il y a avantage
à remplacer $a, b, f, g$ par les coordonnées homogènes de
droites.

\Paragraph{Coordonnées de Plücker.} Considérons les équations d'une
droite en coordonnées cartésiennes
\[
\Tag{(2)}
\frac{X - f}{a} = \frac{Y - g}{b} = \frac{Z - h}{c},
\]
équations qui contiennent comme cas particulier les équations~\Eq{(1)}.
Nous prendrons pour coordonnées pluckériennes de la
droite les \Card{6} quantités
\[
a,\quad b,\quad c,\qquad
p = gc - hb,\qquad
q = ha - fc,\qquad
r = fb - ga\Add{.}
\]
Ces \Card{6} coordonnées sont, comme on le voit immédiatement, liées
par la relation homogène
\[
\Tag{(3)}
pa + qb + rc = 0.
\]
Ces \Card{6} paramètres liés par une relation homogène se réduisent
à~\Card{4} en réalité; $a, b, c$~sont les projections sur les axes d'un
certain segment porté par la droite; $p, q, r$~sont les moments de
ce segment par rapport aux axes (en coordonnées rectangulaires).

Voyons ce que devient l'équation du complexe. De~\Eq{(2)} on
tire
\[
X = \frac{a}{c}\, Z - \frac{q}{c},\qquad
Y = \frac{b}{c}\, Z + \frac{p}{c},
\]
et l'équation
\[
\Phi(a, b, f, g) = 0
\]
devient
\[
\Phi \left(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}, -\frac{q}{c}, \frac{p}{c}\right) = 0.
\]
%% -----File: 230.png---Folio 222-------
Cette équation peut être rendue homogène, et prend la forme
\[
\Psi(a, b, c, p, q) = 0
\]
on peut y introduire~$r$ en vertu de l'équation~\Eq{(3)}, et on obtient
finalement, pour définir le complexe, une équation homogène
entre les coordonnées pluckériennes:
\[
\chi(a, b, c, p, q, r) = 0.
\]
Réciproquement, toute équation de la forme précédente peut
être ramenée à la forme
\[
\Psi \left(a, b, c, p, -q, -\frac{pa + qb}{c}\right) = 0,
\]
et par suite à la forme primitive de l'équation du complexe.

Cherchons le \emph{cône du complexe} de sommet $(x, y, z)$. Nous
avons, $X, Y, Z$~étant les coordonnées courantes,
\begin{alignat*}{3}%[** TN: Set on one line in original]
a &= X - x, &
b &= Y - y, &
c &= Z - z, \\
\Err{}{\intertext{ou encore}}
p &= \Err{cY - bZ}{yZ - zY},\qquad &
q &= \Err{aZ - cX}{zX - xZ},\qquad &
r &= \Err{bX - aY}{xY - yX};
\end{alignat*}
l'équation du cône du complexe s'obtiendra en remplaçant $a, b, c$\Add{,}
$p, q, r$ par les valeurs précédentes dans l'équation du complexe.
C'est donc:
\[
\chi (X - x, Y - y, Z - z,
\Err{cY - bZ, aZ - cX, bX - aY}{yZ - zY, zX - xZ, xY - yX}) = 0.
\]

Si on veut une \emph{courbe du complexe}, on prendra
\begin{alignat*}{3}%[** TN: Set on one line in original]
a &= dx, &
b &= dy, &
c &= dz, \\
p &= y\, dz - z\, dy,\qquad &
q &= z\, dx - x\, dz,\qquad &
r &= x\, dy - y\, dx,
\end{alignat*}
et on a l'équation différentielle des courbes du complexe
\[
\chi(dx, dy, dz, y\, dz - z\, dy, z\, dx - x\, dz, x\, dy - y\, dx) = 0.
\]

La condition pour qu'un complexe soit spécial est
\[
\frac{\dd \Phi}{\dd a} · \frac{\dd \Phi}{\dd g}
  - \frac{\dd \Phi}{\dd b} · \frac{\dd \Phi}{\dd f} = 0;
\]
elle devient ici
\[
\frac{\dd \chi}{\dd a} · \frac{\dd \chi}{\dd p}
  + \frac{\dd \chi}{\dd b} · \frac{\dd \chi}{\dd q}
  + \frac{\dd \chi}{\dd c} · \frac{\dd \chi}{\dd r} = 0;
\]
%% -----File: 231.png---Folio 223-------
dans le cas d'un complexe algébrique quelconque, cette équation,
jointe à celle du complexe définit \emph{la congruence des
droites singulières}.

Reprenons l'homographie entre droites et plans d'une
droite du complexe; les coefficients de cette homographie
sont $\dfrac{\dd \Phi}{\dd a}$, $\dfrac{\dd \Phi}{\dd b}$, $\dfrac{\dd \Phi}{\dd f}$, $\dfrac{\dd \Phi}{\dd g}$, et par suite en coordonnées homogènes, ce
sont $\dfrac{\dd \chi}{\dd a}, \dots, \dfrac{\dd \chi}{\dd r}$. Considérons la droite $(a_{0}, b_{0}, c_{0}, p_{0}, q_{0}, r_{0})$.
L'équation
\[
\sum a\, \frac{\dd \chi}{\dd a_{0}} + \sum p\, \frac{\dd \chi}{\dd p_{0}} = 0
\]
définit un complexe linéaire contenant la droite considérée,
et sur cette droite, l'homographie pour ce complexe linéaire
est précisément la même que pour le complexe primitif. Ce
complexe linéaire est dit \emph{tangent} au complexe donné.

\Paragraph{Remarques.} Si nous définissons la droite par \Card{2} points
$(x, y, z)$ et $(x', y', z')$ nous avons
\begin{alignat*}{3}%[** TN: Set on one line in original]
a &= x' - x, &
b &= y' - y, &
c &= z' - z, \\
p &= yz' - z\Err{y}{y'},\qquad &
q &= zx' - x\Err{z}{z'},\qquad &
r &= xy' - yx';
\end{alignat*}
d'où l'équation du cône du complexe
\[
\chi (x' - x, y' - y, \DPtypo{z}{z'} - z, yz' - zy', zx' - xz', xy' - yx') = 0;
\]

Corrélativement, définissons la droite par \Card{2} plans
$(u, v, w, s)$\Add{,} $(u', v', w', s')$. On trouve facilement
\begin{alignat*}{3}%[** TN: Set on one line in original]
a &= vw' - wv', &
b &= wu' - uw', &
c &= uv' - vu', \\
p &= su' - us',\qquad &
q &= sv' - vs',\qquad &
r &= sw' - ws';
\end{alignat*}
on obtient alors l'équation tangentielle d'une courbe plane
du complexe
\[
\chi (vw' - wv', \dots, su' - us', \dots) = 0,
\]
%% -----File: 232.png---Folio 224-------
et on voit bien ainsi que la classe de cette courbe est égale
à l'ordre du cône du complexe.

\Paragraph{Coordonnées générales de Grassmann et Klein.} Plus généralement
prenons un tétraèdre de référence quelconque, et
soient $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ les coordonnées d'un point; $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$ les
coordonnées d'un plan. Considérons la droite comme définie
par \Card{2} points~$(x)\Add{,} (y)$. Nous prendrons comme coordonnées de
cette droite les quantités
\[
p_{ik} = \begin{vmatrix}
\Err{x}{x_{i}} & x_{k} \\
\Err{y}{y_{i}} & y_{k}
\end{vmatrix}
\qquad
(i, k = 1, 2, 3, 4);
\]
remarquons que l'on a $p_{ii} = 0$ et $p_{ki} = -p_{ik}$, de sorte que
l'on n'obtient ainsi que \Card{6} coordonnées $p_{12}, p_{13}, p_{14}$, $p_{23}, p_{24}, p_{34}$\Add{.}
Ce sont les moments par rapport au segment des \Card{2} points~$(x)\Add{,} (y)$
des segments égaux à~$1$ pris sur les \Card{6} arêtes du tétraèdre,
ou du moins des quantités proportionnelles à ces moments.

Si on a \Card{2} droites $(p_{ik})$~et~$(p'_{ik})$, leur moment relatif~$M$
est donné par la formule
\[
\rho M = \sum p_{ik} p'_{hl}.
\]
Si ce moment est nul, les \Card{2} droites se rencontrent. Or\Add{,} considérons
le déterminant
\[
\Theta = \begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\
y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\
y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4}
\end{vmatrix} = 0.
\]
Développons d'après la règle de Laplace, nous avons
\[
\Theta = 2 (p_{12} p_{34} + p_{13} p_{42} + p_{14} p_{\DPtypo{24}{23}})
  = 2 \Phi (p_{ik}) = 0;
\]
de sorte que la condition de rencontre des \Card{2} droites est
%% -----File: 233.png---Folio 225-------
\[
\sum p'_{ik}\, \frac{\dd \Phi}{\dd p_{ik}} = 0.
\]

Si nous définissons la droite par \Card{2} plans $(u)\Add{,} (v)$, nous
prendrons pour coordonnées
\[
q_{ik} = \begin{vmatrix}
u_{i} & u_{k} \\
v_{i} & v_{k}
\end{vmatrix}\Add{.}
\]
Cherchons les relations entre les~$p, q$. La droite étant l'intersection
des plans $(u)\Add{,} (v)$, un point de cette droite sera
l'intersection des plans $(u)\Add{,} (v)\Add{,} (w)$. On aura donc
\[
\left\{
\begin{alignedat}{5}
&u_{1} x_{1} &&+ u_{2} x_{2} &&+ u_{3} x_{3} &&+ u_{4} x_{4} &&= 0, \\
&v_{1} x_{1} &&+ v_{2} x_{2} &&+ v_{3} x_{3} &&+ v_{4} x_{4} &&= 0, \\
&w_{1} x_{1} &&+ w_{2} x_{2} &&+ w_{3} x_{3} &&+ w_{4} x_{4} &&= 0.
\end{alignedat}
\right.
\]
Considérons le déterminant
\[
\Omega = \begin{vmatrix}
u_{1} & u_{2} & u_{3} & u_{4} \\
v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} \\
w_{1} & w_{2} & w_{3} & w_{4} \\
s_{1} & s_{2} & s_{3} & s_{4}
\end{vmatrix}\Add{;}
\]
la coordonnée~$x_{i}$\DPtypo{;}{} est égale au coefficient~$S_{i}$ de~$s_{i}$. Pour avoir
un \Ord{2}{e} point de la droite, nous le définirons par les \Card{3} plans
$(u)\Add{,} (v)\Add{,} (s)$, et alors $y_{i} = W_{i}$. Considérons l'adjoint de~$\Omega$
\[
\begin{vmatrix}
U_{1} & U_{2} & U_{3} & U_{4} \\
V_{1} & V_{2} & V_{3} & V_{4} \\
W_{1} & W_{2} & W_{3} & W_{4} \\
S_{1} & S_{2} & S_{3} & S_{4}
\end{vmatrix},
\]
nous avons, en associant à chaque mineur du \Ord{2}{e} ordre de~$\Omega$ le
mineur complémentaire de l'adjoint
\[
p_{ik} = \Omega\, \frac{\dd \Phi}{\dd q_{ik}};
\]
on peut prendre~$\Omega$ comme arbitraire, et écrire
\[
p_{ik} = \frac{\dd \Phi}{\dd q_{ik}}.
\]
%% -----File: 234.png---Folio 226-------
et de même
\[
q_{ik} = \frac{\dd \Phi}{\dd p_{ik}}.
\]

L'équation du complexe sera alors $F (p_{ik}) = 0$ ou $F (q_{hl})
= 0$, d'où les équations du cône ou de la courbe du complexe.
La condition pour que le complexe soit spécial est
\[
\frac{\dd F}{\dd p_{12}} · \frac{\dd F}{\dd p_{34}} +
\frac{\dd F}{\dd p_{13}} · \frac{\dd F}{\dd p_{24}} +
\frac{\dd F}{\dd p_{14}} · \frac{\dd F}{\dd p_{23}} = 0\Add{.}
\]

\Section{Complexe linéaire.}
{3.}{} \DPchg{Etudions}{Étudions} plus spécialement le complexe linéaire. Son
équation s'écrit
\[
\sum A_{hl} p_{ik} = 0;
\]
le complexe est spécial s'il satisfait à la relation
\[
A_{12} A_{34} + A_{13} A_{42} + A_{14} A_{23} = 0,
\]
et cette équation exprime que les~$A$ sont les coordonnées d'une
droite; l'équation du complexe exprime que toute droite du
complexe rencontre cette droite. \emph{Un complexe linéaire spécial
est constitué par les droites rencontrant une droite fixe},
qu'on appelle \emph{directrice du complexe}.

Si on a une droite du complexe, un point~$A$ de cette droite et
son plan polaire~$P$, le cône du complexe se réduisant ici au
plan~$P$, l'homographie du complexe est celle des plans de la
droite~$D$ associés à leurs pôles.

\Section{Faisceau de complexes.}
{4.}{} Soient \Card{2} complexes linéaires
\[
\sum A_{hl} p_{ik} = 0, \qquad
\sum B_{hl} p_{ik} = 0;
\]
l'équation
\[
\sum (A_{hl} + \lambda B_{hl}) p_{ik} = 0
\]
représentera un \emph{faisceau de complexes}. Cherchons dans ce
faisceau les complexes spéciaux. Ils sont définis par
%% -----File: 235.png---Folio 227-------
l'équation
\begin{align*}%[** TN: Rebroken]
     &(A_{14} + \lambda B_{14})(A_{23} + \lambda B_{23}) \\
{}+{}&(A_{12} + \lambda B_{12})(A_{34} + \lambda B_{34}) \\
{}+{}&(A_{13} + \lambda B_{13})(A_{24} + \lambda B_{24}) = 0,
\end{align*}
équation du \Ord{2}{e} degré. \emph{Dans un faisceau de complexes linéaires
il y a donc \Card{2} complexes \DPtypo{speciaux}{spéciaux}.} Cherchons a quelles conditions
il y a racine double. Supposons que $\lambda = 0$ soit racine,
on a
\[
\sum A_{12} A_{34} = 0,
\]
et l'équation précédente se réduit à
\[
A_{12} B_{34} + A_{34} B_{12} + \dots + \lambda (B_{12} B_{34} + \dots ) = 0.
\]
Nous appellerons \emph{invariant du complexe} la quantité
\[
\Delta_{A} = A_{12} A_{34} + A_{13} A_{\DPtypo{42}{24}} + A_{14} A_{23},
\]
et \emph{invariant relatif} la quantité
\[
\Delta_{AB} = \sum  B_{ik}\, \frac{\dd \Delta_{A}}{\dd A_{ik}};
\]
l'équation devient alors
\[
\Delta_{AB} + \lambda \Delta_{B} = 0;
\]
pour que $\lambda = 0$ soit racine double, il faut que $\Delta_{AB} = 0$. Or\Add{,} les
$A_{ik}$ sont des coordonnées de droite, la condition $\Delta_{AB} = 0$ exprime
que cette droite appartient au \Ord{2}{e} complexe qui définit le
faisceau. Elle appartient évidemment au \Ord{1}{er}. Donc \emph{pour que
l'un des complexes spéciaux soit double, il faut et il suffit
que sa directrice appartienne à tous les complexes du faisceau}\Add{.}
Pour que l'équation se réduise à une identité, c'est-à-dire
pour que tous les complexes du faisceau soient spéciaux, il
faut encore que $\Delta_{B} = 0$; il faut donc que les \Card{2} complexes
soient spéciaux, et que leurs directrices se rencontrent.

Nous appellerons \emph{congruence linéaire} l'ensemble des
droites communes à \Card{2} complexes linéaires. Par tout point de
%% -----File: 236.png---Folio 228-------
l'espace passe une droite de cette congruence, et dans tout
plan il y a une droite. Considérons le faisceau déterminé par
les \Card{2} complexes qui définissent la congruence. Si ce faisceau
a \Card{2} complexes spéciaux distincts, toutes les droites de la
congruence appartiennent à ces complexes spéciaux, et par
suite rencontrent \Card{2} directrices fixes. \emph{Une congruence linéaire
est formée en général des droites rencontrant \Card{2} directrices
fixes.} Si les complexes spéciaux sont confondus, soit $\Delta$ leur
directrice commune; considérons un complexe quelconque~$(c)$ du
faisceau. $\Delta$~est une droite du complexe~$(c)$; à chaque point~$A$
de~$\Delta$ correspond son plan polaire par rapport au complexe~$(c)$;
les droites de la congruence passant par~$A$ et appartenant au
complexe~$(c)$ sont dans ce plan polaire. Or\Add{,} les points de~$\Delta$
ont même plan polaire par rapport à tous les complexes du
faisceau. Les droites de la congruence rencontrent la droite~$\Delta$,
et pour chaque point de cette droite sont situées dans le
plan polaire correspondant.

\Section{Complexes en involution.}
{5.}{} Reprenons le faisceau de complexes précédent. Les \Card{2} complexes
de base sont dits \emph{en involution} si on a $\Delta_{AB} = 0$.
Considérons une droite~$D$ commune aux \Card{2} complexes. A un point~$A$
de cette droite correspond son plan polaire dans chacun des
complexes, soient $P, Q$ ces plans; il en résulte une correspondance
homographique entre les plans $P, Q$ de la droite.
De même, en partant d'un plan de la droite, on verrait qu'il
existe une homographie entre les points de la droite. Cherchons
les plans doubles de cette homographie. Considérons une des
directrices~$\Delta$ de la congruence linéaire définie par les \Card{2} complexes,
%% -----File: 237.png---Folio 229-------
et le plan~$D \Delta$; le pôle de ce plan est l'intersection~$A'$
de~$D$ avec la \Ord{2}{e} directrice~$\Delta'$,
car toutes les droites passant par~$A'$
et rencontrant $\Delta$ appartiennent à la
congruence, et par suite aux \Card{2} complexes.
Ainsi $A'$~est foyer du plan~$D \Delta$;
il est aussi évidemment foyer
du plan~$D \Delta'$; et l'on voit facilement
que ces \Card{2} plans sont les plans doubles cherchés. Maintenant
pour que l'homographie entre les plans~$P, Q$ soit une involution,
il faut que les plans $P\Add{,}Q$ soient conjugués par rapport à
ces plans doubles. L'équation du plan polaire d'un point par
rapport à un complexe quelconque du faisceau est
\[
\sum (A_{hl} + \lambda B_{hl})
\begin{vmatrix}
X_{i}   &   X_{k}  \\
x_{i}   &   x_{k}
\end{vmatrix} = 0,
\]

\Illustration[1.25in]{237a}
\noindent équation de la forme
\[
P + \lambda Q = 0.
\]
Considérons alors \Card{4} complexes quelconques du faisceau, le
rapport anharmonique des \Card{4} plans polaires d'un même point
dans ces \Card{4} complexes est égal au rapport anharmonique des \Card{4} quantités~$\lambda$
correspondantes. Or\Add{,} prenons en particulier les \Card{2} complexes
de base et les complexes spéciaux. Les valeurs de
correspondantes sont~$0, \infty$, et les racines de l'équation
\[
\sum (A_{14} + \lambda B_{14}) (A_{23} + \lambda B_{23}) = 0;
\]
et la condition pour que les \Card{2} \Ord{1}{ères} soient conjuguées harmoniques
par rapport aux \Card{2} autres est
\[
\lambda_{1} + \lambda_{2} = 0
\]
ou $\Delta_{AB} = 0$. \emph{Ainsi donc si \Card{2} complexes sont en involution, les
%% -----File: 238.png---Folio 230-------
plans polaires d'un point dans ces \Card{2} complexes sont conjugués
harmoniques par rapport aux plans passant par ce point et
par les directrices de la congruence commune aux \Card{2} complexes.
Et réciproquement.}

\Paragraph{Application.} On peut généraliser encore les coordonnées
de droites. Reprenons la relation fondamentale
\[
ap + bq + cr = 0;
\]
elle est homogène et du \Ord{2}{e} degré. Or\Add{,} il existe un type remarquable
d'équations du \Ord{2}{e} degré, celui où ne figurent que les
carrés. Posons
\begin{alignat*}{3}
a + ip &= t_{1},        & b + iq &= t_{3},        & c + ir &= t_{5}, \\
a - ip &= it_{2},\qquad & b - iq &= it_{4},\qquad & c - ir &= it_{6};
\end{alignat*}
la condition précédente devient
\[
t_{1}^{2} + t_{3}^{2} + t_{5}^{2} + t_{2}^{2} + t_{4}^{2} + t_{6}^{2} = 0.
\]
On introduit comme coordonnées homogènes les $t$, qui sont des
fonctions linéaires homogènes des coordonnées pluckériennes.
En égalant ces \Card{6} coordonnées à~$0$, on a les équations de \Card{6} complexes
qui sont \Card{2} à \Card{2} en involution, car on voit facilement
que la condition pour que les \Card{2} complexes
\[
\sum A_{i} t_{i} = 0, \qquad
\sum B_{i} t_{i} = 0,
\]
soient en involution est
\[
\sum A_{i} B_{i} = 0.
\]

\Section{Droites conjuguées.}
{6.}{} Considérons un complexe~$(c)$ et une droite~$\Delta$ n'appartenant
pas à ce complexe\DPtypo{;}{.} Considérons la congruence commune
à~$(c)$ et au complexe spécial de directrice~$\Delta$\DPtypo{;}{.} Cette
congruence a une \Ord{2}{e} directrice $\Delta'$ qui est dite la \emph{droite conjuguée} %[**TN: Partial hyphenated word in original]
%% -----File: 239.png---Folio 231-------
de~$\Delta$. Il y a évidemment réciprocité entre ces \Card{2} droites.
\emph{Toutes les droites du complexe~$(c)$ qui rencontrent
la droite~$\Delta$ rencontrent sa conjuguée~$\Delta'$}, puisque ce sont des
droites de la congruence, et inversement \emph{toute droite rencontrant
à la fois les \Card{2} droites conjuguées~$\Delta\Add{,} \Delta'$ appartient à la
congruence et par suite au complexe}. Si on considère un point~$A$
de~$\Delta$, son plan polaire passe par~$\Delta'$, puisque toutes les
droites passant par~$A$ et rencontrant~$\Delta'$ appartiennent au complexe.
\emph{$\Delta'$~est donc l'enveloppe des plans polaires des points
de sa conjuguée~$\Delta$}. On voit de même \emph{que $\Delta'$~est le lieu des pôles
des plans passant par sa conjuguée~$\Delta$}. Si la droite~$\Delta$ appartient
au complexe~$(c)$, la congruence précédente a ses \Card{2} directrices
confondues. \emph{Les droites du complexe sont à elles-mêmes
leurs conjuguées.}

Supposons l'équation du complexe
\[
F (a, b, c, p, q, r) = Pa + Qb + Rc + Ap + Bq + Cr = 0\DPtypo{;}{.}
\]
Cherchons les coordonnées $(a', b', c', p', q', r')$ de la conjuguée
d'une droite $(a, b, c, p, q, r)$. Il suffit d'exprimer que le complexe
donné, et les complexes spéciaux ayant pour directrices
les droites $(a, b, c, p, q, r)$\Add{,} $(a', b', c', p', q', r')$ appartiennent à un
même faisceau, ce qui donne
\[
P + \lambda p + \lambda' p' = 0, \quad\text{et les analogues}\dots.
\]
Multiplions respectivement par $a, b, c, p, q, r$ et ajoutons membre
à membre, le coefficient de~$\lambda$ \DPchg{disparait}{disparaît} et nous avons
\[
F(a, b, c, p, q, r) + \lambda' \sum (ap' + pa') = 0;
\]
posons pour abréger
\[
\sum (ap' + pa') = \sigma,
\]
%% -----File: 240.png---Folio 232-------
nous avons
\[
\Tag{(1)}
F(a, b, c, p, q, r) + \lambda' \sigma = 0.
\]
Si nous multiplions par $a', b', c', p', q', r'$ et si nous ajoutons, c'est
le coefficient de~$\lambda'$ qui \DPchg{disparaitra}{disparaîtra} et nous aurons
\[
\Tag{(2)}
F(a', b', c', p', q', r') + \lambda \sigma = 0.
\]
Enfin si nous multiplions par $A, B, C, P, Q, R$, nous obtenons, en
posant
\begin{gather*}
\Delta = AP + BQ + \Err{c}{C}R, \\
2\Delta + \lambda F (a, b, c, p, q, r)
  + \lambda' F(a', b', c', p', q', r') = 0\Add{,}
\end{gather*}
ce qui peut s'écrire, en tenant compte de~\Eq{(1)}\Add{,}~\Eq{(2)}
\[
\Delta = \lambda \lambda' \sigma,
\]
d'où
\[
\lambda = \frac{\Delta}{\lambda' \sigma}
      = - \frac{\Delta}{F(a, b,c, p, q, r)};
\]
et nous pouvons prendre pour coordonnées de la droite conjuguée
\[
a = A - \frac{\Delta}{F(a\Add{,} \dots)}\, a, \quad\text{et les analogues}, \dots
\]
ou
\[
a' = AF(a, b, c, p, q, r) - \Delta a, \quad\text{et les analogues}, \dots.
\]

Supposons qu'on prenne \Card{2} droites conjuguées pour arêtes
opposées du tétraèdre de référence. Si nous appelons $x, y, z, t$
les coordonnées tétraédriques, nous aurons
\begin{alignat*}{3}
a &= xt' - tx', &
b &= yt' - ty', &
c &= zt'- tz', \\
p &= yz' - zy', \qquad &
q &= zx' - xz', \qquad &
r &= xy' - yx'.
\end{alignat*}
Supposons qu'on prenne pour droites conjuguées les droites
$(x = 0, y = 0)$ et $(z = 0, t = 0)$. Leurs coordonnées sont
\begin{align*}
&a = 0,     && b = 0,    && c,         && p = 0, && q = 0, && r = 0; \\
&a' = 0, && b' = 0, && c' = 0, && p' = 0, && q' = 0, && r'.
\end{align*}
Exprimons que ces droites sont conjuguées. D'après les conditions
%% -----File: 241.png---Folio 233-------
trouvées précédemment, nous avons
\begin{alignat*}{3}
0 &= AF (a\Add{,} \dots),\qquad &
0 &= BF (a\Add{,} \dots),\qquad &
0 &= CF - \Delta c, \\
%
0 &= PF, &
0 &= QF, &
r' &= RF.
\end{alignat*}
Or,
\[
F(a, b, c, p, q, r) = F(0, 0, c, 0, 0, 0) = Rc;
\]
il en résulte que $A = 0, B = 0, P = 0, Q = 0$. Alors
\[
\Delta = RC,
\]
et l'équation du complexe devient
\[
Cr + Rc = 0,
\]
ou
\[
r = kc.
\]

En particulier cherchons à effectuer cette réduction en
axes cartésiens. Nous supposerons que $\Delta$ soit l'axe~$Oz$ et que
$\Delta'$ soit rejetée à l'infini dans le plan des~$x\Add{,}y$. Il faut
d'abord montrer qu'il y a des droites dont la conjuguée peut
être rejetée à l'infini. Pour qu'une droite $(a, b, c, p, q, r)$
soit à l'infini, il faut que $a = 0$, $b = 0$, $c = 0$; et d'après
les formules précédemment trouvées, nous avons pour les conjuguées
de ces droites
\[
\frac{a'}{A} = \frac{b'}{B} = \frac{c'}{C}
  = \frac{F(0, 0, 0, p, q, r)}{\Delta};
\]
$a', b', c'$ sont donc proportionnels à des quantités fixes. \emph{Les
conjuguées des droites de l'infini sont parallèles à une
même direction. Ces droites sont les lieux des pôles des plans
parallèles à un plan fixe.} On les appelle \emph{diamètres}. En rapportant
donc un complexe à un diamètre et au plan conjugué,
on peut mettre l'équation du complexe sous la forme
\[
r = kc.
\]

On peut obtenir cette réduction en axes rectangulaires.
Il existe en effet une infinité de droites perpendiculaires
à leurs conjuguées. Elles sont définies par la relation
%% -----File: 242.png---Folio 234-------
\[
aa' + bb' + cc' = 0,
\]
ou
\[
(Aa + Bb + Cc) F(a, b, c, p, q, r) - \Delta (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 0.
\]
Ces droites constituent donc un complexe du \Ord{2}{e} degré. Prenons
un diamètre quelconque $(a, b, c, p, q, r)$. Le plan conjugué, passant
par l'origine a pour équation
\[
p'X + q'Y + r'Z = 0;
\]
la condition pour qu'il soit perpendiculaire au diamètre est
\[
\frac{a}{p'} = \frac{b}{q'} = \frac{c}{r'},
\]
ou
\[
\frac{a}{PF - \Delta p} = \frac{b}{QF - \Delta q} = \frac{c}{RF - \Delta r};
\]
la droite conjuguée du diamètre étant à l'infini, on peut remplacer
$a, b, c$ par $A, B, C$, ce qui donne
\[
\frac{A}{PF - \Delta p} = \frac{B}{QF - \Delta q} = \frac{C}{RF - \Delta r}.
\]
On a
\[
ap + bq + cr = 0,
\]
donc ici
\[
Ap + Bq + Cr = 0;
\]
et
\[
F(a, b, c, p, q, r) = Pa + Qb + Rc\Add{.}
\]
Multiplions alors les \Card{2} termes des rapports précédents respectivement
par $A, B, C$ et ajoutons, nous obtenons le rapport égal~$\dfrac{\sum A^{2}}{\Delta F}$;
nous pouvons alors prendre  $a = A$, $b = B$, $c = C$ et $F =\Delta$,
et enfin
\[
\frac{A}{P \Delta - p \Delta} = \frac{\sum A^{2}}{\Delta^{2}},
  \quad\text{et les analogues\Add{,}}
\]
d'où
\[
p = P - \frac{A \Delta}{\sum A^{2}}, \qquad
q = Q - \frac{B \Delta}{\sum B^{2}}, \qquad
r = R - \frac{C \Delta}{\sum C^{2}}.
\]
Nous obtenons ainsi un diamètre perpendiculaire au plan conjugué,
c'est \emph{l'axe du complexe} et on a l'équation réduite en
coordonnées rectangulaires
\[
r - mc = 0.
\]
Le complexe ne dépend que d'un seul paramètre~$m$ par rapport
%% -----File: 243.png---Folio 235-------
au groupe des mouvements.

Si $r = 0$, $c = 0$, l'équation est satisfaite; or\Add{,} $r = 0$,
$c = 0$ sont les coordonnées des droites rencontrant $Oz$ et perpendiculaire
à~$Oz$. \emph{Le complexe contient toutes les droites
rencontrant l'axe et perpendiculaires à l'axe}; $c, r$~sont des
coordonnées qui ne changent pas si on fait tourner la droite
autour de~$Oz$; de même si on la déplace parallèlement à~$Oz$.
Autrement dit \emph{un mouvement \DPchg{hélicoidal}{hélicoïdal} d'axe~$Oz$ laisse le complexe
inaltéré. Il en résulte que si on a $\infty^{1}$~droites appartenant
au complexe et ne dérivant pas les unes des autres par
un mouvement \DPchg{hélicoidal}{hélicoïdal}, on obtiendra toutes les droites du
complexe en faisant subir à ce système de droites les translations
et rotations précédentes}. Considérons les droites dont
les coordonnées~$a, p$ sont nulles, et cherchons parmi ces
droites celles qui appartiennent au complexe; nous trouvons
les droites
\[
bx = mc, \qquad
cy - bz = 0,
\]
qui constituent une famille de génératrices du \DPchg{paraboloide}{paraboloïde}
\[
xy - mz = 0.
\]
Par conséquent, \emph{pour obtenir toutes les droites d'un complexe,
il suffit de prendre un système de génératrices d'un \DPchg{paraboloide}{paraboloïde}
et de faire subir à chacune d'elles un des mouvements
précédents}.

\Section{Réseau de complexes.}
{7.}{}
$\Phi = 0$, $\Phi' = 0$, $\Phi'' = 0$ étant les équations de \Card{3} complexes
linéaires, un \emph{réseau de complexes} sera défini par l'équation
%% -----File: 244.png---Folio 236-------
\[
\lambda \Phi + \lambda' \Phi' + \lambda'' \Phi'' \DPtypo{+}{} = 0.
\]
Considérons les droites communes à tous les complexes du réseau,
c'est-à-dire communes aux \Card{3} complexes $\Phi = 0$, $\Phi' = 0$,
$\Phi'' = 0$; il y en a $\infty^{1}$; elles appartiennent aux complexes spéciaux
du réseau, on peut les définir au moyen de \Card{3} de ces complexes
spéciaux. Or\Add{,} un complexe spécial est formé de toutes
les droites rencontrant sa directrice; les droites précédentes
rencontrent donc \Card{3} droites fixes, elles constituent un
système de génératrices d'une quadrique, le \Ord{2}{e} système de génératrices
comprenant les directrices des complexes spéciaux
du réseau.

\Paragraph{Application. On peut définir un complexe par \Card{5} droites
n'appartenant pas à une même congruence linéaire.} Soient en
effet les droites $1, 2, 3, 4, 5$;  donnons-nous un point~$P$ et cherchons-en
le plan polaire; considérons les droites $1, 2, 3, 4$;
il existe deux droites $\Delta\Add{,} \Delta'$ qui rencontrent ces \Card{4} droites, ces
droites sont conjuguées par rapport au complexe, et alors la
droite passant par~$P$ et s'appuyant sur~$\Delta\Add{,} \Delta'$ appartient au complexe.
De même en considérant les droites $2, 3, 4, 5$, nous aurons
une \Ord{2}{e} droite passant par~$P$ et appartenant au complexe;
le plan polaire de~$P$ est alors déterminé par ces \Card{2} droites.

\Section{Courbes du complexe.}
{8.}{} Proposons-nous de déterminer les courbes du complexe
\[
r = kc.
\]
Considérons une droite passant par un point~$(x, y, z)$ et de
coefficients directeurs~$a, b, c$; pour qu'elle appartienne au
complexe, il faut que l'on ait
%% -----File: 245.png---Folio 237-------
\[
bx - ay = kc\Add{,}
\]
et l'équation différentielle des courbes du complexe est alors
\[
\Tag{(1)}
x\, dy - y\, dx = k · dz.
\]
Cette équation s'écrit
\[
x^{2}\, d\left(\frac{y}{x}\right) = d(kz)\Add{,}
\]
posons
\[
\Tag{(2)}
kz = Y, \qquad \frac{y}{x} = X, \qquad x^{2} = P;
\]
l'équation précédente s'écrit
\[
dY - P\, dX = 0\Add{,}
\]
elle montre que $P$~est la dérivée de~$Y$ par rapport à~$X$. On a
donc la solution générale de~\Eq{(1)}
\[
\Tag{(3)}
X = \phi(t), \qquad
Y = \Psi(t), \qquad
P = \frac{d\Psi}{d\phi};
\]
d'où $x\Add{,}y\Add{,}z$ exprimées en fonction d'une \DPtypo{varable}{variable} arbitraire~$t$ au
moyen de \Card{2} fonctions arbitraires. Si on prend pour variable
indépendante~$X$, on aura
\[
Y = f(X)\Add{,} \qquad
P = f'(X)\Add{,}
\]
d'où les équations de la courbe
\[
\Tag{(4)}
kz = f \left(\frac{y}{x}\right), \qquad
x^{2} = f' \left(\frac{y}{x}\right)\DPtypo{;}{.}
\]
On pourra poser
\[
\frac{y}{x} = u\Add{,}
\]
d'où les expressions de $x\Add{,}y\Add{,}z$ en fonction de~$u$
\[
\Tag{(5)}
x =   \sqrt{f'(u)}, \qquad
y = u \sqrt{f'(u)}, \qquad
z = \frac{1}{k}\, f(u).
\]

Il est facile, en particularisant la forme de la fonction~$f$,
d'obtenir des courbes remarquables du complexe.

\ParItem{\Primo.} \DPtypo{on}{On} obtiendra toutes les courbes algébriques du complexe
en prenant pour~$f$ une fonction algébrique de~$u$. Posons
en particulier
\[
f(u) = \frac{u^{3}}{3}\Add{,}
\]
%% -----File: 246.png---Folio 238-------
alors
\[
f'(u) = u^2\Add{,}
\]
et nous avons
\[
\Tag{(6)}
x = u, \qquad
y = u^2, \qquad
z = \frac{u^3}{3k};
\]
ces équations sont celles d'une cubique gauche osculatrice au
plan de l'infini dans le direction $x = 0$, $y = 0$. Réciproquement
on peut par une transformation projective ramener les équations
de toute cubique gauche à la forme précédente, d'où il
résulte que \emph{les tangentes à toute cubique gauche appartiennent
à un complexe linéaire}.

\ParItem{\Secundo.} Les formules générales~\Eq{(5)} contiennent un radical,
provenant de ce qu'on a posé $x^2 = P$. On fera \DPchg{disparaitre}{disparaître} le
radical en choisissant le paramètre de façon que $P$~soit carré
parfait. Pour cela considérons la courbe plane~$(X\Add{,}Y)$ considérée
comme enveloppe de la droite
\[
Y - u^2X + 2 \phi(u) = 0,
\]
car on a bien alors
\[
\frac{dY}{dX} = u^2;
\]
l'enveloppe est définie par l'équation de la droite et par
\[
-uX + \phi'(u) = 0\Add{,}
\]
d'où l'on tire
\[
X = \frac{\phi'(u)}{u}, \qquad
Y = u\phi'(u) - 2\phi(u);
\]
d'où
\[
\Tag{(7)}
x = u, \qquad
y = \phi' (u), \qquad
z = \frac{1}{k} \bigl[u\phi'(u) - 2\phi(u)\bigr];
\]
et ces formules permettent de trouver toutes les courbes unicursales
du complexe; il n'y a qu'à prendre pour~$u$ une fonction
rationnelle d'un paramètre arbitraire, et pour~$\phi$ une
%% -----File: 247.png---Folio 239-------
fonction rationnelle de~$u$.

\ParItem{\Tertio.} L'équation différentielle~\Eq{(1)} peut encore s'écrire
\[
(x^2 + y^2)\, d \left(\arctg \frac{y}{x}\right) = k\, dz;
\]
posons
\[
kz = Y, \qquad
\arctg \frac{y}{x} = X, \qquad
x^2 + y^2 = P = \frac{dY}{dX}.
\]
En prenant $X$ comme variable indépendante, on aura la solution
générale
\[
\arctg \frac{y}{x} = \omega, \qquad
kz = f(\omega), \qquad
x^2 + y^2 = f'(\omega);
\]
qu'on peut encore écrire
\[
\Tag{(8)}
x = \sqrt{f'(\omega)} · \cos\omega, \qquad
y = \sqrt{f'(\omega)} \Add{·} \sin\omega, \qquad
z = \frac{1}{k} f(\omega).
\]
On obtient des courbes particulières en prenant
\[
f(\omega) = R^2 \omega + C;
\]
d'où
\[
\Tag{(9)}
x = R \cos\omega, \qquad
y = R \sin\omega, \qquad
z = \frac{R^2}{k} \omega + a;
\]
\DPtypo{Ce}{ce} sont des hélices tracées sur des cylindres de révolution
autour de l'axe du complexe. Le pas de ces hélices~$\dfrac{2 \pi R^2}{k}$ est
uniquement fonction de~$R$, donc \emph{toutes les hélices du complexe
tracées sur un même cylindre ayant l'axe du complexe pour axe
ont même pas}.

\MarginNote{Propriétés
générales des
courbes du
complexe.}
Il résulte immédiatement de la définition des courbes
d'un complexe que, \emph{dans un complexe linéaire, le plan polaire
d'un point d'une courbe du complexe est le plan osculateur à
la courbe en ce point}. Considérons alors les plan osculateurs
à une courbe du complexe issus d'un point~$P$. Soit~$A$ l'un des
points de contact; le plan osculateur en~$A$ étant le plan
%% -----File: 248.png---Folio 240-------
polaire de~$A$, la droite~$PA$ appartient au complexe, et par suite
est dans le plan polaire de~$P$. Il en résulte que \emph{les points
de contact des plans osculateurs issus d'un point à une courbe
d'un complexe linéaire sont dans un même plan}. En particulier
\emph{les points de contact des plans osculateurs issus d'un
point à une cubique gauche sont dans un même plan passant par
le point donné}.

Prenons les formules~\Eq{(7)}. Nous trouvons
\begin{align*}
A &= y' z''- z' y'' = \frac{1}{k} \phi' \phi'' = \frac{y}{k} \phi''', \\
B &= z' x'' - x' z'' = - \frac{u}{k} \phi''' = - \frac{x}{k} \phi''', \\
C &= x' y'' - y' x'' = \phi''' = \phi''';
\end{align*}
et
\[
\begin{vmatrix}
x'    &  y'    &  z'   \\
x''   &  y''   &  z''  \\
x'''  &  y'''  &  z'''
\end{vmatrix} = \frac{1}{k}\, \phi'''{}^2.
\]
On voit alors que la torsion au point $(x,y,z)$ est donnée par
\[
T = -\frac{x^2 + y^2 + z^2}{k};
\]
Elle ne dépend que du point, et pas de la courbe. Donc \emph{toutes
les courbes du complexe linéaire passant par un point ont
même torsion en ce point \(Sophus Lie\)}.

\Section{Surfaces normales du complexe.}
{9.}{} Il n'y a pas lieu de rechercher les surfaces d'un
complexe linéaire. Soit en effet le complexe linéaire
\[
ay - bx + kc = 0;
\]
le plan polaire du point $(x,y,z)$ est parallèle au plan
\[
Xy - Yx + kZ = 0,
\]
%% -----File: 249.png---Folio 241-------
et pour qu'une surface soit tangente à ce plan, il faudrait
que l'on eût
\[
\frac{p}{y} = \frac{q}{-x} = \frac{-1}{k},
\]
ou
\[
p = -\frac{y}{k}, \qquad
q =  \frac{x}{k};
\]
et la condition d'intégrabilité
\[
\frac{\dd p}{\dd y} = \frac{\dd q}{\dd x}
\]
n'est pas réalisée. Le problème est impossible.

Nous nous proposerons alors de chercher les surfaces
dont les normales sont des droites du complexe. Nous aurons à
intégrer l'équation aux dérivées partielles
\[
py - qx - k = 0,
\]
ce qui revient à l'intégration du système
\[
\frac{dx}{y} = \frac{dy}{-x} = \frac{dz}{k} = - dt,
\]
qui est précisément le système auquel on arrive lorsqu'on recherche
les courbes normales aux plans polaires de leurs
points\Add{.} Nous pouvons écrire
\[
dx = -y·dt, \qquad
dy =  x·dt, \qquad
dz = -k·dt;
\]
système qui s'intègre immédiatement et donne
\[
x = R \cos t, \qquad
y = R \sin t, \qquad
z = - kt + h.
\]
Ces trajectoires orthogonales dépendent de \Card{2} constantes arbitraires.
Ce sont des hélices circulaires ayant toutes même
pas, trajectoires d'un mouvement \DPchg{hélicoidal}{hélicoïdal} uniforme de pas~$-2k$.
D'où l'interprétation cinématique du complexe linéaire:
considérons un mouvement \DPchg{hélicoidal}{hélicoïdal} uniforme; à chaque point~$M$
correspond la vitesse de ce point, et le plan polaire du
point~$M$ dans le complexe est le plan perpendiculaire à cette
%% -----File: 250.png---Folio 242-------
vitesse. \emph{Le complexe linéaire est constitué par les normales
aux vitesses du mouvement instantané d'un corps solide.}

Les surfaces normales du complexe sont définies par les
équations
\[
x = v \cos u, \qquad
y = v \sin u, \qquad
z = - ku + \phi(v);
\]
car elles sont évidemment engendrées par les hélices précédentes.
Ce sont les \DPchg{hélicoides}{hélicoïdes} engendrés par un profil quelconque
dans le mouvement précédent. Les \DPtypo{equations}{équations} précédentes
\DPtypo{representent}{représentent} d'ailleurs \DPchg{l'hélicoide}{l'hélicoïde} le plus général. Il en
résulte que \emph{les normales issues d'un point à un \DPchg{hélicoide}{hélicoïde}
sont dans un même plan} (plan polaire de ce point).

\Paragraph{Remarque.} Les hélices trajectoires orthogonales des
plans polaires s'obtiennent en faisant $v = \cte$, et leurs
trajectoires orthogonales sont les courbes du complexe situées
sur les surfaces précédentes. Cherchons-les. Formons l'élément
linéaire sur ces surfaces:
\begin{align*}%[** TN: Rebroken]
ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2
  &= (\cos u · dv - v · \sin u · du)^2 \\
  &+ (\sin u · dv + v · \cos u · du)^2 + (- m · du + \phi' · dv)^2,
\end{align*}
\[
ds^2 = (v^2 + m^2)\Add{·} du^2 - 2 m \phi' · du\,dv + (1 + \phi'{}^2) · dv^2;
\]
et les trajectoires orthogonales des hélices $v = \cte$, $dv = 0$,
sont définies par l'équation
\[
(v^2 + m^2)\Add{·} du - m \phi' · dv = 0\Add{,}
\]
d'où
\[
u = \int \frac{m \phi'}{v^2 + m^2}\, dv\Add{.}
\]
Leur détermination dépend d'une quadrature.
%% -----File: 251.png---Folio 243-------

\Section{Surfaces réglées du complexe.}
{10.}{} Considérons une surface réglée dont les génératrices
appartiennent au complexe; soit~$G$ une de ses génératrices;
elle appartient au complexe, donc à chacun de
ses points~$M$ correspond un plan~$P$ qui en est le plan \Err{focal}{polaire};
d'autre part au point~$M$ correspond aussi homographiquement le
plan tangent à la surface en ce point; il en résulte qu'\emph{il y
a correspondance homographique entre le plan polaire d'un
point de la génératrice et le plan tangent à la surface en ce
point}; dans cette homographie il y a \Card{2} éléments doubles, donc
\emph{sur chaque génératrice de la surface il existe \Card{2} points $A\Add{,} B$
tels que les plans polaires de ces points soient tangents à la
surface}. Considérons le lieu des points~$A$ sur la surface; en
chacun de ses points le plan tangent à la surface est le plan
polaire de~$A$; la tangente à la courbe, qui est dans le plan
tangent à la surface, est donc dans le plan polaire; donc \emph{le
lieu des points~$A$, et aussi le lieu des points~$B$, qui peuvent
d'ailleurs se confondre algébriquement, sont des courbes du
complexe}. Le plan osculateur en chaque point est le plan polaire,
donc il est tangent à la surface; \emph{ces courbes sont
donc des asymptotiques de la surface réglée}; les asymptotiques
se déterminent au moyen d'une seule quadrature.

Il peut arriver que les génératrices de la surface appartiennent
à une congruence linéaire; elles appartiennent alors
à une infinité de complexes linéaires, et pour chaque complexe,
on aura \Card{2} lignes asymptotiques courbes de ce complexe.
On obtiendra ainsi toutes les asymptotiques sans aucune intégration.
%% -----File: 252.png---Folio 244-------
\emph{Les génératrices de la surface précédente s'appuient
alors sur \Card{2} directrices fixes}. C'est le cas des \DPtypo{conoides}{conoïdes} à
plan directeur et des surfaces réglées du \Ord{3}{e} ordre. Inversement
on verrait facilement qu'une courbe quelconque du complexe
est asymptotique d'une infinité de surfaces réglées du
complexe; on peut donc au moyen de ces surfaces réglées trouver
une courbe quelconque du complexe.

Si les génératrices de la surface appartiennent à un
complexe linéaire spécial, les courbes du complexe sont des
courbes planes dont les plans contiennent la directrice du
complexe; \emph{les surfaces normales du complexe sont de révolution
autour de la directrice; les surfaces réglées du complexe sont
des surfaces dont les génératrices rencontrent une droite
fixe}; cette directrice est une asymptotique de la surface,
et les autres asymptotiques se déterminent par \Card{2} quadratures.


\ExSection{X}

\begin{Exercises}
\item[45.] \DPchg{Etudier}{Étudier} les asymptotiques des surfaces réglées du \Ord{3}{e} ordre.
Montrer que ce sont des unicursales du \Ord{4}{e} ordre, et que chaque
génératrice rencontre une asymptotique en deux points conjugués
harmoniques par rapport aux points où la génératrice
s'appuie sur la droite double et sur la droite singulière.

\item[46.] Déterminer les asymptotiques de la surface de Steiner. Par
quelles courbes sont-elles représentées dans la représentation
paramétrique de la surface? \DPchg{Etudier}{Étudier} les cas de dégénérescence.

\item[47.] Déterminer la surface canal la plus générale dont toutes les
lignes de courbure soient sphériques; montrer que ces lignes
de courbure se déterminent sans intégration.

\item[48.] Que peut-on dire de la détermination des lignes de courbure
d'une surface canal, enveloppe de $\infty^{1}$~sphères coupant une
sphère fixe sous un angle constant?

\item[49.] Déterminer les surfaces réglées d'un complexe linéaire qui
admettent pour ligne asymptotique une courbe donnée. Montrer
que toutes leurs asymptotiques se \DPtypo{déterminant}{déterminent} sans intégration,
et qu'elles sont algébriques si la courbe donnée est
algébrique.
\end{Exercises}
%% -----File: 253.png---Folio 245-------


\Chapitre{XI}
{Transformations Dualistiques. Transformation de Sophus Lie.}

\Section{\DPchg{Eléments}{Éléments} et multiplicités de contact.}
{1.}{} On appelle \emph{élément de contact} l'ensemble d'un point~$M$
et d'un plan~$P$ passant par ce point. Un tel élément sera
défini par ses \emph{coordonnées}, coordonnées $x, y, z$ du point, et
coefficients de direction $p, q, -1$ de la normale au plan. Un
élément de contact est ainsi défini par \Card{5} coordonnées.

Considérons un point~$A$, les éléments de contact de ce
point sont formés par ce point et tous les plans passant par
ce point; les coordonnées $x, y, z$ sont fixes, et $p, q$ arbitraires.
Un point possède $\infty^{2}$~éléments de contact.

Considérons une courbe; un de ses éléments de contact
est formé d'un point de la courbe et d'un plan tangent à la
courbe en ce point; les coordonnées sont $x, y, z$ fonctions d'un
paramètre arbitraire, et $p, q$ \DPtypo{lies}{liés} par la relation
\[
px' + qy'- z' = 0\Add{,}
\]
il y a donc \Card{2} paramètres arbitraires. Une courbe possède $\infty^{2}$
éléments de contact.

Considérons maintenant une surface; un de ses éléments de
contact est formé par un point et le plan tangent en ce point;
%% -----File: 254.png---Folio 246-------
ses coordonnées sont $x, y, z = f (x, y)$, $p=\dfrac{\dd f}{\dd x}$, $q=\dfrac{\dd f}{\dd y}$. Il y a \Card{2} paramètres
arbitraires, donc une surface possède $\infty^{2}$~éléments
de contact. Remarquons que $p, q$ peuvent ne dépendre que d'un
seul paramètre; c'est le cas des surfaces développables, qui
possèdent ainsi $\infty^{2}$~points et $\infty^{1}$~plans tangents, et correspondent
par dualité aux courbes, qui possèdent $\infty^{1}$~points et $\infty^{2}$~plans
tangents.

Les points, courbes et surfaces, qui sont engendrées par
$\infty^{2}$~éléments de contact, sont appelés \emph{multiplicités~$M_2$}. Plus
généralement on appellera \emph{multiplicité} toute famille d'éléments
de contact dont les coordonnées vérifient la relation
\[
\Tag{(1)}
dz - p\, dx - q\, dy = 0.
\]
Si ces coordonnées ne dépendent que d'un paramètre arbitraire,
on aura les multiplicités~$M_1$; si elles dépendent de \Card{2} paramètres
arbitraires, on aura les \emph{multiplicités~$M_2$}.

Cherchons à déterminer toutes les multiplicités~$M_2$:
$x, y, z$, $p, q$ sont fonctions de \Card{2} paramètres arbitraires
\[
x = f (u, v), \quad
y = g (u, v), \quad
z = h (u, v), \quad
p = k (u, v), \quad
q = l (u, v).
\]
Considérons les \Card{3} \Ord{1}{ères} relations; entre elles on peut éliminer
$u, v$, et par suite de cette élimination on peut obtenir
\Card[f]{1},~ou \Card{2}, ou \Card{3} relations.

Supposons d'abord qu'on obtienne une relation
\[
F(x, y, z) = 0\Add{,}
\]
on peut considérer $z$ comme fonction de $x, y$; et si on écrit
que la relation~\Eq{(1)} est satisfaite quels que soient, $x, y$, on a
\[
p = \frac{\dd z}{\dd x}, \qquad
q = \frac{\dd z}{\dd y},
\]
%% -----File: 255.png---Folio 247-------
et on a les éléments de contact d'une surface.

Supposons qu'on obtienne \Card{2} relations
\[
F(x, y, z) = 0, \qquad
G(x, y, z) = 0;
\]
on peut considérer $x, y$ comme fonctions de~$z$
\[
x = \phi(z), \qquad
%[** TN: Appears to be \Psi in original, but using \psi for consistency]
y = \psi(z),
\]
et l'équation~\Eq{(1)} devient
\[
dz - p \phi'(z)\, dz - q \psi'(z)\, dz = 0,
\]
ou
\[
p \phi'(z) + q \psi'(z) - 1 = 0;
\]
le plan de l'élément de contact est tangent à la courbe
$x = \phi(z)$, $y = \psi (z)$, on a les éléments de contact d'une courbe.

Enfin si on obtient \Card{3} relations, c'est que $x, y, z$ sont des
constantes; l'équation~\Eq{(1)} est alors vérifiée quels que soient
$p\Add{,} q$, qui sont alors les paramètres arbitraires, et on a les
éléments de contact d'un point.

Cherchons maintenant les multiplicités~$M$; nous avons
\[
x = f (t), \qquad
y = g (t), \qquad
z = h (t), \qquad
p = k (t), \qquad
q = l (t).
\]
Considérons les \Card{3} \Ord{1}{ères} équations, et entre elles éliminons~$t$.
Il y a \Card{2} ou \Card{3} relations.

S'il y a \Card{2} relations, le lieu des points de la multiplicité,
qu'on appelle aussi \emph{support de la multiplicité}, est une
courbe, et les plans ne dépendant que d'un paramètre, pour
chaque point de la courbe il y a un plan tangent déterminé;
on a une \emph{bande d'éléments de contact}.

S'il y a \Card{3} relations, $x, y, z$ sont des constantes, le support
est un point; on a alors une famille de plans dépendant
d'un paramètre et passant par un point fixe; c'est ce qu'on
appelle un \emph{cône élémentaire}.
%% -----File: 256.png---Folio 248-------

Considérons \Card{2} multiplicités~$M_2$; elles peuvent avoir en
commun, \Card{0}\DPtypo{,}{}~ou \Card{1} élément de contact, ou une infinité.

Considérons le cas d'\emph{un élément de contact commun}; si les
multiplicités sont \Card{2} points $A\Add{,} A'$, il ne peut y avoir un élément
de contact commun que si les \Card{2} points sont confondus, et
alors il y a $\infty^{2}$~éléments de contact communs. Si on a un point
et une courbe, le point est sur la courbe, et tous les plans
tangents à la courbe en ce point appartiennent à des éléments
de contact communs, qui sont ainsi au nombre de~$\infty^{1}$. Si on a un
point et une surface, le point sera sur la surface, et l'élément
de contact commun sera constitué par le point et le plan
tangent à la surface en ce point. Considérons \Card{2} courbes; si
elles ont un élément de contact commun, elles se rencontrent
en un point, et si elles n'y sont pas tangentes, il n'y a
qu'un élément de contact commun. Considérons une courbe et
une surface; il y aura un élément de contact commun si la
courbe est tangente à la surface. Enfin \Card{2} surfaces ont un
élément de contact commun si elles sont tangentes en un point.

Il y aura \emph{$\infty^{1}$~éléments de contact communs} pour un point
sur une courbe, \Card{2} courbes tangentes en un point, une courbe
sur une surface, \Card{2} surfaces circonscrites le long d'une courbe\Add{.}

Considérons un \emph{point qui décrit une courbe}; on a une
famille de $\infty^{1}$~points dont chacun donne à la courbe $\infty^{1}$~éléments
de contact. Considérons une \emph{surface engendrée par une courbe};
nous avons $\infty^{1}$~courbes~$(c)$ dont chacune a en commun avec la
surface une bande, et par suite donne à la surface $\infty^{1}$~éléments
de contact. Considérons $\infty^{1}$~surfaces; leur \emph{enveloppe} a avec
%% -----File: 257.png---Folio 249-------
chacune d'elles une bande commune; nous avons encore $\infty^{1}$~éléments
générateurs d'une multiplicité~$M_2$, donnant chacun à la
multiplicité $\infty^{1}$~éléments de contact.

On pourrait considérer le cas où chaque élément générateur
ne donne qu'un élément de contact à la multiplicité:
$\infty^{2}$~points engendrant une surface; $\infty^{2}$~courbes formant une congruence
de courbes (dans ce cas, comme dans celui des congruences
de droites, il y a en général une surface focale,
tangente à chacune de ces courbes, et ayant avec chacune un
élément de contact commun); enfin si on considère $\infty^{2}$~surfaces,
leur enveloppe a en commun avec chacune d'elles un élément de
contact.

\Paragraph{Remarque.} Dans les trois cas précédents, quand nous disons
que chaque élément générateur donne un élément de contact
à la multiplicité, il faut entendre que cette multiplicité
peut se décomposer en nappes, et que cela s'applique alors à
chacune des nappes séparément.

Il y a un cas exceptionnel, celui de $\infty^{1}$~courbes ayant
une enveloppe; on a alors $\infty^{1}$~courbes cédant chacune à la multiplicité
$\infty^{1}$~éléments de contact.

\Section{Transformations de contact.}
{2.}{} On appelle \emph{transformation de contact} toute transformation
des éléments de contact qui change une multiplicité~$M_2$
en une multiplicité~$M_2$. On a \Card{5} équations de
transformation
\begin{gather*}
x' = f (x, y, z, p, q), \quad
y' = g (x, y, z, p, q), \quad
z' = h (x, y, z, p, q), \\
p' = k (x, y, z, p, q), \qquad
q' = l (x, y, z, p, q).
\end{gather*}
%% -----File: 258.png---Folio 250-------
Si l'élément de contact~$(x, y, z, p, q)$ appartient à un multiplicité,
on a
\[
\Tag{(1)}
dz - p\, dx - q\, dy = 0,
\]
et pour que l'élément transformé $(x', y', z', p', q')$ appartienne
aussi à une multiplicité, il faut que l'on ait
\[
dz' - p'\, dx'- q'\, dy'= 0.
\]
Une transformation de contact laisse invariante l'équation~\Eq{(1)}\Add{.}
Une telle transformation change \Card{2} multiplicités ayant un élément
de contact commun en \Card{2} multiplicités ayant un élément de
contact commun, et de même \Card{2} multiplicités ayant $\infty^{1}$~éléments
de contact communs en \Card{2} multiplicités ayant $\infty^{1}$~éléments de
contact communs. Une transformation de contact change les
points, courbes et surfaces en points, courbes, ou surfaces
indistinctement.

Reprenons les équations de la transformation, et entre
elles éliminons~$p\Add{,} q$, nous obtenons \Card[f]{1},~ou \Card{2}, ou \Card{3} relations entre
$x, y, z$,~$x', y', z'$.

Si on obtient \Card{3} relations,
\[
\Tag{(2)}
x' = f(x, y, z), \qquad
y' = g(x, y, z), \qquad
z' = h(x, y, z)\Add{,}
\]
dans la transformation de contact est contenue une transformation
ponctuelle. Une telle transformation change un point en
point, une courbe en courbe, une surface en surface; \Card{2} courbes
qui se rencontrent se transforment en \Card{2} courbes qui se
rencontrent, deux surfaces tangentes en \Card{2} surfaces tangentes.
A un élément de contact commun à \Card{2} multiplicité correspond un
élément de contact commun aux \Card{2} multiplicités transformées.
On obtiendra $p', q'$ en fonction de~$p, q$ en considérant $z'$ comme
%% -----File: 259.png---Folio 251-------
fonction de $x', y'$. On a
\begin{alignat*}{3}%[** TN: Added elided equations]
dx' &= \frac{\dd f}{\dd x}\, dx
     &&+ \frac{\dd f}{\dd y}\, dy
     &&+ \frac{\dd f}{\dd z}\, (p\, dx + q\, dy), \\
dy' &= \frac{\dd g}{\dd x}\, dx
     &&+ \frac{\dd g}{\dd y}\, dy
     &&+ \frac{\dd g}{\dd z}\, (p\, dx + q\, dy), \\
dz' &= \frac{\dd h}{\dd x}\, dx
     &&+ \frac{\dd h}{\dd y}\, dy
     &&+ \frac{\dd h}{\dd z}\, (p\, dx + q\, dy);
\end{alignat*}
éliminant $dx, dy$ entre ces \Card{3} relations, on a
\[
dz' = k(x,y,z,p,q)\, dx' + l(x,y,z,p,q)\, dy',
\]
d'où
\[
p' = k(x,y,z,p,q), \qquad
q' = l(x,y,z,p,q).
\]

Supposons ensuite que l'on obtienne \Card[f]{1}~relation d'élimination
\[
\Tag{(3)}
\Omega (x,y,z, x',y',z') = 0\Add{.}
\]
Considérons un point $A(x\Add{,}y\Add{,}z)$ du \Ord{1}{er} espace; cherchons la multiplicité
qui lui correspond dans le \Ord{2}{e} espace; elle est engendrée
par des éléments de contact dont les points sont liés
au point~$A$ par l'équation~\Eq{(3)} qui représente une surface~$S_A'$.
La multiplicité correspondant à un point est une surface. Si
on a une courbe lieu de points~$A$, il lui correspond une famille
de $\infty^{1}$~surfaces, et la multiplicité engendrée par ces
surfaces, c'est-à-dire leur enveloppe, sera la transformée de
la courbe. Enfin si on a une surface lieu de $\infty^{2}$~points~$A$, il
leur correspondra $\infty^{2}$~surfaces dont l'enveloppe correspondra à
la surface donnée.

\MarginNote{Transformations
dualistiques.}
Supposons la relation~\Eq{(3)} bilinéaire en $x,y,z$,
$x',y',z'$. A chaque point du \Ord{1}{er} espace correspond un plan
du \Ord{2}{e} espace et réciproquement. A $\infty^{3}$~points du \Ord{1}{er} espace
correspondent $\infty^{3}$~plans distincts. \DPchg{Ecrivons}{Écrivons}
\[
\Omega = Ax' + By' + Cz' + D
\]
%% -----File: 260.png---Folio 252-------
ou
\[
A = ux + vy + wz + h, \quad
B = u'  x + \ldots, \quad
C = u'' x + \ldots, \quad
D = u'''x + \ldots;
\]
pour avoir la transformée d'une surface
\[
f(x',y',z') = 0
\]
il faut prendre l'enveloppe des plans $\Omega = 0$, $x'\Add{,} y'\Add{,} z'$~étant liés
par la relation précédente, ce qui donne
\[
\frac{A}{\ \dfrac{\dd f}{\dd x'}\ } =
\frac{B}{\ \dfrac{\dd f}{\dd y'}\ } =
\frac{C}{\ \dfrac{\dd f}{\dd z'}\ } =
\frac{D}{\ \dfrac{\dd f}{\dd t'}\ }\Add{.}
\]
Telles sont les équations de la transformation. Il faudra que
l'on en puisse tirer $x, y, z$: donc que les formes $A, B, C, D$, soient
indépendantes, et alors l'ensemble des plans $\Omega = 0$ constitue
bien l'ensemble de tous les plans de l'espace. La transformation
précédente est une \emph{transformation dualistique}. L'ensemble
des transformations de contact forme évidemment un groupe;
une transformation de contact peut se décomposer en transformations
de contact plus simples.

Prenons pour nouvelles variables
\[
X = A, \qquad
Y = B, \qquad
Z = C, \qquad
T = D;
\]
alors
\[
\Omega = Xx' + Yy' + Zz' + 1 = 0\Add{,}
\]
la transformation est une transformation par polaires réciproques
par rapport à la sphère
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 1 = 0\Add{,}
\]
et toute transformation dualistique se ramène à la transformation
précédente suivie d'une transformation projective.

Considérons celles de ces transformations qui sont \emph{symétriques}
ou \emph{involutives}, telles que le plan homologue d'un
%% -----File: 261.png---Folio 253-------
point soit le même, qu'on considère le point comme appartenant
à l'un ou à l'autre espace. Les équations
\[
\Omega(x,y,z,x',y',z') = 0, \qquad
\Omega(x',y',z',x,y,z) = 0,
\]
doivent être équivalentes; on doit donc avoir, $k$~étant un
facteur constant
\[
\Omega(x,y,z,x',y',z') = k \Omega(x',y',z',x,y,z);
\]
faisons $x' = x$, $y' = y$, $z' = z$,
\[
\Omega(x,y,z,x,y,z) = k \Omega(x,y,z,x,y,z);
\]
alors ou bien $\Omega(x,y,z,x,y,z) = 0$, ou bien $k = 1$.

Si $\Omega = 0$, le plan correspondant à un point passe par ce
point. On a
\begin{multline*}%[** TN: Filled in missing terms, added break]
x(ux + vy + wz + h) + y(u'x + v'y + w'z + h') \\
  + z (u''x + v''y + w''z + h'')
  + u'''x + v'''y + w'''z + h''' = 0,
\end{multline*}
ce qui revient à écrire que le déterminant
\[
\begin{vmatrix}
u  &  v  &  w  &   h \\
u'  & v'  &  w' &   h' \\
u'' & v''  & w'' &   h'' \\
u''' & v''' & w''' &  h'''
\end{vmatrix}
\]
est un déterminant, symétrique gauche, donc de la forme
\[
\left\lvert
\begin{array}{@{}rrrr@{}}
  0   &    C  &    -B  &   \phantom{-}P \\
  -C   &    0   &    A  &  Q \\
  B   &  -A   &     0 &    R  \\
  -P    & -Q   &   -R &    0
\end{array}
\right\rvert
\]
et l'équation devient
\[
\Omega = x'(\DPtypo{c}{C}y - Bz + P)
       + y'(-Cx + Az + Q)
       + z'(Bx - Ay + R)
       - Px - \DPtypo{A}{Q}y - Rz = 0\Add{,}
\]
ou
\begin{multline*}%[** TN: Added break]
A(yz' - zy') + B(zx' - xz') + C(xy' - yx') \\
  + P(x' - x) + Q (y' - y) + R(z' - z) = 0\Add{,}
\end{multline*}
%% -----File: 262.png---Folio 254-------
équation d'un complexe linéaire. Le lieu des points $(x',y',z')$
associés au point $(x,y,z)$ est le plan polaire du point $(x,y,z)$
par rapport au complexe. Le plan polaire d'un point est la
multiplicité transformée de ce point et réciproquement. La
transformée d'une droite est sa conjuguée, une droite du complexe
est à elle-même sa transformée. \Card{2} multiplicités transformées
sont les \Card{2} multiplicités focales d'une congruence de
droites du complexe et réciproquement: à une courbe correspond
en général une développable; à une courbe du complexe
correspond la développable de ses tangentes.

Si nous prenons maintenant la solution $k = 1$, nous avons
\[
x'(ux + vy + wz + h) + \ldots = x(ux' + vy' + wz' + h) + \ldots\Add{,}
\]
la forme $\Omega$ est symétrique en $x\Add{,}y\Add{,}z$, $x'\Add{,}y'\Add{,}z'$, et on a
\begin{multline*}%[** TN: Added break]
\Omega = axx' +  byy' + czz' \\
  + m(yz' + zy') + n(zx' + xz') + p(xy' + yx') \\
  + r(x + x') + s(y + y') + t(z + z') + u\Add{.}
\end{multline*}
\DPtypo{les}{Les} \Card{2} points $(x,y,z)$\Add{,} $(x',y,' z')$ sont conjugués par rapport à la
quadrique
\[
ax^2 + by^2 + cz^2 + 2myz + 2nzx + 2pxy + 2rx + 2sy + 2tz + u = 0\Add{.}
\]
Nous avons la transformation par polaires réciproques.

D'une façon générale, pour avoir les équations d'une
transformation de contact définie par une seule relation
$\Omega = 0$, on écrira que la relation
\[
dz' - p'\, dx' - q'\, dy' = 0\Add{,}
\]
est conséquence des relations
\[
dz - p\, dx - q\, dy = 0, \qquad
d\Omega = 0;
\]
ce qui donne
\[
dz' - p'\, dx' - q'\, dy'
  = \lambda (dz - p\, dx - q\, dy) + \mu\, d\Omega\Add{.}
\]
%% -----File: 263.png---Folio 255-------
En identifiant, on a \Card{6} équations; si entre elles on élimine~$\lambda\Add{,} \mu$,
on a \Card{4} équations qui jointes à $\Omega = 0$ donnent $x',y',z',p',q'$
en fonction de~$x,y,z,p,q$.

Passons enfin au cas où on a \Card{2} relations d'élimination
\[
\Tag{(4)}
\Omega(x,y,z,x',y',z') = 0, \qquad
\Theta(x,y,z,x',y',z') = 0.
\]
A un point~$M$ du \Ord{1}{er} espace correspond dans le \Ord{2}{e} espace une
courbe~$(c')$. A une courbe lieu de $\infty^{1}$~points correspond une
surface engendrée par $\infty^{1}$~courbes; à une surface~$(S)$ lieu de
$\infty^{2}$~points correspond une congruence de courbes; une telle
congruence a en général une surface focale, tangente à toutes
ces courbes, et qui sera la transformée de la surface~$(S)$.

Pour avoir les équations d'une telle transformation, on
écrira que la relation
\[
dz'- p'\, dx' - q'\, dy' = 0
\]
est conséquence des relations
\[
dz - p\, dx - q\, dy = 0, \qquad
d\Omega = 0, \qquad
d\Theta = 0;
\]
ce qui donne
\[
dz' - p'\, dx' - q'\, dy'
  = \lambda (dz - p\, dx - q\, dy) + \mu d\Omega +  \nu d\Theta.
\]
En identifiant on a \Card{6} équations; si entre elles on \DPtypo{elimine}{élimine}
$\lambda, \mu, \nu$ on a \Card{3} équations qui jointes à $\Omega = 0$, $\Theta = 0$, donnent
les formules de transformation.

\Section{Transformation de Sophus Lie.}
{3.}{} Supposons les équations~\Eq{(4)} bilinéaires. A un point~$M(x\Add{,}y\Add{,}z)$
correspond une droite~$D'$. Aux $\infty^{3}$~points~$M$ correspond un
complexe de droites~$D'$, soit~$(K')$. De même à tous les points
du \Ord{2}{e} espace correspond dans le \Ord{1}{er} espace un complexe~$(K)$.
Considérons une seule des équations~\Eq{(4)}; à chaque point~$M$
%% -----File: 264.png---Folio 256-------
correspond un plan~$P'$; l'autre équation au même point~$M$ fait
correspondre un plan~$Q'$ et la droite~$D'$ est l'intersection des
plans $P'\Add{,} Q'$ qui correspondent au point~$M$ dans les \Card{2} homographies
les plans~$P'$ correspondent homographiquement aux plans~$Q'$; le
complexe~$(K')$ est le complexe des droites intersections des
plans qui se correspondent dans \Card{2} homographies. (C'est le complexe
de Reye, ou \emph{complexe tétraédral}; les droites sont coupées
par un tétraèdre en \Card{4} points dont le rapport anharmonique
est constant. Le rapport anharmonique des \Card{4} plans menés par
une droite du complexe et par les \Card{4} sommets du tétraèdre est
constant (Von~Staudt). Le complexe~$(K')$ est du \Ord{2}{e} degré,
la surface des singularités est constituée par les \Card{4} faces
du tétraèdre). A une courbe~$(c)$ correspond une surface
réglée du complexe~$(K')$. A une surface~$(S)$ correspond une
congruence de droites appartenant au complexe~$(K')$; cette
congruence admet \Card{2} multiplicités focales. A un élément de
contact du \Ord{1}{er} espace correspondent \Card{2} éléments de contact de
l'autre.

Cherchons les équations des \Card{2} complexes. Soient
\[
\Omega = Ax' + By' + Cz' + D, \qquad
\Theta = Lx' + My' + Nz' + P\Add{.}
\]
Soit $M'(x',y'z')$ un point du \Ord{2}{e} espace. Soit $D$ la droite correspondante;
si $(x,y,z)$ et $(x_0,y_0,z_0)$ sont \Card{2} points de cette
droite, on a
\begin{alignat*}{2}
&\Omega (x,y,z,x',y',z') = 0, &
&\Theta (x,y,z,x'\DPtypo{.}{,}y',z') = 0\Add{,} \\
&\Omega (x_0,y_0,z_0, x',y',z') = 0, \qquad &
&\Theta (x_0,y_0,z_0,x',y',z') = 0.
\end{alignat*}
\DPchg{Eliminons}{Éliminons} $x',y,'z'$ entre ces \Card{4} équations, nous avons
%% -----File: 265.png---Folio 257-------
\[
\begin{vmatrix}
A    &  B    &  C    &  D   \\
A_0  &  B_0  &  C_0  &  D_0 \\
L    &  M    &  N    &  P   \\
L_0  &  M_0  &  N_0  &  P_0
\end{vmatrix} = 0;
\]
c'est l'équation du complexe. En développant par la règle de
Laplace, on trouvera une équation du \Ord{2}{e} degré par rapport aux
coordonnées de la droite. Le complexe~$(K)$, et de même le complexe~$(K')$,
est en général du \Ord{2}{e} degré.

A une courbe~$(c)$ correspond une surface réglée engendrée
par la droite~$D'$. Cherchons si cette surface réglée peut être
développable. Les droites~$D'$ ont pour équations
\[
Ax' + By'+ Cz' + D = 0, \qquad
Lx' + My'+ Nz' + P = 0;
\]
$x,y,z$, et par suite $A,B,C,D$, étant fonctions d'un paramètre~$t$.
Exprimons que cette droite rencontre la droite infiniment
voisine: nous adjoignons a ses équations les équations:
\[
x'\, dA + y'\, dB + z'\, dC + dD = 0, \qquad
x'\, dL + y'\, dM + z'\, dN + dP = 0;
\]
d'où la condition
\[
\begin{vmatrix}
A   &  B   &  C   &  D  \\
L   &  M   &  N   &  P  \\
dA  &  dB  &  dC  &  dD \\
dL  &  dM  &  dN  &  dP
\end{vmatrix} = 0.
\]
Or\Add{,} l'équation du complexe~$(K)$ peut s'écrire
\[
\begin{vmatrix}
A         &  B         &  C         &  D        \\
L         &  M         &  N         &  P        \\
\Delta A  &  \Delta B  &  \Delta C  &  \Delta D \\
\Delta L  &  \Delta M  &  \Delta N  &  \Delta P
\end{vmatrix} = 0,
\]
$A,B,C,D$ étant des fonctions linéaires, les accroissements~$\Delta$
sont proportionnels aux différentielles~$d$. La courbe~$(c)$ est
%% -----File: 266.png---Folio 258-------
donc telle que sa tangente appartient au complexe~$(K)$. Aux
courbes du \Ord{1}{er} complexe correspondent des développables engendrées
par les tangentes aux courbes du \Ord{2}{e} complexe. Au
point~$M$ d'une courbe~$(c)$ du \Ord{1}{er} complexe correspond une génératrice~$T'$
d'une développable, soit $M'$ son point de contact avec
l'arête de rebroussement; si on considère un élément linéaire
formé d'un point~$M$ et d'une droite~$D$ du \Ord{1}{er} complexe passant
par ce point, il lui correspondra un élément linéaire déterminé
du \Ord{2}{e} complexe. Les courbes des \Card{2} complexes se correspondent
ainsi par points et par tangentes.

\Illustration{266a}
Soit une surface~$(S)$, et supposons le complexe~$(K)$ effectivement
du \Ord{2}{e} degré. Considérons un point~$M$ de la surface et
le plan tangent~$P$. Le cône du complexe~$(K)$ de sommet~$M$ est
coupé par le plan~$P$ suivant \Card{2} droites
$D, D_1$ qui appartiennent au complexe~$(K)$\Add{.}
Par chaque point de~$(S)$ passent ainsi
\Card{2} droites du complexe~$(K)$ tangentes à
la surface. Par tout point de la
surface~$(S)$ passent donc \Card{2} courbes
$(\gamma)\Add{,} (\gamma_1)$ du complexe~$(K)$ situées sur cette surface. Au point~$M$
correspond une droite~$D'$ du complexe~$(K')$. A la droite~$D$ du complexe~$(K)$
correspond un point~$M'$ de~$D'$; et de même à la droite~$D$,
correspond un point~$M_1'$ de~$D'$. Aux courbes $(\gamma)\Add{,} (\gamma_1)$ du complexe~$(K)$
correspondent \Card{2} courbes $(\gamma')\Add{,} (\gamma_1')$ du complexe~$(K')$
tangentes en $M'\Add{,} M_1'$ à la droite~$D'$. Si le point~$M$ décrit la
courbe~$(\gamma)$, les droites~$D'$ ont pour enveloppe la courbe~$(\gamma_1')$,
%% -----File: 267.png---Folio 259-------
et si $M$~décrit~$(\gamma_1)$, $D'$~enveloppe~$(\gamma_1')$. Si on considère la
congruence des droites~$D'$ correspondant aux points~$M$ de la surface~$(S)$,
les courbes~$(\gamma_t')$ sont les arêtes de rebroussement
d'une des familles de développables de cette congruence et les
courbes~$(\gamma_1')$ sont les arêtes de rebroussement de l'autre famille.
Les courbes~$(\gamma')$ engendrent une des nappes de la surface
focale, les courbes~$(\gamma_1')$ engendrent l'autre nappe. Le
plan tangent en~$M'$ à la multiplicité focale est le plan osculateur
à~$(\gamma_1')$, et par suite le plan tangent au cône du complexe~$(K')$
de sommet~$M_1'$. Un élément de contact correspondant
à l'élément~$(M,P)$ est formé du point~$M'$ et du plan tangent au
cône du complexe~$(K')$ qui a pour sommet~$M_1'$. L'autre élément
correspondant à~$(M,P)$ est formé du point~$M_1'$ et du plan tangent
au cône du complexe~$(K')$ qui a pour sommet~$M'$.

Si la surface~$(S)$ est une surface du complexe~$(K)$, tangente
en chacun de ses points au cône du complexe, les droites
$D,~D_1$ sont confondues; alors les \Card{2} éléments de contact correspondant
à l'élément~$(M\Add{,}P)$ sont confondus, et la surface~$(S')$
définie par ces éléments est une surface du complexe~$(K')$.

\Paragraph{Remarques.} Les seuls cas possibles sont les suivants:

\ParItem{\Primo.} Les complexes~$(K)\Add{,} (K')$ sont effectivement du \Ord{2}{e} degré.
On démontre alors, comme nous l'avons dit précédemment,
qu'ils sont tous \Card{2} tétraédraux.

\ParItem{\Secundo.} Un des complexes est linéaire. On démontre que
l'autre est constitué par les droites qui rencontrent une
conique.

\ParItem{\Tertio.} Les \Card{2} complexes sont linéaires. On démontre qu'ils
%% -----File: 268.png---Folio 260-------
sont tous \Card{2} spéciaux. Ce cas donne la \emph{transformation d'Ampère},
définie par les équations
\[
x' = p, \qquad
y' = -y, \qquad
z' = -z - px\DPtypo{.}{,}\qquad
p' = x, \qquad
q' = -q\Add{.}
\]

\Section{Transformation des droites en sphères.}
{4.}{} Prenons en particulier:
\[
\Omega = x + iy + x'z + z' = 0, \qquad
\Theta = x' (x - iy) - z - y' = 0
\]
L'équation du \Ord{1}{er} complexe est:
\[
\left\lvert
\begin{array}{@{}crrc@{}}
z - z_0 &  0 &  \phantom{-}0 & x + iy - (x_0 + iy_0) \\
z_0     &  0 &             1 & x_0 + iy_0 \\
x - iy  & -1 &             0 & -z \\
x_0 -iy_0 - (x-iy) & 0 &   0 & z - z_0
\end{array}
\right\rvert
= 0,
\]
ce qui devient:
\[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^ 2 = 0,
\]
c'est-à-dire:
\[
\Tag{(K)}
a^2 + b^2 + c^ 2 = 0.
\]
Le complexe~$(K)$ est le complexe des droites minima. Cherchons
le \Ord{2}{e} complexe. Il suffit de \DPtypo{considerer}{considérer} \Card{2} points~$(x',y',z')$
correspondant au même point~$(x,y,z)$. Nous avons:
\[
\begin{vmatrix}
0      &         0         &  x' - x'_0  &  z' - z'_0 \\
1      &          i        &       x'_0  &       z'_0 \\
x'- x'_0  &  -i(x' - x'_0) &   0          & -(y' - y'_0) \\
x'_0     &      -ix'_0     &  \llap{$-$} 1 &     y'_0
\end{vmatrix} = 0,
\]
ce qui devient:
\[
(x' - x'_0) (x'y'_0 - y'x'_0) - (z' - z'_0) (x' - x'_0) = 0,
\]
c'est-à-dire:
\[
a(r + c) = 0\DPtypo{.}{;}
\]
la solution $a = 0$ est singulière, et on a pour le complexe~$(K')$
\[
\Tag{(K')}
r + c =0.
\]
Nous avons ainsi une \emph{correspondance entre un complexe spécial
%% -----File: 269.png---Folio 261-------
du \Ord{2}{e} degré et un complexe linéaire}. Le cône du complexe~$(K)$
sera le cône isotrope. A chaque élément de contact du \Ord{1}{er} espace
correspondent \Card{2} éléments de contact du \Ord{2}{e} espace conjugués
par rapport au complexe~$(K')$, car d'une façon générale
les points~$M'\Add{,} M_1'$, sont sur une droite~$D'$ de~$(K')$ et le plan associé
à~$M'$ est ici le plan polaire de~$M_1'$ et inversement.

Partons d'une sphère; prenons \Card{2} génératrices d'un système;
ce sont des droites minima~$D, D_1$. Le \Ord{2}{e} système de génératrices
est entièrement défini, car chacune d'elles doit
rencontrer $D, D_1$, et le cercle imaginaire à l'infini. Aux \Card{2} droites~$D, D_1$
correspondent \Card{2} points~$M', M_1'$. Considérons une génératrice
isotrope~$\Delta$ rencontrant~$D, D_1$, il lui correspond un
point~$\mu'$; $\Delta$~rencontrant la droite~$D$, la droite~$M' \mu'$ est une
droite du complexe linéaire, et de même~$M_1' \mu'$; donc $\mu_1$~est le
pôle d'un plan passant par~$M_1'M'$. Lorsque $\Delta$~décrit la sphère,
le plan~$\mu' M' M_1'$ tourne autour de~$M'M_1'$, et le lieu de~$\mu'$ est la
droite conjuguée de~$M_1' M'$. A la sphère correspond une droite.
En partant du \Ord{2}{e} système de génératrices, au système~$D$,~$D_1$, correspondrait
la droite~$M_1'M'$. \emph{A une sphère correspondent en
réalité \Card{2} droites conjuguées par rapport au complexe linéaire.}

Ceci peut se voir par le calcul. Prenons la droite~$(\Delta')$
\[
\Tag{(\Delta')}
x' = az' - q, \qquad
y' = bz' + p;
\]
$c = 1$ et~$r = - ap - bq$. La surface réglée correspondante est
engendrée par les droites
\[
x + iy + z(az' - q) + z' = 0, \qquad
(az'- q)(x - iy) - z - bz' - p = 0\Add{,}
\]
ou
\[
x + iy - qz + z'(az + 1) = 0, \qquad
-q(x - iy) - z - p + z' \bigl[a(x - iy) - b\bigr] = 0\Add{.}
\]
%% -----File: 270.png---Folio 262-------
\DPchg{Eliminant}{Éliminant} $z'$ on a la surface
\[
(x + iy - qz) \bigl[a(x - iy) - b\bigr]
   + (az + 1) \bigl[q(x - iy) + z + p\bigr] = 0\Add{,}
\]
ou
\[
a(x^2 + y^2+ z^2) - b(x + iy) + q(x - iy) + (c - r)z + p = 0\Add{,}
\]
c'est l'équation d'une sphère et il est facile de voir que ce
peut être une sphère quelconque, en choisissant~$(\Delta')$ convenablement.

Cherchons la conjuguée de~$(\Delta')$ par rapport à~$(K')$. Nous
avons à exprimer que le complexe~$(K')$ et les complexes spéciaux
$(\Delta), (\Delta')$ appartiennent à un même faisceau. Ce qui donne
\begin{alignat*}{3}%[** TN: Added break, rearranged terms]
\lambda a + \lambda' a' &= 0, &
\lambda b + \lambda' b' &= 0, &
\lambda c + \lambda' c' + 1 &= 0, \\
\lambda p + \lambda' p' &= 0,\qquad &
\lambda q + \lambda' q' &= 0,\qquad &
\lambda r + \lambda' r' + 1 &= 0;
\end{alignat*}
prenons $\lambda' = -\lambda$, nous avons:
\begin{alignat*}{3}%[** TN: Added break, rearranged terms]
a' &= a, & b' &= b, & c' &= c + \frac{1}{\lambda}, \\
p' &= p, \qquad & q' &= q, \qquad & r' &= r + \frac{1}{\lambda};
\end{alignat*}
prenons $\lambda = -\dfrac{1}{c+r}$, alors $c' = -r$ et $r'= -c$, et l'on voit
que l'on retrouve la même sphère.

Les formules de la transformation se calculent par la
méthode générale. On trouve:
\begin{gather*}
x = -\frac{z'}{2}
  + \frac{1}{2}\, \frac{x' (x' p + y' q) + y' - p'}{q' + x'}, \qquad
y =  \frac{i z'}{2}
  - \frac{i}{2}\, \frac{x' (x' p + y' q) - y' + p'}{q' + x'}, \\
z =  -\frac{x'p' + y'q'}{q' + x'}, \qquad
p =   \frac{x'q' + 1}{q' - x'}, \qquad
q = -i\frac{x'q' - 1}{q' - x'}.
\end{gather*}
Cette transformation de Sophus Lie, changeant des droites qui
se rencontrent en sphères tangentes, c'est-à-dire des droites
qui ont un élément de contact commun en sphères ayant un élément
de contact commun, réalise par suite la correspondance
%% -----File: 271.png---Folio 263-------
signalée dans les chapitres précédents entre les droites et
les sphères.

Par exemple elle transforme une surface réglée en surface
canal; une quadrique en cyclide de Dupin; une surface
développable en surface canal isotrope; une bande asymptotique
d'une surface en une bande de courbure de la transformée;
de sorte qu'on peut dire qu'elle transforme les lignes asymptotiques
en lignes de courbure.

On vérifiera facilement qu'elle transforme un complexe
linéaire de droites en une famille de $\infty^{2}$~sphères coupant une
sphère fixe sous un angle constant; et que cet angle constant
est droit, lorsque le complexe linéaire est en involution avec
le complexe~$(K')$.

\Section{Transformation des lignes asymptotiques.}
{5.}{} Proposons-nous de trouver toutes les transformations
de contact qui changent les lignes asymptotiques d'une
surface quelconque en les lignes asymptotiques de la transformée
de cette surface; c'est-à-dire qui changent toute
bande asymptotique en une bande asymptotique. Remarquons à
cet effet qu'une telle transformation changera toute multiplicité~$M_2$
sur laquelle les bandes asymptotiques ne dépendent
pas seulement de constantes arbitraires, mais dépendent de
fonctions arbitraires, en une multiplicité~$M_2$ de même nature.
Or\Add{,} les bandes asymptotiques (ou de rebroussement) étant définies
par les équations
\[
dz - p\, dx - q\, dy = 0, \qquad
dp\, dx + dq\, dy = 0,
\]
on devra considérer comme bande asymptotique, dans la question
%% -----File: 272.png---Folio 264-------
actuelle, $\infty^{1}$~éléments de contact ayant le même point\Add{,}
\[%[** TN: Inline parenthetical remark in original]
dx = dy = dz = 0,\qquad  p = f(q)\Add{,}
\]
c'est-à-dire un cône élémentaire.

Et, dès lors, les $M_2$~particulières en question sont les plans,
les droites et les points. Les transformations cherchées
échangent donc entre elles les figures qui sont des droites,
des points ou des plans. De là plusieurs cas à examiner:

\ParItem{\Primo.} Si la transformation est ponctuelle, elle échange les
points en points, les plans en plans, et les droites en droites.
C'est par suite une \emph{transformation homographique}.

\ParItem{\Secundo.} Si la transformation est une transformation de contact
de la première espèce, c'est-à-dire fait correspondre à chaque
point du premier espace~$(E)$ une surface du second espace~$(E')$,
elle change les points de~$(E)$ en les plans de~$(E')$; et comme
elle fait alors correspondre aussi à chaque point de~$(E')$ une
surface de~$(E)$, elle change les points de~$(E')$ en les plans de~$(E)$;
et dès lors elle change les points en plans, les plans
en points, et les droites en droites. Si donc on la compose
avec une transformation par polaires réciproques, on obtient
une transformation homographique; et, par suite, elle s'obtient
en composant une transformation homographique avec une
transformation par polaires réciproques. C'est donc une
\emph{transformation dualistique}.

\ParItem{\Tertio.} Si la transformation est une transformation de contact
de la deuxième espèce, c'est-à-dire si à tout point de l'un
des espaces correspond dans l'autre une courbe, à tout point
de l'un des espaces correspondra dans l'autre une droite. Or,
prenons dans l'espace~$(E)$ quatre points $P_1,P_2,P_3,P_4$ non situés
%% -----File: 273.png---Folio 265-------
dans un même plan, et soient $D_1,D_2,D_3,D_4$ les droites qui leur
correspondent dans l'espace~$(E')$. Il existe au moins une
droite~$\Delta$ ayant avec chacune des quatre droites $D_1,D_2,D_3,D_4$
un élément de contact commun; et à~$\Delta$ devrait correspondre dans~$(E)$
un point, un plan ou une droite ayant un élément de contact
commun avec chacun des quatre points $P_1,P_2,P_3,P_4$. Or\Add{,} il
n'en existe pas. Donc \emph{ce troisième cas est impossible}.

Les seules transformations pouvant répondre à la question
sont donc homographiques ou dualistiques. Mais toute
transformation de contact changeant les droites en droites
répond à la question, car elle changera une famille de génératrices
d'une développable, dont chacune a un élément de
contact commun avec la génératrice infiniment voisine, en les
génératrices d'une autre développable; et, par suite, la bande
de rebroussement de la première développable ou la bande de
rebroussement de la seconde.

Nous pouvons donc conclure:

\ParItem{\Primo.} \emph{Les transformations homographiques et les transformations
dualistiques changent les lignes asymptotiques en lignes
asymptotiques; et ce sont les seules transformations de
contact possédant cette propriété.}

\ParItem{\Secundo.} \emph{Ces transformations sont aussi les seules transformations
de contact changeant toute droite en une droite.}

\Section{Transformations des lignes de courbure.}
{6.}{} La transformation de contact des droites en sphères,
de Lie, permet de déduire immédiatement des résultats
précédents toutes les transformations de contact qui
%% -----File: 274.png---Folio 266-------
changent les lignes de courbure d'une surface quelconque en
les lignes de courbure de sa transformée.

On voit de plus que ce sont aussi celles qui changent
toute sphère en une sphère. On aurait pu du reste refaire un
raisonnement direct analogue à celui du \Numero~précédent, en partant
des multiplicités~$M_2$ pour lesquelles les bandes de courbure
dépendent de fonctions arbitraires.

Cherchons, plus spécialement, celles des transformations
considérées qui sont des transformations ponctuelles. Dans
la transformation de Lie, les points de l'espace~$(E)$ correspondent
aux droites d'un complexe linéaire~$(K')$. Les transformations
cherchées proviennent donc des transformations
projectives ou dualistiques qui laissent invariant ce complexe\Add{.}
On les obtient en composant avec la transformation par polaires
réciproques définie par ce complexe~$(K')$ l'une quelconque
des transformations projectives qui laissent le complexe
invariant.

Ainsi se trouve établie une correspondance entre le
groupe projectif d'un complexe linéaire et le groupe des
transformations ponctuelles qui changent toute sphère en
sphère. Ce dernier est ce qu'on appelle le groupe conforme;
on sait que ses transformations s'obtiennent en combinant des
inversions, des homothéties et des déplacements.

Parmi les transformations de contact qui changent les
lignes de courbure en lignes de courbure figurent les \emph{dilatations},
dans lesquelles chaque élément de contact subit une
translation perpendiculaire à son plan et d'amplitude donnée,
c'est-à-dire dans lesquelles chaque surface est remplacée par
%% -----File: 275.png---Folio 267-------
une surface parallèle.

Parmi ces transformations figurent aussi les transformations
de \DPtypo{Ribeaucour}{Ribaucour} qui seront définies au chapitre~XIII\@.


\ExSection{XI}

\begin{Exercises}
\item[50.] \DPchg{Etudier}{Étudier} la congruence des droites définies par les équations
\[
A\lambda + B\mu + C = 0, \qquad
A_{1}\lambda + B_{1}\mu + C_{1} = 0,
\]
où $A,B,C$, $A_{1},B_{1},C_{1}$ sont des fonctions linéaires des coordonnées
et $\lambda, \mu$ des paramètres arbitraires. Discuter en particulier la
question des droites passant par un point, des droites rencontrant
une droite fixe, des droites situées dans un plan, des
multiplicités focales.

\item[51.] Démontrer les résultats énoncés à la fin du~\No3 de ce chapitre.

\item[52.] Démontrer par le calcul les propriétés de la transformation
de Lie énoncées à la fin du~\No4 de ce chapitre.
\end{Exercises}
%% -----File: 276.png---Folio 268-------


\Chapitre{XII}{\DPchg{Systemes}{Systèmes} Triples Orthogonaux.}


\Section{Théorème de Dupin.}
{1.}{} L'emploi des coordonnées rectangulaires revient à
celui d'un système de \Card{3} plans orthogonaux. On peut généraliser
et employer comme surfaces coordonnées un système triple
quelconque:
\[
\phi(x,y,z) = u, \qquad
\psi(x,y,z) = v, \qquad
\chi(x,y,z) = w;
\]
ces formules transforment les coordonnées $u,v,w$ en coordonnées
$x,y,z$\DPtypo{,}{.} Si nous résolvons les équations précédentes en $x,y,z$, ce
que nous supposons possible, nous aurons
\[
\Tag{(1)}
x = f(u,v,w), \qquad
y = g(u,v,w), \qquad
z = h(u,v,w).
\]
On emploie en général un \emph{système triple orthogonal}. Cherchons
donc à exprimer que les équations~\Eq{(1)} définissent un système
triple orthogonal. Les intersections des surfaces \Card{2} à \Card{2} doivent
être orthogonales. Les surfaces des \Card{3} familles s'obtiendront
en faisant successivement $u = \cte$, $v = \cte$, $w = \cte[]$.
Les intersections des surfaces \Card{2} à \Card{2} sont respectivement
$(v = \cte, w = \cte)$\Add{,} $(w = \cte, u = \cte)$\Add{,} $(u = \cte, v = \cte)$, et les
directions des tangentes sont respectivement $\dfrac{\dd f}{\dd u}, \dfrac{\dd g}{\dd u}, \dfrac{\dd h}{\dd u}$;
$\dfrac{\dd f}{\dd v}, \dfrac{\dd g}{\dd v}, \dfrac{\dd h}{\dd v}$; et
$\dfrac{\dd f}{\dd w}, \dfrac{\dd g}{\dd w}, \dfrac{\dd h}{\dd w}$. La condition d'orthogonalité est
\[
\Tag{(2)}
\sum \frac{\dd f}{\dd v} \Add{·} \frac{\dd f}{\dd w} = 0, \qquad
\sum \frac{\dd f}{\dd w} · \frac{\dd f}{\dd u} = 0, \qquad
\sum \frac{\dd f}{\dd u} \Add{·} \frac{\dd f}{\dd v} = 0.
\]
Interprétons ces conditions. Prenons la surface $w = \cte[]$. La
\Ord{3}{e} condition exprime que sur cette surface les lignes $u = \cte$,
%% -----File: 277.png---Folio 269-------
$v = \cte$ sont orthogonales, et les \Card{2} premières expriment que
$\dfrac{\dd f}{\dd w}, \dfrac{\dd g}{\dd w}, \dfrac{\dd h}{\dd w}$ est une direction perpendiculaire aux tangentes à
ces \Card{2} courbes, et par suite, que c'est la direction de la
normale; soient $l,m,n$ ces \Card{3} coefficients de direction. \DPtypo{Differentions}{Différentions}
la \Ord{3}{e} relation par rapport à~$w$ nous avons
\[
\sum \frac{\dd f}{\dd u}\, \frac{\dd^2 f}{\dd v\, \dd w} +
\sum \frac{\dd f}{\dd v}\, \frac{\dd^2 f}{\dd u\, \dd w} = 0,
\]
ou
\[
\sum \frac{\dd f}{\dd u}\, \frac{\dd l}{\dd v} +
\sum \frac{\dd f}{\dd v}\, \frac{\dd l}{\dd u} = 0.
\]
Or\Add{,} on a
\[
\sum l\, \frac{\dd f}{\dd u} = 0, \qquad
\sum l\, \frac{\dd f}{\dd v} = 0,
\]
d'où
\[
\sum l\, \frac{\dd^2 f}{\dd u\, \dd v}
  = -\sum \frac{\dd l}{\dd v}\, \frac{\dd f}{\dd u}, \qquad
\sum l\, \frac{\dd^2 f}{\dd u\, \dd v}
  = -\sum \frac{\dd l}{\dd u}\, \frac{\dd f}{\dd v},
\]
et la condition précédente s'écrit
\[
\sum l\, \frac{\dd^2 f}{\dd u\, \dd v}  = 0,
\]
ou $F' = 0$, ce qui exprime que les lignes $u = \cte$, $v = \cte$,
c'est-à-dire les intersections de la surface $w = \cte$ avec les
surfaces $u = \cte$ et $v = \cte$ sont conjuguées sur cette surface,
et comme elles sont orthogonales, ce sont des lignes de courbure.
D'où le \emph{Théorème de Dupin: sur chaque surface d'un
système triple orthogonal, les intersections avec les autres
surfaces de ce système sont des lignes de courbure}.

\Section{\DPchg{Equation}{Équation} aux dérivées partielles de Darboux.}
{2.}{} Proposons-nous de rechercher les systèmes triples
orthogonaux. Prenons une famille de surfaces:
\[
\Tag{(1)}
\phi(x,y,z) = u
\]
et cherchons à déterminer \Card{2} autres familles constituant avec
celle-ci un système triple orthogonal. Prenons dans l'espace
%% -----File: 278.png---Folio 270-------
un point~$M$; par ce point~$M$ passe une surface~$u$; prenons les
tangentes~$MT, MT'$ en $M$~à ses lignes de courbure. Ces droites
sont parfaitement déterminées; si $p, q, -1$ sont les coefficients
de direction de~$MT$, ce sont des fonctions connues de~$x, y, z$.
De même pour~$MT'$. Il faudra alors qu'en chaque point~$M$,
une surface d'une autre famille, soit
\[
%[** TN: Looks like \Psi in original, but using \psi for consistency]
%[** TN: No equation number (2) in original]
\Tag{(2)}
\psi (x,y,z) = v,
\]
soit normale à~$MT$; il faudra donc que $p, q$ soient les dérivées
partielles de~$z$ par rapport à $x, y$, ($z$~étant défini par l'équation
précédente). On aura donc
\[
\frac{\dd \psi}{\dd x} + p \frac{\dd \psi}{\dd z} = 0, \qquad
\frac{\dd \psi}{\dd y} + \Err{}{q} \frac{\dd \psi}{\dd z} = 0.
\]
Ces équations ne sont pas compatibles en général: pour
qu'elles le soient, il faut et il suffit, d'après la théorie
des systèmes complets, que l'on ait:
\[
\Tag{(3)}
\frac{\dd q}{\dd x} + p \frac{\dd q}{\dd z} =
\frac{\dd p}{\dd y} + q \frac{\dd p}{\dd z}\Add{,}
\]
équation aux dérivées partielles du \Ord{3}{e} ordre, puisque $p, q$
s'expriment en fonction des dérivées \Ord{1}{ères} et \Ord{2}{mes} de~$\phi$ par
rapport à $x, y, z$. Ainsi donc \emph{une famille de surfaces données ne
peut en général faire partie d'un système triple orthogonal}.
Si la condition~\Eq{(3)} est réalisée, la fonction~$\psi(x,y,z)$ est déterminée
à une fonction arbitraire près, et nous avons une
\Ord{2}{e} famille de surfaces dont chacune coupe à angle droit chacune
des surfaces~$(S)$ de la famille~$\phi(x,y,z) = \const.$\ suivant
une ligne de courbure de cette surface~$(S)$. Et, d'après le
théorème de Joachimsthal, l'intersection de chaque surface~$(S_1)$
de cette seconde famille avec chaque surface~$(S)$ de la première
est aussi ligne de courbure sur~$(S_1)$.
%% -----File: 279.png---Folio 271-------

En résumé nous avons deux familles de surfaces
\begin{align*}
\Tag{(S)}
\phi(x,y,z) &= \const. \\
\Tag{(S_1)}
\psi(x,y,z) &= \const.
\end{align*}
qui se coupent orthogonalement suivant des courbes qui sont
lignes de courbure à la fois pour les deux surfaces qui s'y
croisent. Et il reste à étudier si l'on peut déterminer une
troisième famille de surfaces
\[
\Tag{(S_2)}
\chi(x,y,z) = \const.
\
\]
qui constitue avec les deux premières un système triple orthogonal,
c'est-à-dire à étudier le système d'équations linéaires
aux dérivées partielles dont dépend la fonction inconnue~$\chi$:
\[
\Tag{(4)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\dd \phi}{\dd x} · \frac{\dd \chi}{\dd x} +
\frac{\dd \phi}{\dd y} · \frac{\dd \chi}{\dd y} +
\frac{\dd \phi}{\dd z} · \frac{\dd \chi}{\dd z} &= 0, \\
%
\frac{\dd \psi}{\dd x} · \frac{\dd \chi}{\dd x} +
\frac{\dd \psi}{\dd y} · \frac{\dd \chi}{\dd y} +
\frac{\dd \psi}{\dd z} · \frac{\dd \chi}{\dd z} &= 0.
\end{aligned}
\right.
\]
Posons, pour abréger,
\begin{align*}
Af &= \frac{\dd \phi}{\dd x} · \frac{\dd f}{\dd x}
    + \frac{\dd \phi}{\dd y} · \frac{\dd f}{\dd y}
    + \frac{\dd \phi}{\dd z} · \frac{\dd f}{\dd z}, \\
Bf &= \frac{\dd \phi}{\dd x} · \frac{\dd f}{\dd x}
    + \frac{\dd \phi}{\dd y} · \frac{\dd f}{\dd y}
    + \frac{\dd \phi}{\dd z} · \frac{\dd f}{\dd z};
\end{align*}
et, d'après la théorie des systèmes complets d'équations linéaires,
la condition nécessaire et suffisante pour l'\Err{intégralité}{intégrabilité}
du système~\Eq{(4)} est que l'équation:
\[
\left(A \frac{\dd\psi}{\dd x} - B \frac{\dd\phi}{\dd x}\right)
  \Del{·} \frac{\dd\chi}{\dd x} +
\left(A \frac{\dd\psi}{\dd y} - B \frac{\dd\phi}{\dd y}\right)
  \Del{·} \frac{\dd\chi}{\dd y} +
\left(A \frac{\dd\psi}{\dd z} - B \frac{\dd\phi}{\dd z}\right)
  \Del{·} \frac{\dd\chi}{\dd z} = 0
\]
soit une conséquence algébrique des équations~\Eq{(4)}, c'est-à-dire
que l'on ait:
\[
\Tag{(5)}
\begin{vmatrix}
A \mfrac{\dd\psi}{\dd x} - B \mfrac{\dd\phi}{\dd x} &
  \mfrac{\dd\phi}{\dd x} & \mfrac{\dd\psi}{\dd x} \\
A \mfrac{\dd\psi}{\dd y} - B \mfrac{\dd\phi}{\dd y} &
  \mfrac{\dd\phi}{\dd y} & \mfrac{\dd\psi}{\dd y} \\
A \mfrac{\dd\psi}{\dd z} - B \mfrac{\dd\phi}{\dd z} &
  \mfrac{\dd\phi}{\dd z} & \mfrac{\dd\psi}{\dd z}
\end{vmatrix}
= 0.
\]
%% -----File: 280.png---Folio 272-------
Cette condition se simplifie. Remarquons en effet que
\begin{align*}
A \frac{\dd\psi}{\dd x} + B \frac{\dd\phi}{\dd x}
  &= \frac{\dd\phi}{\dd x}\, \frac{\dd^2\psi}{\dd x^2}
   + \frac{\dd\phi}{\dd y}\, \frac{\dd^2\psi}{\dd y\, \dd x}
   + \frac{\dd\phi}{\dd z}\, \frac{\dd^2\psi}{\dd z\, \dd x} \\
%
  &+ \frac{\dd\psi}{\dd x}\, \frac{\dd^2\phi}{\dd x^2}\,
   + \frac{\dd\psi}{\dd y}\, \frac{\dd^2\phi}{\dd y\, \dd x}
   + \frac{\dd\psi}{\dd z} · \frac{\dd^2\phi}{\dd z\, \dd x} \\
%
  &= \frac{\dd}{\dd x} \left\{
       \frac{\dd\phi}{\dd x}\, \frac{\dd\psi}{\dd x}
     + \frac{\dd\phi}{\dd y}\, \frac{\dd\psi}{\dd y}
     + \frac{\dd\phi}{\dd z}\, \frac{\dd\psi}{\dd z}
  \right\},
\end{align*}
c'est-à-dire que l'on a, à cause de l'\DPtypo{orthogonalite}{orthogonalité} des surfaces $(S)$~et~$(S_1)$,
\[
A \frac{\dd\psi}{\dd x} + B \frac{\dd\phi}{\dd x} = 0.
\]
On voit de même que l'on a aussi
\[
A \frac{\dd\psi}{\dd y} + B\frac{\dd\phi}{\dd y} = 0, \qquad
A \frac{\dd\psi}{\dd z} + B\frac{\dd\phi}{\dd z} = 0.
\]
Par suite, la condition~\Eq{(4)} peut s'écrire simplement
\[
\Tag{(6)}
\begin{vmatrix}
A \mfrac{\dd\psi}{\dd x} & \mfrac{\dd\phi}{\dd x} & \mfrac{\dd\psi}{\dd x} \\
A \mfrac{\dd\psi}{\dd y} & \mfrac{\dd\phi}{\dd y} & \mfrac{\dd\psi}{\dd y} \\
A \mfrac{\dd\psi}{\dd z} & \mfrac{\dd\phi}{\dd z} & \mfrac{\dd\psi}{\dd z}
\end{vmatrix}
= 0.
\]
Or, pour une valeur quelconque de $x,y,z$, les dérivées~$\dfrac{\dd \psi}{\dd x},\dfrac{\dd \psi}{\dd y},\dfrac{\dd \psi}{\dd z}$ sont les coefficients de direction~$l,m,n$ de la normale
à la surface~$(S_1)$ qui passe par le point de coordonnées~$x,y,z$;
et~$\dfrac{\dd\phi}{\dd x},\dfrac{\dd\phi}{\dd y},\dfrac{\dd\phi}{\dd z}$ sont les coefficients de direction de la
normale à la surface~$(S)$ qui passe par ce même point, c'est-à-dire
de la tangente à une ligne de courbure de~$(S_1)$; en désignant
par~$dx,dy,dz$ un déplacement effectué suivant la direction
de cette tangente, on aura donc
\[
\frac{\ \dfrac{\dd\phi}{\dd x}\ }{dz} =
\frac{\ \dfrac{\dd\phi}{\dd y}\ }{dy} =
\frac{\ \dfrac{\dd\phi}{\dd z}\ }{dx} =
\frac{A \dfrac{\dd\psi}{\dd x}}{dl} =
\frac{A \dfrac{\dd\psi}{\dd y}}{dm} =
\frac{A \dfrac{\dd\psi}{\dd z}}{dn},
\]
%% -----File: 281.png---Folio 273-------
et la condition~\Eq{(6)} deviendra:
\[
\begin{vmatrix}
dl & dx & l \\
dm & dy & m \\
dn & dz & n
\end{vmatrix}
= 0\DPtypo{.}{,}
\]
ce qui est une identité puisque la différentiation~$d$ considérée
a lieu suivait une ligne de courbure.

La condition d'intégrabilité du système~\Eq{(4)} est donc remplie,
et la troisième famille~$(S_2)$ existe toujours et est
entièrement déterminée. On peut donc énoncer les résultats
suivants:

\ParItem{\Primo.} \emph{Il existe une équation aux dérivées partielles du troisième
ordre $\bigl($l'équation \Eq{(3)}$\bigr)$ qui exprime la condition nécessaire
et suffisante pour qu'une fonction $\phi(x,y,z)$ fournisse
une famille de surfaces~$(S)$ faisant partie d'un système triple
orthogonal. Si la famille~$(S)$ est donnée, les deux autres familles $(S_1)$~et~$(S_2)$ sont entièrement déterminées}.

\ParItem{\Secundo.} \emph{Pour que deux familles de surfaces, $(S)$~et~$(S_1)$, fassent
partie d'un système triple orthogonal, il faut et il suffit
qu'elles se coupent à angle droit, et que les intersections
soient lignes de courbure sur les surfaces~$(S)$, ou sur les
surfaces~$(S_1)$.}

On peut remarquer enfin, que si l'on \DPchg{connait}{connaît} les lignes
de courbure~$(C_1)$ des surfaces~$(S_1)$ par exemple, qui ne sont
pas les intersections des surfaces~$(S_1)$ et des surfaces~$(S)$,
et les lignes de courbure~$(C)$ d'une seule surface~$(S)$, chaque
%% -----File: 282.png---Folio 274-------
surface~$(S_2)$ sera engendrée par les courbes~$(C_1)$ qui s'appuient
sur une même courbe~$(C)$.

\Section{Systèmes triples orthogonaux contenant une surface.}
{3.}{} Cherchons maintenant si une surface donnée peut
faire partie d'un système triple orthogonal. Traçons
sur cette surface les lignes de courbure, et menons les
normales à la surface en tous les points de ces lignes, elles
engendrent deux familles de développables orthogonales à la
surface donnée. En adjoignant à cette surface les surfaces
parallèles, on a un système triple orthogonal.

\Paragraph{Remarque \1.} Les surfaces parallèles à une surface~$(S)$
en dérivent par une transformation de contact définie par
l'équation
\[
(X - x)^2 + (Y - y)^2 + (Z - z)^2 - r^2 = 0\Add{,}
\]
où $r$~est une constante arbitraire; en effet la surface parallèle
est l'enveloppe d'une famille de sphères de rayon
constant ayant leurs centres sur la surface~$(S)$. Cette
transformation de contact s'appelle dilatation.

%[** TN: Roman numeral in original]
\Paragraph{Remarque \2.} Lorsqu'on sait qu'une famille de surfaces
appartient à un système triple orthogonal, on peut sur
chacune de ces surfaces déterminer les lignes de courbure,
et les autres familles du système sont engendrées par les
trajectoires orthogonales des surfaces qui s'appuient sur
les lignes de courbure. Dans le cas particulier d'une famille
de surfaces parallèles, les trajectoires orthogonales
sont les normales à ces surfaces.
%% -----File: 283.png---Folio 275-------

\Section{Systèmes triples orthogonaux contenant une famille de plans.}
{4.}{} Considérons une famille de plans~$P$; les trajectoires
orthogonales s'obtiennent, comme on l'a vu à propos
des surfaces moulures, en faisant rouler un plan mobile
sur la développable enveloppe des plans~$P$. Prenons
dans le plan deux systèmes de courbes orthogonales, ce qui
est toujours possible, car si nous nous donnons l'un des
systèmes
\[
\phi(x,y) = a,
\]
l'autre se détermine par l'intégration de l'équation
\[
\dfrac{dx}{\ \dfrac{\dd\phi}{\dd x}\ } =
\dfrac{dy}{\ \dfrac{\dd\phi}{\dd y}\ }.
\]
On peut engendrer les autres familles du système triple
orthogonal au moyen de ces courbes des plans~$P$, assujetties
à rencontrer les trajectoires orthogonales; ces familles
sont ainsi constituées de surfaces moulures. On peut ainsi,
au moyen du Théorème de Dupin, retrouver leurs lignes de
courbure.

\Section{Systèmes triples orthogonaux contenant une famille de sphères.}
{5.}{} Le fait que toute famille de plans fait partie
d'un système triple orthogonal tient au fond à ce que
toute courbe d'un plan est ligne de courbure du plan; de
sorte qu'une famille de surfaces orthogonales aux plans
donnés satisfera à la condition \DPtypo{necessaire}{nécessaire} et suffisante
pour qu'il existe une troisième famille complétant le système
triple orthogonal.

Le même fait sera donc vrai aussi pour une famille de
sphères. Et pour construire un système triple orthogonal
%% -----File: 284.png---Folio 276-------
quelconque contenant la famille de sphères~$(S)$ donnée, il
suffira: \Primo.~de prendre sur une des sphères deux familles
de courbes~$(C), (C_1)$ orthogonales; \Secundo.~de déterminer les trajectoires
orthogonales~$(T)$ des sphères~$(S)$. Car alors les
courbes~$(T)$ qui s'appuient sur les courbes~$(C)$, et les courbes~$(T)$
qui s'appuient sur les courbes~$(C_1)$ engendreront les
surfaces des deux familles $(S_1)$~et~$(S_2)$ formant avec les sphères~$(S)$
le système triple cherché.

Tout revient donc à résoudre les deux problèmes suivants:
\Primo.~déterminer sur une sphère un système orthogonal quelconque;
\Secundo.~déterminer les trajectoires orthogonales d'une famille de sphères.

Le premier problème se ramène immédiatement au problème
analogue dans le plan au moyen d'une projection stéréographique.

\DPchg{Etudions}{Étudions} donc le second:

Si nous considérons \Card{2} sphères de la famille, les trajectoires
orthogonales établissent entre elles une correspondance
point par point, et cette correspondance d'après ce qui précède,
sera telle qu'à un système orthogonal sur l'une des
sphères corresponde un système orthogonal sur l'autre. Or,
deux directions rectangulaires sont conjuguées harmoniques
par rapport aux directions isotropes, et dans une transformation
ponctuelle quelconque, le rapport anharmonique des tangentes
est un invariant, donc les directions isotropes se
transforment en directions isotropes, les génératrices rectilignes
de l'une des sphères se transforment en génératrices
%% -----File: 285.png---Folio 277-------
rectilignes de l'autre; et le rapport anharmonique de \Card{2} directions
quelconques avec les directions isotropes restant
constant, les angles se conservent; la transformation est
conforme.

Soit alors
\[
\sum (x - \Err{x}{x_0})^2 - R^2 = 0\Add{,}
\]
l'équation générale des sphères considérées, dépendant d'un
paramètre~$t$\DPtypo{,}{.}

Les considérations précédentes nous conduisent à introduire
les génératrices rectilignes. On posera donc:
\begin{align*}
x - x_0 + i(y - y_0) &= \lambda \bigl[(z - z_0) + R\bigr], \\
x - x_0 - i(y - y_0) &= \frac{-1}{\lambda} \bigl[(z - z_0) - R\bigr]
  = \mu \bigl[z - z_0 + R\bigr];
\end{align*}
d'où:
\begin{gather*}%[** TN: Re-arranged]
(z - z_0)\left(\mu + \frac{1}{\lambda}\right)
  = R \left(\frac{1}{\lambda} - \mu\right),\qquad
z - z_0 = R\, \frac{1 - \lambda \mu}{1 + \lambda \mu}, \\
\begin{aligned}
x - x_0 + i(y - y_0) &= \frac{2R \lambda}{1 + \lambda \mu}, \\
x - x_0 - i(y - y_0) &= \frac{2R \mu}{1 + \lambda \mu}.
\end{aligned}
\end{gather*}
Les équations \DPtypo{différentièllés}{différentielles} à des trajectoires orthogonales
sont:
\[
\frac{dx}{x - x_0} =
\frac{dy}{y - y_0} =
\frac{dz}{z - z_0} =
\frac{d(x + iy)}{x - x_0 + i(y - y_0)} =
\frac{d(x - iy)}{x - x_0 - i(y - y_0)}\Add{.}
\]
\DPtypo{en}{En} égalant le \Ord{3}{e} rapport successivement aux \Card{2} derniers, et
posant:
\[
dA = \frac{d(x_0 + i y_0)}{2R}, \qquad
dB = \frac{d(x_0 - i y_0)}{2R}, \qquad
dC = \frac{dz_0}{2\Err{R_0}{R}},
\]
\DPtypo{On}{on} obtient \Card{2} équations de Riccati
\[
\frac{d\lambda}{dt}
  = \lambda^2 \frac{dB}{dt} - 2\lambda \frac{dC}{dt} - \frac{dA}{dt},
\qquad
\frac{d \mu}{dt}
  = \mu^2 \frac{dA}{dt} - 2\mu \frac{dC}{dt} - \frac{dB}{dt}.
\]
Si on \DPchg{connait}{connaît} une trajectoire orthogonale, on a une solution
%% -----File: 286.png---Folio 278-------
de chaque équation, et la résolution du problème est ramenée
à \Card{2} quadratures. Pour \Card{2} trajectoires orthogonales, on n'a
plus qu'une seule quadrature, et pour \Card{3} trajectoires orthogonales,
le problème s'achève sans quadrature. On a alors,
comme intégrale générale de la première équation:
\[
\frac{\lambda - \lambda_1}{\lambda - \lambda_2} :
\frac{\lambda_3 - \lambda_1}{\lambda_3 - \lambda_2} =
\frac{\lambda^0 - \lambda^0_1}{\lambda^0 - \lambda^0_2} :
\frac{\lambda^0_3 - \lambda^0_1}{\lambda^0_3 - \lambda^0_\DPtypo{1}{2}},
\]
en désignant par l'indice zéro les valeurs qui correspondent
à~$t = t_0$. C'est donc une relation de la forme:
\[
\lambda = \frac{M \lambda^0 + N}{P \lambda^0 + Q}.
\]
On aura de même, pour la seconde équation de Riccati, une
intégrale de la forme
\[
\mu = \frac{R \mu^0 + S}{T \mu^0 + U};
\]
et ces deux formules définissent la correspondance établie par
les trajectoires orthogonales entre la sphère qui correspond
à la valeur~$t_0$ du paramètre, et la sphère qui correspond à la
valeur~$t$ du paramètre.

On \DPchg{reconnait}{reconnaît} alors que cette transformation change les
cercles d'une des sphères en cercles de l'autre; et par projection
stéréographique elle deviendrait une des transformations
planes du groupe des \Err{}{des transformations par }rayons vecteurs réciproques.

\Section{Systèmes triples orthogonaux particuliers.}
{6.}{} Rappelons comme systèmes triples orthogonaux
particuliers, le système des quadriques homofocales
\[
\frac{x^2}{a - \lambda} +
\frac{y^2}{b - \lambda} +
\frac{z^2}{c - \lambda} - 1 = 0;
\]
et le système des cyclides du quatrième degré homofocales
\[
\frac{x^2}{a - \lambda} +
\frac{y^2}{b - \lambda} +
\frac{z^2}{c - \lambda} +
\frac{(x^2 + y^2 + z^2 - R^2)^2}{4R^2 (d - \lambda)} -
\frac{(x^2 + y^2 + z^2 + R^2)\Err{}{^2}}{4R^2 (e - \lambda)} = 0.
\]
%% -----File: 287.png---Folio 279-------
On vérifie qu'on obtient un autre système, formé de cyclides
de Dupin du troisième degré, en considérant les surfaces
lieux des points de contact des plans tangents menés, par un
point d'un des axes, à une famille de quadriques homofocales.


\ExSection{XII}

\begin{Exercises}
\item[53.] On considère une famille de $\infty^{1}$~\DPchg{paraboloides}{paraboloïdes}~$P$ ayant mêmes
plans principaux. Comment faut-il choisir ces \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes}
pour que la congruence des génératrices rectilignes d'un même
système de tous ces \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes} soit une congruence de normales?
Montrer qu'alors les \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes}~$P$ constituent l'une
des trois familles d'un système triple orthogonal et trouver
les deux autres familles. Montrer qu'on peut choisir les \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes}~$P$
plus particulièrement de manière que l'une de
ces autres familles soit encore formée de \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes}; et
donner, dans ce cas, la signification géométrique des deux
familles de \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes}.
\end{Exercises}
%% -----File: 288.png---Folio 280-------


\Chapitre{XIII}{Congruences de \DPchg{Spheres}{Sphères} et \DPchg{Systemes}{Systèmes} Cycliques.}

\Section{Généralités.}
{1.}{} Nous appellerons \emph{congruence de sphères} une famille
de $\infty^{2}$~sphères~$(\Sigma)$
\[
\Tag{(1)}
\sum (x - f)^2 - r^2 = 0,
\]
$f,g,h,r$ étant fonctions de \Card{2} paramètres~$u,v$. Le lieu des centres
de ces sphères est une surface~$(S)$
\[
x = f(u,v), \qquad
y = g(u,v), \qquad
r = h(u,v).
\]
Cherchons l'enveloppe de ces sphères. A l'équation~\Eq{(1)} nous
devrons adjoindre les \Card{2} équations
\[
\Tag{(2)}
\sum (x - f) \frac{\dd f}{\dd u} + r \frac{\dd r}{\dd u} = 0, \qquad
\sum (x - f) \frac{\dd f}{\dd v} + r \frac{\dd r}{\dd v} = 0.
\]
Ces équations~\Eq{(2)} représentent une droite, donc l'enveloppe
des sphères~$(\Sigma)$ touche chacune de ces sphères en \Card{2} points,
que l'on appelle \emph{points focaux}; l'enveloppe, que l'on appellera
\emph{surface focale}, se \DPtypo{decompose}{décompose} donc en \Card{2} nappes~$(F_1), (F_2)$.

Considérons dans la congruence~\Eq{(1)} une famille de $\infty^{1}$~sphères~$(\Sigma)$;
il suffit de définir~$u, v$ en fonction d'un paramètre~$t$;
ces sphères admettent une enveloppe, qui touche chacune
d'elles le long d'un cercle \DPtypo{caracteristique}{caractéristique} ayant pour plan
\[
\Tag{(3)}
\sum (x - f)\, df + r\, dr = 0;
\]
lorsque les expressions de~$u, v$ en fonction de~$t$ varient, tous
ces cercles caractéristiques passent par \Card{2} points fixes, qui
sont les points focaux de la sphère considérée. Les enveloppes
%% -----File: 289.png---Folio 281-------
ainsi obtenues correspondent aux surfaces réglées des congruences
de droites; on peut les appeler \emph{surfaces canaux} de
la congruence~\Eq{(1)}.

Cherchons parmi ces surfaces canaux celles pour lesquelles
chaque sphère est tangente à la sphère infiniment
voisine. Ce sont en réalité des surfaces réglées à génératrices
isotropes. Le cercle défini par les équations \Eq{(1)},~\Eq{(3)}
doit se réduire à un couple de droites isotropes; le plan~\Eq{(3)}
est tangent à la sphère~\Eq{(1)}. Ce qui donne la condition
\[
\Tag{(4)}
\sum df^2 - dr^2 = 0,
\]
équation différentielle du \Ord{1}{re} ordre et du \Ord{2}{e} degré; il y a
donc \Card{2} familles de sphères spéciales, le point de contact de
l'une d'elles avec la sphère infiniment voisine étant défini
par
\[
\Tag{(5)}
\frac{x - f}{df} = \frac{y - g}{dg} = \frac{z - h}{dh}
  = \frac{-r}{dr}\Add{,}
\]
$df, dg, dh$~sont les coefficients de direction du rayon du point
de contact.

\Illustration[2.75in]{289a}
L'équation~\Eq{(4)} définit sur la surface~$(S)$ \Card{2} directions $\omega l, \omega l'$; soient $M, M'$~les
points de contact de la
sphère~$(\Sigma)$ correspondante
avec la surface focale~$(F)$;
la droite~$MM'$ est représentée
par les \Card{2} équations~\Eq{(2)},
ou encore, puisque les
points~$M, M'$ sont sur
tous les cercles caractéristiques, par les \Card{2} équations~\Eq{(3)}.
%% -----File: 290.png---Folio 282-------
qui correspondent aux enveloppes spéciales; or\Add{,} dans ce cas
l'équation~\Eq{(3)} représente le plan tangent à la sphère en l'un
des points~$I, I'$; donc les droites~$II', MM'$ sont polaires réciproques
par rapport à la sphère~$(\Sigma)$. Si nous supposons cette
sphère réelle, et si les points~$M, M'$ sont réels, $I,I'$~sont
imaginaires; et inversement. Nous désignerons par~$D$ la droite~$MM'$,
et par~$\Delta$ la droite~$ll'$; $\omega l, \omega l'$~sont dans le plan tangent
en~$\omega$ à la surface~$(S)$; $MM'$~est perpendiculaire à ce plan tangent;
les points~$M, M'$, et par suite les droites~$\omega M, \omega M'$ sont
symétriques par rapport à ce plan tangent.

Si nous remarquons maintenant que $\omega M$~est normale à la
\Ord{1}{ère} nappe de la surface focale, et $\omega M'$~normale à la \Ord{2}{e}, nous
voyons que l'on peut considérer~$\omega M$ comme rayon incident, $\omega M'$~comme
rayon réfléchi sur la surface~$(S)$, et par suite, nous
avons une congruence de normales qui se réfléchit sur la surface~$(S)$
suivant une congruence de normales. La surface~$(S)$
étant quelconque, donnons-nous une surface~$(F_1)$; nous pourrons
toujours considérer les sphères ayant leurs centres sur~$(S)$
et tangentes à~$(F_1)$; $(F_1)$~sera l'une des nappes focales de
la congruence de sphères ainsi obtenues, et la congruence des
normales à~$(F_1)$ se réfléchira sur~$(S)$ suivant la congruence
des normales à~$(F_2)$ \Ord{2}{e} nappe focale. D'où le \emph{Théorème de
Malus: Les rayons normaux à une surface quelconque se réfléchissent
sur une surface quelconque suivant les normales à
une nouvelle surface}.

\Illustration[2.25in]{291a}
Ce Théorème peut s'étendre aux rayons réfractés. Reprenons
%% -----File: 291.png---Folio 283-------
la construction d'Huygens. Considérons une sphère de
centre~$\omega$; soit $\omega M$~le rayon incident,
et la normale~$\omega N$ à la surface \DPtypo{réflechissante}{réfléchissante}.
Construisons une \Ord{2}{e} sphère de centre~$\omega$ et dont le rayon
soit dans le rapport~$n$ avec le rayon
de la \Ord{1}{ère}. Considérons le plan tangent~$\omega T$
à la surface réfléchissante.
Au point~$M$ où le rayon incident rencontre la \Ord{1}{ère} sphère menons
le plan tangent à cette sphère, qui rencontre le plan~$\omega l$
suivant la droite~$T$, et par la droite~$T$ menons le plan~$TP$
tangent à la \Ord{2}{e} sphère. En appelant~$i\Add{,} i'$ les angles de~$\omega M$
et~$\omega P$ avec~$\omega N$, on a immédiatement
\[
\omega T = \frac{\omega M}{\sin i} = \frac{\omega P}{\sin i'}\Add{,}
\]
d'où
\[
\frac{\sin i'}{\sin i} = \frac{\omega P}{\omega M} = n\Add{,}
\]
$\omega P$~est le rayon réfracté. Partons alors d'une congruence de
normales, soit $(F_1)$~la surface normale; pour construire les
rayons réfractés, il faut considérer les sphères~$(\Sigma')$ concentriques
à~$(\Sigma)$ et de rayon~$nr$; les points~$I, I'$ sont définis
par les équations~\Eq{(5)}; or\Add{,} ces équations ne changent pas lorsqu'on
remplace~$r$ par~$nr$, la droite~$II'$ est la même que précédemment,
et le Théorème s'étend à la réfraction.

\Section{Congruences spéciales.}
{2.}{} A la congruence de sphères considérée nous avons
associé \Card{4} congruences de droites: celle des droites~$\omega M$ normales
à~$(F_1)$, celles des droites~$\omega M'$ normales à~$(F_2)$~celle des
%% -----File: 292.png---Folio 284-------
droites~$\Delta$, et celle des droites~$D$.

Supposons~$MM'$~confondus; ils sont confondus aussi avec~$II'$;
les \Card{2} nappes focales sont confondues; alors le lieu des
points~$I\Add{,} I'$ confondus est une ligne de courbure de la surface~$(F)$
et la sphère~$(\Sigma)$ est la sphère de courbure correspondante.
\emph{La congruence de sphères est alors constituée par des sphères
de courbure d'une même surface~$(F)$.}

\emph{Réciproquement}. Soit une surface~$(F)$ et ses sphères de
courbure d'une même famille, la surface~$(F)$ est surface focale
double de la congruence de ces sphères de courbure.

Toutes les congruences de droites considérées se réduisent
ici à~$2$, celle des droites~$D$ tangentes à une famille de
lignes de courbure, et celle des droites~$\Delta$~tangentes à l'autre
famille. La surface~$(S)$ est alors l'une des nappes de
la développée de la surface focale double. Aux lignes de
courbure intégrales~de~\Err{\Eq{(H)}}{\Eq{(4)}} correspond sur la surface~$(S)$ une
famille de géodésiques. On est ainsi conduit à la détermination
des géodésiques de~$(S)$ en écrivant que l'équation~\Eq{(4)} a
une racine double en~$du, dv$. Cette équation s'écrit
\begin{gather*}
E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2
  - \left(\frac{\dd r}{\dd u}\, du
        + \frac{\dd r}{\dd v}\, dv \right)^2 = 0\Add{,} \\
\left[ E - \left(\frac{\dd r}{\dd u}\right)^2 \right] du^2
  + 2 \Biggl[ F - \frac{\dd r}{\dd u}\, \frac{\dd r}{\dd v} \Biggr] du\, dv
  + \left[ G - \left(\frac{\dd r}{\dd v}\right)^2 \right] dv^2 = 0\Add{,}
\end{gather*}
pour qu'il y ait une racine double, il faut que
\[
\left[ E - \left(\frac{\dd r}{\dd u}\right)^2 \right]
\left[ G - \left(\frac{\dd r}{\dd v}\right)^2 \right]
  - \Biggl[ F - \frac{\dd r}{\dd u}\, \frac{\dd r}{\dd v} \Biggr]^2 = 0\Add{,}
\]
ou
\[
H^2 - \left[ E \left(\frac{\dd r}{\dd v}\right)^2
  - 2F \frac{\dd r}{\dd u}\, \frac{\dd r}{\dd v}
  + G \left(\frac{\dd r}{\dd u}\right)^2 \right] = 0\Add{,}
\]
équation aux dérivées partielles qui détermine~$r$. Ayant~$r$ on
obtient la famille de géodésiques correspondante par l'intégration
%% -----File: 293.png---Folio 285-------
d'une équation différentielle ordinaire.

\Section{Théorème de Dupin.}
{3.}{} Supposons que la surface focale ait ses \Card{2} nappes
distinctes, et cherchons ses lignes de courbure. Soient~$\lambda\Add{,} \mu\Add{,} \nu$
les cosinus directeurs de~$\omega M$.
\[
\lambda = \frac{x - f}{r}, \qquad
\mu = \frac{y - g}{r}, \qquad
\nu = \frac{z - h}{r};
\]
d'où
\[
x = f + \lambda r, \qquad
y = g + \mu r, \qquad
z = h + \nu r.
\]
Portons ces valeurs de~$x,y,z$ dans les équations~\Eq{(2)}, elles
deviennent
\[
\Tag{(6)}
\sum \lambda \frac{\dd f}{\dd u} + \frac{\dd r}{\dd u} = 0, \qquad
\sum \lambda \frac{\dd f}{\dd v} + \frac{\dd r}{\dd v} = 0.
\]
Soient~$i, i'$ les angles de $\omega M$~et~$\omega M'$ avec~$\omega N$, ces angles sont
supplémentaires, $\cos i' = -\cos i$; si $l,m,n$~sont les cosinus
directeurs de~$\omega N$\DPtypo{.}{,} \DPtypo{On}{on} a
\[
\Tag{(7)}
\sum \lambda l - \cos i = 0.
\]
Calculons~$\cos i$. Dans le plan tangent à~$(S)$ soient $\omega U, \omega V$ les
tangentes aux courbes $v = \cte$, $u = \cte[]$.

\Illustration{293a}
Les cosinus directeurs de~$\omega U$ sont
\[
\frac{1}{\sqrt{E}}\, \frac{\dd f}{\dd u}, \qquad
\frac{1}{\sqrt{E}}\, \frac{\dd g}{\dd u}, \qquad
\frac{1}{\sqrt{E}}\, \frac{\dd h}{\dd u};
\]
\DPtypo{Ceux}{ceux} de~$\omega V$ sont
\[
\frac{1}{\sqrt{G}}\, \frac{\dd f}{\dd v}, \qquad
\frac{1}{\sqrt{G}}\, \frac{\dd g}{\dd v}, \qquad
\frac{1}{\sqrt{G}}\, \frac{\dd h}{\dd v}.
\]
Soit $\omega \delta$~le segment directeur de~$\omega M$,
ses projections orthogonales sur~$\omega U, \omega V$ sont:
\[
A = -\frac{1}{\sqrt{E}}\, \frac{\dd r}{\dd u}, \qquad
B = -\frac{1}{\sqrt{G}}\, \frac{\dd r}{\dd v},
\]
sa projection sur~$\omega W$ est~$\cos i$. Soit $\theta$~l'angle de~$\omega U$~et~$\omega V$:
\[
\Cos \theta = \frac{F}{\sqrt{EG}}.
\]
%% -----File: 294.png---Folio 286-------
\DPtypo{soient}{Soient} $U, V$~les coordonnées par rapport à~$\omega U, \omega V$ de la projection~$\delta'$
de~$\delta$ sur le plan tangent; elles sont données par les
équations
\[
U \cos\theta + V = B, \qquad
U + V \cos\theta = A;
\]
d'où
\[
U \sin^2\theta = A - B \cos\theta, \qquad
V \sin^2\theta = B - A \cos\theta;
\]
d'où encore
\begin{multline*}
\sin^{\Err{2}{4}}\theta \bigl[U^2 + V^2 + 2UV \cos\theta\bigr] \\
  = (A - B \cos\theta)^2 + (B - A \cos\theta)^2
  + 2 \cos\theta (A - B \cos\theta) (B - A \cos\theta)\DPtypo{.}{,}
\end{multline*}
ou
\[
\sin^2\theta \bigl[U^2 + V^2 + 2UV \cos\theta\bigr]
  = A^2 - 2AB \cos\theta + B^2.
\]
Donc
\[
\omega \delta'{}^2 = U^2 + V^2 + 2UV \cos\theta
  = \frac{1}{\sin^2\theta} \bigl[A^2 - 2AB \cos\theta + B^2\bigr],
\]
et
\[
1 = \overline{\omega\delta}^2
  = \overline{\omega\delta'}^2 + \cos^2 i
  = \cos^2 i + \frac{1}{\sin^2\theta} \bigl[A^2 - 2AB \cos\theta + B^2\bigr].
\]
Or,
\[
A^2 - 2AB \cos\theta + B^2
  = \frac{1}{H^2}\, \Phi\left( \frac{\dd r}{\dd v}, -\frac{\dd r}{\dd u}\right),
\]
d'où la formule
\[
\sin^2 i = \frac{1}{H^2}\,
  \Phi\left(\frac{\dd r}{\dd v}, -\frac{\dd r}{\dd u}\right).
\]

Ceci posé, les lignes de courbure de la surface focale
sont définies par l'équation
\[
\begin{vmatrix}
  dx & \lambda & d\lambda
\end{vmatrix} = 0,
\]
ou
\[
\begin{vmatrix}
  df + \lambda · dr + r · d\lambda & \lambda & d\lambda
\end{vmatrix} = 0;
\]
qui se réduit à
\[
\begin{vmatrix}
  df & \lambda & d\lambda
\end{vmatrix} = 0.
\]
\DPtypo{multiplions}{Multiplions} par le déterminant
$\begin{vmatrix}
  \lambda & \dfrac{\dd f}{\dd u} & \dfrac{\dd f}{\dd v}
\end{vmatrix}$
qui n'est
pas nul, la normale n'étant pas dans le plan tangent. L'équation
devient
\[
\left\lvert
\begin{array}{@{}lll@{}}
\sum \lambda\,df & \sum \lambda^2 & \sum \lambda\, d\lambda \\
\sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, df    & \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd u} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda \\
\sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, df    & \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd v} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda
\end{array}
\right\rvert
= 0,
\]
%% -----File: 295.png---Folio 287-------
ou, en tenant compte de~\Eq{(6)}
\[
\begin{vmatrix}
  -dr & 1 & 0  \\
  \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, df & -\mfrac{\dd r}{\dd u} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda \\
  \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, df & -\mfrac{\dd r}{\dd v} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda
\end{vmatrix}
= 0.
\]
Multiplions la \Ord{1}{ère} ligne par~$\dfrac{\dd r}{\dd u}$ et ajoutons à la \Ord{2}{e}, puis
par~$\dfrac{\dd r}{\dd v}$ et ajoutons à la \Ord{3}{e}. Nous obtenons
\[
\begin{vmatrix}
\sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, df - \mfrac{\dd r}{\dd u}\, dr & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda \\
\sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, df - \mfrac{\dd r}{\dd v}\, dr & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda
\end{vmatrix}
=0.
\]
\DPtypo{les}{Les} éléments de la \Ord{1}{ère} colonne sont les demi-dérivées partielles
par rapport à~$du\Add{,} dv$ de la forme quadratique
\[
\sum df^2 - dr^2 = \Phi_1 (du, dv),
\]
qui définit le couple des droites~$\omega I, \omega I'$. Voyons si les éléments
de la \Ord{2}{e} colonne sont susceptibles d'une interprétation
analogue. Si nous \DPtypo{differentions}{différentions}~\Eq{(6)} nous obtenons
\[
\sum \frac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda
  = -\sum \lambda\, d\left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)
                  - d\left(\frac{\dd r}{\dd u}\right);
\]
or,
\[
d\left(\frac{\dd r}{\dd u}\right)
  = \Err{-}{}\frac{1}{2} · \frac{\dd(d^2r)}{\dd(du)},
\]
et
\[
\sum \lambda · d\left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)
  = \frac{1}{2}\, \frac{\dd(\sum \lambda · d^2f)}{\dd (du)}.
\]
Posons
\[
\scrA = \sum \lambda\, d^2 f, \qquad
\scrB = \scrA + d^2r
\]
les différentielles secondes étant prises par rapport
à~$u$~et~$v$;  et l'équation s'écrit,
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd \Phi_1}{\dd\, du} & \mfrac{\dd \scrB}{\dd\, du} \\
\mfrac{\dd \Phi_1}{\dd\, dv} & \mfrac{\dd \scrB}{\dd\, dv}
\end{vmatrix}
= 0:
\]
les directions principales de~$(F)$ sont conjuguées harmoniques
par rapport aux \Card{2} couples $\Phi_1 = 0$~et~$\scrB = 0$. Calculons~$\scrA$. Pour
%% -----File: 296.png---Folio 288-------
cela, éliminons $\lambda\Add{,} \mu\Add{,} \nu$ entre les équations \Eq{(6)}\Add{,}~\Eq{(7)} et
\[
\sum \lambda\, d^2 f - \scrA = 0;
\]
nous obtenons
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd f}{\dd u} & \mfrac{\dd f}{\dd v} & 1 & d^2 f \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\mfrac{\dd r}{\dd u} & \mfrac{\dd r}{\dd v} & -\cos i & -\scrA
\end{vmatrix}
= 0,
\]
ce qui donne en développant
\[
\scrA H + H \cos i \Psi(du, dv) + H \chi(du, dv) = 0;
\]
et:
\[
\scrB = d^2 r - \cos i \Psi(du, dv) - \chi(du, dv)
  = -\Psi_{1}(du, dv) - \cos i \Psi(du, dv).
\]

Les lignes de courbure de la \Ord{2}{e} nappe sont tangentes aux
directions conjuguées par rapport à $\Phi_{1} = 0$ et
\[
\scrB_{1} = -\Psi_{1}(du, dv) + \Psi(du, dv) = 0;
\]
pour que les lignes de courbure se correspondent sur les \Card{2} nappes,
il faut et il suffit que le couple des directions
principales soit conjugué par rapport aux \Card{3} couples
\[
\Phi_{1} = 0,\qquad
\Psi_{1} - \cos i \Psi = 0,\qquad
\Psi_{1} + \cos i \Psi = 0,
\]
ou par rapport aux couples
\[
\Phi_{1} = 0,\qquad
\Psi_1 \Err{+ \cos i \Psi}{} = 0,\qquad
\Psi = 0.
\]
\DPchg{Etant}{Étant} conjuguées par rapport à $\Psi = 0$, elles correspondent à
des lignes conjuguées sur~$(S)$, d'où le \emph{Théorème de Dupin}: si
les lignes de courbure se correspondent sur les \Card{2} nappes focales,
les développables des normales correspondantes coupent
la surface~$(S)$ suivant le même réseau conjugué; et \emph{réciproquement}.
Donc \emph{la condition nécessaire et suffisante pour que
les développables d'une congruence de normales se réfléchissent
sur une surface suivant des développables est qu'elles
%% -----File: 297.png---Folio 289-------
déterminent sur la surface un réseau conjugué}.

\Section{Congruence des droites \texorpdfstring{$D$}{D}.}
{4.}{} Cherchons les développables de la congruence des
droites~$D$; elles sont définies par l'équation
\[
\begin{vmatrix}
dx & dy & dz \\
 l &  m &  n \\
dl & dm & dn
\end{vmatrix}
= 0;
\]
or
\[
x = f + r \lambda,\qquad
y = g + r \mu,\qquad
z = h + r \nu,
\]
et l'équation devient
\[
\begin{vmatrix}
df + r\, d\lambda + \lambda\, dr & l & dl
\end{vmatrix} = 0.
\]
Multiplions le \Ord{1}{er} membre par le déterminant non nul
\[
\begin{vmatrix}
l & \mfrac{\dd f}{\dd u} & \mfrac{\dd f}{\dd v}
\end{vmatrix}
\]
nous avons:
\[
\begin{vmatrix}
r \sum l\, d \lambda + dr \sum \lambda l & 1 & 0 \\
\sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, df + r \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda
  + dr \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd u} & 0 & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, dl \\
\sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, df + r \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda
  + dr \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd v} & 0 & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, dl
\end{vmatrix}
= 0,
\]
ou
\[
\begin{vmatrix}
\sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, df + r \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda
  + dr \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd u} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, dl \\
\sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, df + r \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda
  + dr \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd v} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, dl
\end{vmatrix}
= 0.
\]

Les éléments de la dernière colonne sont les demi-dérivées
partielles par rapport à~$du, dv$ de la forme $\Psi(du, dv) = \Err{}{-}\sum df · dl$.
Quant aux éléments de la \Ord{1}{ère} ligne, remarquons que
\[
\sum \frac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda = \frac{1}{2} · \frac{\dd \scrB}{\dd u},
\qquad
\sum \frac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda = \frac{1}{2} · \frac{\dd \scrB}{\dd v},
\]
où
\[
\scrB = -\Psi_{1} - \cos i · \Psi.
\]
Enfin, si nous remarquons que les points $M, M'$ sont définis par
les relations:
\[
\sum \lambda\, \frac{\dd f}{\dd u} + \frac{\dd r}{\dd u} = 0,\qquad
\sum \lambda\, \frac{\dd f}{\dd v} + \frac{\dd r}{\dd v} = 0,
\]
%% -----File: 298.png---Folio 290-------
nous avons:
\[
\sum \frac{\dd f}{\dd u}\, df
  + dr \sum \lambda\, \frac{\dd f}{\dd u}
  = \sum \frac{\dd f}{\dd u}\, df - \frac{\dd r}{\dd u}\, dr
  = \frac{1}{2}\, \frac{d\Phi_{1}}{\dd\, du},\quad
\text{et l'analogue};
\]
de sorte que les éléments de la \Ord{1}{ère} colonne sont les demi-dérivées
partielles par rapport à~$du, dv$ de la forme $\Phi_{1} - r(\Psi_{1} + \Psi \cos i)$.

\emph{Les développables de la congruence correspondent
sur la surface~$(S)$ aux directions conjuguées par rapport
à}
\begin{alignat*}{2}
\Psi &= 0,\qquad && \Phi_{1} - r [\Psi_{1} + \Psi \cos i] = 0, \\
\intertext{ou par rapport à}
\Psi &= 0, && \Phi_{1} - r \Psi_{1} = 0;
\end{alignat*}
le résultat ne change pas si on change $i$~en~$\pi - i$, et les
développables de la congruence des droites~$D$ correspondent
sur la surface~$(S)$ à un réseau conjugué.

Considérons les plans focaux; un plan focal est parallèle
à la direction $l, m, n$, et à la direction $dl, dm, dn$. Mais
\[
l^2 + m^2 + n^2 = 1,
\]
d'où
\[
l\, dl + m\, dm + n\, dn = 0;
\]
$dl, dm, dn$ correspondent à la direction du plan focal parallèle
au plan tangent à la surface. Or\Add{,} les \Card{2} directions correspondant
aux \Card{2} plans focaux, donc aux \Card{2} développables, étant
conjuguées, on a
\[
\sum dl · \delta f = 0;
\]
le plan focal est perpendiculaire à la direction $\delta f, \delta g, \delta h$ qui
correspond à l'autre plan focal. \emph{Chaque plan focal est perpendiculaire
à la direction de la surface~$(S)$ correspondant à
l'une des développables.}
%% -----File: 299.png---Folio 291-------

\Section{Congruence des droites \texorpdfstring{$\Delta$}{Delta}.}
{5.}{} La droite~$\Delta$ est l'intersection des plans tangents à la sphère en~$M$ et à la surface~$(S)$ en~$\omega$
\[
\sum \lambda\,(X - f) - r = 0,  \qquad \sum l\,(X - f) = 0.
\]
Cherchons les développables. Exprimons que la droite précédente
rencontre la droite infiniment voisine. Cela donne
\[
\sum d\lambda\, (X - f) - \sum \lambda\, df - dr = 0, \qquad
\sum dl\, (X - f) - \sum l\, df = 0;
\]
conditions qui se simplifient en remarquant que $\sum l\, df = 0$, et
$\sum \lambda\, df + dr = 0$. Il reste:
\[
\Tag{(1)}
\sum d\lambda (X - f) = 0, \qquad
\sum dl (X - f) = 0.
\]
Exprimons que les équations obtenues sont compatibles, nous
avons l'équation qui définit les développables
\[
\Tag{(2)}
\begin{vmatrix}
  l & d\lambda & dl
\end{vmatrix} = 0.
\]
Multiplions encore par le déterminant non nul
\[
\begin{vmatrix}
  l & \dfrac{\dd f}{\dd u} & \dfrac{\dd f}{\dd v}
\end{vmatrix},
\]
nous obtenons
\[
\begin{vmatrix}
1 & \sum l\, d\lambda   &   0 \\
0 & \sum d\lambda\, \mfrac{\dd f}{\dd u} & \sum dl\, \mfrac{\dd f}{\dd u} \\
0 & \sum d\lambda\, \mfrac{\dd f}{\dd v} & \sum dl\, \mfrac{\dd f}{\dd v}
\end{vmatrix}
= 0,
\]
ou
\[
\begin{vmatrix}
\sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, dl \\
\sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, dl
\end{vmatrix}
= 0;
\]
les éléments de la \Ord{1}{ère} colonne sont les demi-dérivées partielles
par rapport à~$du, dv$ de la forme~$\scrB = -\Psi_1 - \Psi \cos i$.
Ceux de la \Ord{2}{e} colonne sont les demi-dérivées partielles de~$\Psi$.
\emph{Les développables de la congruence des droites~$\Delta$ correspondent
sur la surface~$(S)$ au réseau conjugué par rapport aux
couples}
\[
\Psi = 0, \qquad \Psi_1 = 0.
\]
%% -----File: 300.png---Folio 292-------

Quant aux points focaux, ils sont définis par les équations
de~$\Delta$ et les équations~\Eq{(1)}, compatibles en vertu de la
relation~\Eq{(2)}. On en déduit que les directions joignant~$\omega$ aux
points focaux sont définies par les relations
\[
\sum  l · \delta f = 0,\qquad
\sum dl · \delta f = 0,\qquad
\sum d\lambda · \delta f = 0;
\]
la \Ord{1}{ère} exprime que ces droites sont dans le plan tangent à~$(S)$,
la \Ord{2}{e} que ce sont les tangentes conjuguées de~$(S)$ qui
correspondent aux développables.

\Illustration{300a}
Supposons que les \Card{2} congruences précédentes se correspondent
par développables. Les \Card{2} réseaux conjugués déterminés
sur la surface~$(S)$ sont confondus; il faut alors que les \Card{3} couples
$\Psi = 0$, $\Psi_{1} = 0$, $\Phi_{1} - r \Psi_{1} = 0$, ou $\Psi = 0$, $\Psi_{1} = 0$, $\Phi_{1} = 0$ appartiennent
à une même involution, et alors les lignes de
courbure se correspondent sur les \Card{2} nappes de la surface~$(F)$.
Nous avons alors sur la surface~$(S)$ un réseau conjugué qui
correspond aux développables des \Card{4} congruences
$\omega M, \omega M', D, \Delta$. Les points
focaux~$F\Add{,} F'$ de~$\Delta$ sont sur les tangentes
aux \Card{2} courbes conjuguées qui passent
par~$\omega$, les droites $MF, MF'$ sont les
tangentes aux lignes de courbure en~$M$
de la surface~$(F)$, la droite~$D$ est perpendiculaire au plan~$F \omega F'$,
et ses plans focaux sont perpendiculaires à $\omega F$~et~$\omega F'$.
Les développables de la congruence des droites~$D$ coupent les
\Card{2} nappes de l'enveloppe~$(F)$ suivant leurs lignes de courbure.
%% -----File: 301.png---Folio 293-------

\Section{Le système triple de \DPtypo{Ribeaucour}{Ribaucour}.}
{6.}{} Plaçons-nous dans ce dernier cas; soit $(\gamma)$ une des
courbes conjuguées de la surface~$(S)$; quand $\omega$~décrit~$(\gamma)$, le
point~$M$ décrit une ligne de courbure~$(K)$ de la surface~$(F)$
qui sera tangente à~$MF$, et la droite~$\Delta$ enveloppe une courbe~$(c)$
lieu de~$F'$. Considérons la sphère~$(\sigma)$ de centre~$F'$ et passant
par~$M$; cette sphère a pour enveloppe une surface canal~$(E)$;
la sphère~$(\sigma)$ ayant son rayon~$MF'$ perpendiculaire à~$MF$
est constamment tangente à la courbe~$(K)$, donc le point~$M$ est
un point du cercle caractéristique~$(H)$; le plan de ce cercle
est perpendiculaire à la droite~$\Delta$ tangente à~$(c)$, son centre~$H$
sera le pied de la perpendiculaire abaissée de~$M$ sur~$\Delta$; ce
cercle sera donc orthogonal à la sphère~$(\Sigma)$ au point~$M$ et au
point~$M'$ symétrique par rapport au plan~$F \omega F'$; et la surface~$(E)$
est engendrée par le cercle orthogonal à la sphère~$(\Sigma)$
aux points $M, M'$; ce cercle tangent en~$M$ à~$\omega M$ reste orthogonal
à la ligne de courbure~$(K)$, or\Add{,} il est ligne de courbure sur la surface~$(E)$,
donc $(K)$~est aussi ligne de courbure sur la surface~$(E)$.
Si nous faisons varier~$(K)$ nous obtenons une famille
de surfaces~$(E)$ qui seront toutes orthogonales à $(F_{1}),(F_{2})$, et
qui les couperont suivant leurs lignes de courbure. Si maintenant
nous prenons sur~$(F)$ le \Ord{2}{e} système de lignes de courbure,
nous devrons considérer les sphères de centres~$F$ et passant
par~$M$; le cercle caractéristique sera encore le cercle~$(H)$;
de plus, $FM$~et~$F'M$ étant perpendiculaires, les sphères $(\sigma)\Add{,} (\sigma')$ %[** TN: Erratum corrected]
sont orthogonales, donc aussi leurs enveloppes $(E)\Add{,} (E')$. Nous
avons donc \Card{2} familles de surfaces canaux qui se coupent
orthogonalement suivant des lignes de courbure, les cercles~$(H)$;
%% -----File: 302.png---Folio 294-------
donc elles appartiennent à un système triple orthogonal;
autrement dit les cercles~$(H)$ sont orthogonaux à une famille
de surfaces, à laquelle appartiennent $(F), (F')$; et ils établissent
une correspondance entre les points~$M, M'$, donc entre
les lignes de courbure de ces surfaces. Donc \emph{lorsque les cercles~$(H)$
d'une congruence sont orthogonaux aux \Card{2} nappes focales~$(F_1)\Add{,} (F_2)$
d'une congruence de sphères, et s'ils établissent
une correspondance entre les lignes de courbure de ces \Card{2} nappes,
ils sont orthogonaux à une infinité de surfaces sur lesquelles
les lignes de courbure se correspondent; ces surfaces
appartiennent à un système triple orthogonal dont les deux
autres familles sont constituées par les surfaces canaux engendrées
par ceux des cercles~$(H)$ qui s'appuient sur une des
lignes de courbure de~$(F_1)$~ou~$(F_2)$}. De telles congruences de
cercles s'appellent \emph{systèmes cycliques}.

\Section{Congruences de cercles et systèmes cycliques.}
{7.}{} Considérons une famille de $\infty^{2}$~cercles, et cherchons
s'il existe des surfaces normales à tous ces cercles.
Soit~$K$ l'un d'eux, $C(x_0, y_0, z_0)$~son centre, $\rho$~son rayon,
$x_0, y_0, z_0, \rho$~étant fonctions de \Card{2} paramètres~$u, v$.
Pour définir le plan
de ce cercle nous définirons \Card{2} directions
rectangulaires $CA(a, b, c)$~et~$CB(a', b', c')$ passant par le centre du
cercle, et nous fixerons la position
%% -----File: 303.png---Folio 295-------
d'un point~$M$ sur le cercle par l'angle~$(CA, CM) = t$. Les coordonnées
de~$M$ par rapport au système~$CAB$ sont $\rho \cos t$,~$\rho \sin t$, et
ses coordonnées~$x, y, z$ sont
\begin{alignat*}{4}%[** TN: Rebroken]
x &= x_0 &&+ \rho (a \cos t &&+ a' \sin t) &&= x_0 + \rho \alpha', \\
y &= y_0 &&+ \rho (b \cos t &&+ b' \sin t) &&= y_0 + \rho \beta', \\
z &= z_0 &&+ \rho (c \cos t &&+ c' \sin t) &&= z_0 + \rho \gamma'.
\end{alignat*}

\Illustration[1.5in]{302a}
\noindent Cherchons à déterminer~$t$ de façon que la surface lieu du
point correspondant admette pour normale la tangente au cercle
au point~$M$, dont nous désignerons par $\alpha, \beta, \gamma$ les cosinus directeurs.
Nous obtenons la condition
\[
\sum \alpha\, dx = 0,
\]
équation aux différentielles totales des surfaces cherchées.
Développons cette équation; $\alpha, \beta, \gamma$ sont les projections du segment
directeur de la direction~$CM'$ correspondant à~$t + \frac{\pi}{2}$
\[
\alpha = -a \sin t + a' \cos t, \qquad
\beta  = -b \sin t + b' \cos t, \qquad
\gamma = -c \sin t + c' \cos t\DPtypo{;}{.}
\]
Maintenant
\begin{alignat*}{5}%[** TN: Rebroken, filled in last two equations]
dx &= dx_0 &&+ \alpha' · d\rho &&+ \rho \alpha · dt &&+ \rho (\cos t · da &&+ \sin t · da'), \\
dy &= dy_0 &&+ \beta'  · d\rho &&+ \rho \beta  · dt &&+ \rho (\cos t · db &&+ \sin t · db'), \\
dz &= dz_0 &&+ \gamma' · d\rho &&+ \rho \gamma · dt &&+ \rho (\cos t · dc &&+ \sin t · dc');
\end{alignat*}
d'où
\begin{gather*}
\sum \alpha\, dx
  = \sum \alpha · dx_0 + \rho · dt
  + \rho \left[\cos t\sum \alpha\, da + \sin t\sum \alpha\, da'\right] = 0, \\
%
\sin t \sum a\, dx + \cos t\sum a'\, dx_0 + \rho\,dt
  + \rho \left[\cos^2 t \sum a'\, da - \sin^2 t\sum a\, da'\right] = 0\Add{.}
\end{gather*}
Mais
\[
\sum aa'= 0,
\]
d'où en différentiant
\[
\sum a\, da' + \sum a'\, da = 0;
\]
et l'équation devient
\begin{gather*}
-\sin t\sum a\, dx_0 + \cos t\sum a'\, dx_0
  + \rho\, dt - \rho\sum a\, da' = 0, \\
\Tag{(3)}
dt = \sum a\, da' + \frac{1}{\rho}\sum a\, dx_0 \sin t
  - \frac{1}{\rho} \sum a'\, dx_0 \cos t.
\end{gather*}
%% -----File: 304.png---Folio 296-------
Posons
\begin{gather*}
\Tag{(4)}
\tg \frac{t}{2} = w, \\
t = 2 \arctg w,
\end{gather*}
Nous obtenons
\[
\frac{2\, dw}{1 + w^2}
  = \sum a\, da' + \frac{1}{\rho} \sum a\, dx_0 · \dfrac{2w}{1 + w^2}
  - \frac{1}{\rho} \sum a'\, dx_0 \frac{1 - w^2}{1 + w^2},
\]
ou
\[
\Tag{(5)}
2\, dw = (1 + w^2) \sum a\, da' + \frac{2w}{\rho} \sum a\, dx_0
  + \frac{w^2 - 1}{\rho} \sum a'\, dx_0,
\]
équation qui jouit de propriétés analogues à celles de l'équation
de Riccati. Elle peut se mettre sous la forme
\[
dw = A\, du + A'\, dv + w (B\, du + B'\, dv) + w^2 (C\, du + C'\, dv),
\]
qui se décompose en \Card{2} équations aux dérivées partielles:
\[
\Tag{(6)}
\frac{\dd w}{\dd u} = A + B w + C w^2, \qquad
\frac{\dd w}{\dd v} = A' + B' w + C' w^2;
\]
d'où la condition nécessaire et suffisante d'intégrabilité
\begin{multline*}%[** TN: Added break]
\frac{\dd A}{\dd v} + w \frac{\dd B}{\dd v} + w^2 \frac{\dd C}{\dd v}
  + (B + 2Cw) (A' + B' w + C' w^2) \\
  - \left[ \frac{\dd A'}{\dd u}
    + w\frac{\dd B'}{\dd u} + w^2\frac{\dd \Err{c}{C}'}{\dd u}\right]
  - (B' + 2C' w) (A + Bw + Cw^2) = 0.
\end{multline*}

Toute intégrale du système~\Eq{(6)} satisfait à cette condition,
qui est de la forme
\[
L + Mw + Nw^2 = 0.
\]
Si cette condition n'est pas identiquement satisfaite, il ne
peut y avoir d'autres solutions que celles de l'équation
précédente, qui en admet \Card{2}. Si l'on veut qu'il y en ait une
infinité, cette condition doit être identiquement satisfaite,
et comme elle est du \Ord{2}{e} degré, il suffit qu'elle soit satisfaite
par \Card{3} fonctions. Les conditions pour qu'il en soit
ainsi sont
\begin{alignat*}{5}%[** TN: Rebroken]
L &= \frac{\dd A}{\dd v} &&- \frac{\dd A'}{\dd u} &&+ &&BA' - AB' &&= 0, \\
M &= \frac{\dd B}{\dd v} &&- \frac{\dd B'}{\dd u} &&+ 2(&&CA' - AC') &&= 0\DPtypo{.}{,} \\
N &= \frac{\dd C}{\dd v} &&- \frac{\dd C'}{\dd u} &&+ &&CB'- BC' &&= 0\Add{.}
\end{alignat*}
%% -----File: 305.png---Folio 297-------
\emph{Si les cercles sont normaux à \Card{3} surfaces, ils sont normaux à
une infinité de surfaces.}

Il est facile de construire des cercles normaux à \Card{2} surfaces,
car il existe des sphères tangentes aux \Card{2} surfaces, et
les cercles orthogonaux à ces sphères aux points de contact
sont normaux aux \Card{2} surfaces. Si les lignes de courbure se
correspondent sur les \Card{2} surfaces, on a un système cyclique,
système de cercles normaux à $\infty^{1}$~surfaces. Réciproquement,
supposons \Card{2} surfaces normales aux cercles, les conditions
d'intégrabilité se réduiront à une seule; d'autre part, si on
a une enveloppe de sphères, pour exprimer que les lignes de
courbure se correspondent sur les \Card{2} nappes, on obtient aussi
une seule condition. Cherchons à montrer que ces conditions
sont identiques.

Supposons donc qu'il existe une surface normale à tous
ces cercles, supposons qu'elle corresponde à $t = 0$, ou $w = 0$,
l'équation~\Eq{(5)} admet la solution $w = 0$, d'où la condition
\[
\sum a\, da' - \frac{1}{\rho} \sum a'\, dx_0 = 0;
\]
et l'équation devient
\[
\Tag{(7)}
dw = w^2 \sum a\, da' + \frac{w}{\rho} \sum a\, dx_0.
\]
Soit $M_0(x,y,z)$ le point correspondant à $t = 0$
\begin{alignat*}{3}%[** TN: Filled in last two columns]
x    &= x_0 + \rho a, & y   &= y_0 + \rho b, & z    &= z_0 + \rho c, \\
x_0  &= x   - \rho a, & y_0 &= y   - \rho b, & z_0  &= z   - \rho c, \\
dx_0 &= dx - \rho\, da - a\, d\rho,\quad &
dy_0 &= dy - \rho\, db - b\, d\rho,\quad &
dz_0 &= dz - \rho\, dc - c\, d\rho;
\end{alignat*}
d'où
\[
\sum a\, dx_0 = \sum a\, dx - d\rho.
\]
Si maintenant nous considérons la normale~$(l,m,n)$ en~$M_0$ à~$(\Sigma)$,
c'est la tangente au cercle, et \Eq{(7)}~devient
%% -----File: 306.png---Folio 298-------
\[
dw = w^2 \sum a\, dl + \frac{w}{\rho} \left(\sum a\, dx - d\rho\right),
\]
ou
\[
\frac{dw}{w} + \frac{d\rho}{\rho} = w \sum a\, dl + \frac{1}{\rho} \sum a\, dx.
\]

\Illustration[2.25in]{306a}
Nous introduisons ainsi la quantité
\[
\Tag{(8)}
\rho w = r,
\]
et nous obtenons
\begin{align*}
\frac{dr}{r} &= \frac{r}{\rho} \sum a\, dl + \frac{1}{\rho} \sum a\, dx, \\
dr &= \frac{r^2}{\rho} \sum a\, dl + \frac{r}{\rho} \sum a\, dx.
\end{align*}
Or
\[
r = \rho \tg \frac{t}{2},
\]
ce qui montre que $r$~est le rayon de la sphère~$(\Sigma)$ tangente
aux surfaces lieux de $M$~et~$M_0$; son centre est le point~$\omega$ intersection
des tangentes au cercle en $M$~et~$M_0$.

Supposons maintenant qu'il existe une \Ord{2}{e} surface normale
aux cercles. Posons
\begin{gather*}
\Tag{(9)}
\frac{1}{r} = S, \\
dr = -r^2 · dS;
\end{gather*}
et l'équation devient
\begin{gather*}
-r^2 · dS = \frac{r^2}{\rho} \sum a\, dl + \frac{r}{\rho} \sum a\, dx, \\
\Tag{(10)}
dS + \frac{S}{\rho} \sum a\, dx + \frac{1}{\rho} \sum a\, dl = 0.
\end{gather*}
Soit $S_1$\DPtypo{,}{} la solution connue
\[
dS_1 + \frac{S_1}{\rho} \sum a\, dx + \frac{1}{\rho} \sum a\, dl = 0,
\]
d'où en retranchant
\begin{gather*}
d(S - S_1) + \frac{S - S_1}{\rho} \sum a\, dx = 0, \\
\Tag{(11)}
d\log (S - S_1) = -\frac{1}{\rho} \sum a\, dx.
\end{gather*}
Pour que l'équation ait d'autres intégrales, il faut que $\dfrac{1}{\rho} \sum a\, dx$
%% -----File: 307.png---Folio 299-------
soit différentielle exacte. Or\Add{,} nous avons
\[
\frac{\dd S_1}{\dd u} + \frac{S_1}{\rho} \sum a \frac{\dd x}{\dd u}
  + \frac{1}{\rho} \sum a \frac{\dd l}{\dd u} = 0, \quad
\frac{\dd S_1}{\dd v} + \frac{S_1}{\rho} \sum a \frac{\dd x}{\dd v}
  + \frac{1}{\rho} \sum a \frac{\dd l}{\dd v} = 0.
\]
Supposons que les lignes coordonnées soient lignes de courbure.
Les formules d'Olinde Rodrigues donnent
\begin{alignat*}{3}%[** TN: Filled in missing columns in two systems below]
\frac{\dd l}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd x}{\dd u}, \qquad &
\frac{\dd m}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd y}{\dd u}, \qquad &
\frac{\dd n}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd z}{\dd u}, \\
%
\frac{\dd l}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd x}{\dd v}, \qquad &
\frac{\dd m}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd y}{\dd v}, \qquad &
\frac{\dd n}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd z}{\dd v}.
\end{alignat*}
Posons
\[
- \frac{1}{R} = T,  \qquad  - \frac{1}{R'} = T',
\]
\begin{alignat*}{3}
\frac{\dd l}{\dd u} &= T \frac{\dd x}{\dd u}, \qquad &
\frac{\dd m}{\dd u} &= T \frac{\dd y}{\dd u}, \qquad &
\frac{\dd n}{\dd u} &= T \frac{\dd z}{\dd u}, \\
%
\frac{\dd l}{\dd v} &= T' \frac{\dd x}{\dd v}, \qquad &
\frac{\dd m}{\dd v} &= T' \frac{\dd y}{\dd v}, \qquad &
\frac{\dd n}{\dd v} &= T' \frac{\dd z}{\dd v};
\end{alignat*}
Alors
\[
\sum a \frac{\dd l}{\dd u} = T \sum a \frac{\dd x}{\dd u}, \qquad
\sum a \frac{\dd l}{\dd v} = T'\sum a \frac{\dd x}{\dd v},
\]
et les conditions pour que $S_1$\DPtypo{,}{} soit intégrale deviennent
\[
\frac{\dd S_1}{\dd u} + (S_1 + T)  \frac{\displaystyle\sum a \dfrac{\dd x}{\dd u}}{\rho} = 0,
\qquad
\frac{\dd S_1}{\dd v} + (S_1 + T') \frac{\displaystyle\sum a \dfrac{\dd x}{\dd v}}{\rho} = 0;
\]
d'où
\[
-\frac{1}{\rho} \sum a\, dx
  = \frac{1}{S_1 + T}\,  \frac{\dd S_1}{\dd u}\, du
  + \frac{1}{S_1 + T'}\, \frac{\dd S_1}{\dd v}\, dv\Add{.}
\]
Exprimons que le \Ord{2}{e} membre est une différentielle exacte,
nous aurons l'équation aux dérivées partielles des systèmes
cycliques
\[
\Tag{(12)}
\Omega
  = \frac{\dd}{\dd v} \left(\frac{1}{S_1 + T}\,  \frac{\dd S_1}{\dd u}\right)
  - \frac{\dd}{\dd u} \left(\frac{1}{S_1 + T'}\, \frac{\dd S_1}{\dd v}\right)
  = 0.
\]
Montrons que \emph{cette condition exprime que les lignes de courbure
se correspondent sur les surfaces $M_0, M_1$}. D'après le
Théorème de Dupin, pour qu'il en soit ainsi il faut et il
suffit que ces lignes de courbure correspondent à un réseau
conjugué sur la surface lieu de~$\omega$. Soient $X,Y,Z$ les coordonnées
de~$\omega$:
\[
X = x + \frac{1}{S} l, \qquad
Y = y + \frac{1}{S} m, \qquad
Z = z + \frac{1}{S} n;
\]
pour que sur cette surface les courbes $u = \cte$, $v = \cte$ forment
%% -----File: 308.png---Folio 300-------
un réseau conjugué, il faut que
\[
\Tag{(13)}
\begin{vmatrix}
  \mfrac{\dd^2 X}{\dd u\, \dd v} &
  \mfrac{\dd X}{\dd u} &
  \mfrac{\dd X}{\dd v}
\end{vmatrix} = 0.
\]
Mais
\begin{align*}
\frac{\dd X}{\dd u}
  &= \frac{\dd x}{\dd u} + \frac{T}{S}\, \frac{\dd x}{\dd u}
  + l\frac{\dd \left(\dfrac{1}{s}\right)}{\dd u}
  = \left(1 + \frac{T}{S}\right) \frac{\dd x}{\dd u}
  + l \frac{\dd \left(\dfrac{1}{s}\right)}{\dd u},
  &&\text{\dots, \qquad \dots,} \\
\frac{\dd X}{\dd v}
  &= \left(1 + \frac{T'}{S}\right) \frac{\dd x}{\dd v}
  + l\frac{\dd \left(\dfrac{1}{s}\right)}{\dd v},
  &&\text{\dots, \qquad \dots;}
\end{align*}
relations qu'on peut encore écrire
\begin{alignat*}{3}
\frac{\dd X}{\dd u} &= \frac{S + T}{S^2}
  &&\left[S \frac{\dd x}{\dd u} - \frac{1}{S + T}\, \frac{\dd s}{\dd u} l\right],
  &&\text{\dots, \qquad \dots,} \\
\frac{\dd X}{\dd v} &= \frac{S + T'}{S^2}
  &&\left[S \frac{\dd x}{\dd v} - \frac{1}{S + T'}\, \frac{\dd s}{\dd v} l\right],
  \qquad&&\text{\dots, \qquad \dots,}
\end{alignat*}
dans le déterminant~\Eq{(13)} nous pouvons remplacer $\dfrac{\dd^2 X}{\dd u\, \dd v}$ par
\[%[** TN: Not displayed in original]
\frac{\dd}{\dd v} \left(M \frac{\dd X}{\dd u}\right)
  - \frac{\dd}{\dd u} \left(N \frac{\dd X}{\dd v}\right)
\]
à condition que $M - N \neq 0$; nous prendrons
$M = \dfrac{S^2}{S + T}$ et $N = \dfrac{S^2}{S + T'}$; nous avons alors à vérifier la relation
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd S}{\dd v} · \mfrac{\dd x}{\dd u}
  - \mfrac{\dd S}{\dd u}\, \mfrac{\dd x}{\dd v}
  - \mfrac{T'}{S + T}\, \mfrac{\dd S}{\dd u} · \mfrac{\dd x}{\dd v}
  + \mfrac{T}{S + T'}\, \mfrac{\dd S}{\dd v} · \mfrac{\dd X}{\dd u}
  - \Omega l \\
S \mfrac{\dd x}{\dd u} - \mfrac{1}{S + T}\,  \mfrac{\dd S}{\dd u}\, l \\
S \mfrac{\dd X}{\dd v} - \mfrac{1}{S + T'}\, \mfrac{\dd S}{\dd v}\, l
\end{vmatrix} = 0\DPtypo{;}{.}
\]
Multiplions la \Ord{2}{e} ligne par $-\dfrac{S + T + T'}{S(S + T')}\, \dfrac{\dd S}{\dd v}$, la \Ord{3}{e} par
$\dfrac{S + T + T'}{S(S + T)}\, \dfrac{\dd S}{\dd u}$ et ajoutons à la \DPtypo{1ère}{\Ord{1}{ère}}, nous obtenons
\[
\Omega S^2 \begin{vmatrix}
  1 & \mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd x}{\dd v}
\end{vmatrix} = 0,
\]
or\Add{,} le déterminant n'est pas nul, $S$~non plus, donc $\Omega = 0$ et
réciproquement. Les conditions sont identiques.

\Section{Transformation de contact de \DPtypo{Ribeaucour}{Ribaucour}.}
{}{Remarque.} Considérons une sphère fixe de centre~$\omega$, et
les cercles~$(K)$ orthogonaux à cette sphère; considérons une
surface~$(S)$, un de ses points~$M$, et l'élément de contact en ce
point; il y a un cercle~$(K)$ et un seul passant par~$M$ et normal
%% -----File: 309.png---Folio 301-------
en ce point à la surface~$(S)$. Donc à la surface~$(S)$ correspond
une congruence de cercles qui lui sont orthogonaux; de
plus ces cercles étant orthogonaux à la sphère~$(\omega)$ en \Card{2} points
sont orthogonaux à \Card{3} surfaces\Add{;} ils constituent donc un système
cyclique. Soient $P\Add{,} P'$ les points où le cercle~$(K)$ rencontre la
sphère; déterminons sur ce cercle le point~$M'$ tel que $\Ratio{M}{M'}{P}{P'} = \cte[]$.
Le lieu du point~$M'$ est une surface normale à~$(K)$, puisque
l'équation~\Eq{(5)} a mêmes propriétés que l'équation de Riccati\Add{.}
A l'élément de contact de la surface~$(S)$ au point~$M$ correspond
ainsi un élément de contact d'une autre surface; les lignes
de courbure se correspondent sur les \Card{2} surfaces, et nous avons
ainsi un groupe de transformations de contact conservant les
lignes de courbure.

Ces résultats subsistent si on prend les cercles~$(K)$
normaux à un plan fixe.

\Section{Surfaces de Weingarten.}
{8.}{} Nous avons considéré des congruences de sphères telles
que les lignes de courbure se correspondent sur les \Card{2} nappes
focales. Aux sphères, la transformation de S.~Lie fait
correspondre des droites, et aux lignes de courbure correspondent
les lignes asymptotiques. Nous aurons donc à considérer
des congruences de droites telles que les asymptotiques
se correspondent sur les \Card{2} nappes focales. Nous nous
bornerons au cas où la congruence est une congruence de normales,
et le problème revient ainsi à chercher les surfaces
telles que les asymptotiques se correspondent sur les \Card{2} nappes
de la développée.

Soit donc une surface~$(\Sigma)$ sur laquelle nous prendrons
les lignes de courbure pour lignes coordonnées; soient $l,m,n$
%% -----File: 310.png---Folio 302-------
les cosinus directeurs de la normale, $R, R'$ les rayons de
courbure principaux. Les \Card{2} nappes de la développée ont pour
équations
\begin{alignat*}{3}
\Tag{(S)}
X &= x + Rl, & Y &= y + Rm, & Z &= z + Rn; \\
\Tag{(S')}
X' &= x + R'l, \qquad & Y' &= y + R'm, \qquad & Z' &= z + R'n.
\end{alignat*}
Cherchons les asymptotiques de~$(S), (S')$; et exprimons que les
équations différentielles en $u, v$ sont les mêmes. Ici les lignes
coordonnées formant un réseau orthogonal et conjugué, on
a
\begin{gather*}
ds^{2} = E\, du^{2} + G\, dv^{2}, \\
\sum l\, d^{2}x = L\, du^{2} + N\, dv^{2};
\end{gather*}
et
\[
\frac{1}{R} = \frac{L}{E}, \qquad
\frac{1}{R'} = \frac{N}{G},
\]
d'où
\[
\sum l\, d^{2} x = \frac{E}{R}\, du^{2} + \frac{G}{R'}\, dv^{2}.
\]
Les formules d'O.~Rodrigues donnent
\begin{alignat*}{3}%[** TN: Filled in last two columns]
\frac{\dd x}{\dd u} &= -R\, \frac{\dd l}{\dd u}, &
\frac{\dd y}{\dd u} &= -R\, \frac{\dd m}{\dd u}, &
\frac{\dd z}{\dd u} &= -R\, \frac{\dd n}{\dd u}, \\
\intertext{d'où}
\frac{\dd l}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd x}{\dd u}, &
\frac{\dd m}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd y}{\dd u}, &
\frac{\dd n}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd z}{\dd u}, \\
\intertext{et}
\frac{\dd l}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd x}{\dd v}, \qquad &
\frac{\dd m}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd y}{\dd v}, \qquad &
\frac{\dd n}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd z}{\dd v};
\end{alignat*}
et par conséquent
\begin{align*}%[** TN: Rebroken]
dX &= dx + R\, dl + l\, dR \\
   &= \frac{\dd x}{\dd u}\, du + \frac{\dd x}{\dd v}\, dv
  - R \left(\frac{1}{R} · \frac{\dd x}{\dd u} du
    + \frac{1}{\DPtypo{R}{R'}}\, \frac{\dd x}{\dd v} dv\right) + l\, dR \\
   &= \left(1 - \frac{R}{R'}\right) \frac{\dd x}{\dd v} dv + l\, dR,
\end{align*}
formules qui montrent que la normale à~$(S)$ a pour coefficients
de direction $\dfrac{\dd x}{\dd u}, \dfrac{\dd y}{\dd u}, \dfrac{\dd z}{\dd u}$.

On a donc sur cette surface~$(S)$
\[
ds^{2} = \left(1 - \frac{R}{R'}\right)^{2} G\, dv^{2} + dR^{2},
\]
ce qui met en évidence sur la surface~$(S)$ une famille de géodésiques
$v = \cte$, et leurs trajectoires orthogonales $R = \cte[]$.
%% -----File: 311.png---Folio 303-------
L'équation \DPtypo{differentielle}{différentielle} des asymptotiques est
\begin{align*}
&\sum dl · dX = 0, \\
\intertext{ou}
&\sum d\left(\frac{\dd x}{\dd u}\right) · dX = 0.
\end{align*}
Développons cette équation. Le coefficient de $\left(1 - \dfrac{R}{R'}\right) · dv$ est
\[
\sum \frac{\dd x }{ \dd v}\, d\left(\frac{\dd x}{\dd u}\right)
  = du \sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}}
  + dv \sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v};
\]
\DPtypo{Or}{or} on a
\[
\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd v} = 0;
\]
d'où
\[
\sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}}
  = -\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v}
  = -\frac{1}{2} · \frac{\dd E}{\dd v},
\]
et
\[
\sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v}
  = \frac{1}{2} · \frac{\dd G}{\dd u}.
\]
Le coefficient de~$dR$ est
\[
\sum l\, d\left(\frac{\dd x}{\dd u}\right)
  = \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} · du
  + \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v}\, dv
  = \frac{E}{R}\, du,
\]
d'où l'équation aux asymptotiques
\[
\frac{1}{2}\left(1 - \frac{R}{R'}\right)
  \left[- \frac{\dd E}{\dd v}\, du\, dv
        + \frac{\dd G}{\dd u}\, dv^{2}\right]
      + \frac{E}{R}\, dR\, du = 0.
\]
Les courbes $u = \cte$, $v = \cte$ correspondent à des courbes conjuguées
sur la surface~$(S)$, donc le coefficient de~$du\, dv$ dans
l'équation précédente est nul:
\[
\Tag{(1)}
-\frac{1}{2} \left(1 - \frac{R}{R'}\right) \frac{\dd E}{\dd v}
  + \frac{E}{R}\, \frac{\dd R}{\dd v} = 0;
\]
et l'équation devient
\[
\frac{1}{2} \left(1 - \frac{R}{R'}\right) \frac{\dd G}{\dd u}\, dv^{2}
  + \frac{E}{R}\, \frac{\dd R}{\dd u}\, du^{2} = 0.
\]
De même sur la surface~$(S')$ on obtiendra la condition
\[
\Tag{(2)}
-\frac{1}{2} \left(1 - \frac{R'}{R}\right) · \frac{\dd G}{\dd u}
  + \frac{G}{R'}\, \frac{\dd R'}{\dd u} = 0,
\]
de sorte que l'équation aux asymptotiques de~$(S)$ peut s'écrire
\[
-\frac{G}{R'{}^2}\, \frac{\dd R'}{\dd u}\, dv^{2}
  + \frac{E}{R^{2}}\, \frac{\dd R}{\dd u}\, du^{2} = 0,
\]
ou
\[
G\, \frac{\dd\left(\dfrac{1}{R'}\right)}{\dd u}\, dv^{2}
  - E\, \frac{\dd\left(\dfrac{1}{R}\right)}{\dd u}\, du^{2} = 0;
\]
%% -----File: 312.png---Folio 304-------
et de même pour~$(S')$
\[
E\, \frac{\dd \left(\dfrac{1}{R}\right)}{\dd v}\, du^{2}
  - G\, \frac{\dd \left(\dfrac{1}{R'}\right)}{\dd v}\, dv^{2} = 0.
\]
Pour que ces équations soient identiques, il faut et il suffit
que l'on ait
\[
\begin{vmatrix}
\mfrac{\dd \left(\dfrac{1}{R}\right)}{\dd u} &
\mfrac{\dd \left(\dfrac{1}{R'}\right)}{\dd u} \\
\mfrac{\dd \left(\dfrac{1}{R}\right)}{\dd v} &
\mfrac{\dd \left(\dfrac{1}{R'}\right)}{\dd v}
\end{vmatrix}
= 0,
\]
c'est-à-dire que $\dfrac{1}{R}$~soit fonction de~$\dfrac{1}{R'}$. \emph{Les rayons de courbure
sont fonctions l'un de l'autre \(\DPtypo{Ribeaucour}{Ribaucour}\).} Ces surfaces
s'appellent \emph{surfaces de Weingarten, ou surfaces~$W$}. Les surfaces
minima en sont un cas particulier $(R + R' = 0)$.

Supposons que nous partions d'une surface~$(W)$: $R'$~est
fonction de~$R$, et la condition~\Eq{(2)} montre que
\[
\frac{\dd \log G}{\dd u} = \Psi(R)\, \frac{\dd R}{\dd u},
\]
d'où
\begin{gather*}
\log G = \chi(R) + \theta(v), \\
G = e^{\chi(R)}\, e^{\theta(v)} = F(R)\, K(v);
\end{gather*}
et sur la développée
\[
ds^{2} = \Theta^{2}(R)\, K(v)\, dv^{2} + dR^{2}.
\]
Posons
\[
\sqrt{K(v)}\, dv = dV,
\]
nous avons
\[
ds^{2} = dR^{2} + \Theta^{2}(R)\, dV^{2},
\]
forme caractéristique de l'élément d'arc des surfaces de révolution
rapportées aux méridiens et aux parallèles. Si nous
rapportons la méridienne à l'arc, ses équations sont
\begin{alignat*}{3}
x &= \Theta (s), & y &= 0,   & z &= \Theta_{1}(s);\\
\intertext{et celles de la surface de révolution sont}
x &= \Theta(s)\cos V, \qquad & y &= \Theta(s)\sin V, \qquad &z &= \Theta_{1}(s).
\end{alignat*}
%% -----File: 313.png---Folio 305-------
\emph{On voit ainsi que les développées de toute surface~$W$ sont applicables
sur des surfaces de révolution, les méridiens correspondant
à une famille de géodésiques et les parallèles à
leurs trajectoires orthogonales.}

\Paragraph{Application.} Supposons la surface~$W$ à courbure totale
constante. En changeant d'unité on peut toujours écrire
\begin{align*}
&RR' = - 1, \\
&R' = - \frac{1}{R};
\end{align*}
la condition~\Eq{(2)} s'écrit
\begin{gather*}
\left(1 + \frac{1}{R^{2}}\right) \frac{\dd G}{\dd u}
  = -\frac{2G}{R}\, \frac{\dd R}{\dd u}, \\
\frac{\dd \log G}{\dd u}
  = -\frac{2R}{R^{2} + 1}\, \frac{\dd R}{\dd u}
  = -\frac{\dd \log (R^{2} + 1)}{\dd u}, \\
G = \frac{1}{R^{2} + 1}\, K(v), \\
dS^{2} = (R^{2} + 1) · dV^{2} + dR^{2}.
\end{gather*}
Posons
\[
\Theta(R) = \sqrt{R^{2} + 1}\Add{,}
\]
la méridienne de la surface de révolution est donc telle que l'on ait
\[
x = \sqrt{s^{2} + 1},
\]
d'où
\[
s = \sqrt{x^{2} - 1}.
\]
Cherchons~$z$.
\begin{align*}
dx^{2} + dz^{2} &= ds^{2} = dx^{2} · \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}, \\
dz^{2} &= \frac{dx^{2}}{x^{2} - 1}, \\
dz &= \frac{dx}{\sqrt{x^{2} - 1}},
\end{align*}
\vspace*{-\belowdisplayskip}%
\vspace*{-\abovedisplayskip}%
\begin{gather*}
z = \DPtypo{L}{\log}(x + \sqrt{x^{2} - 1}),\vphantom{\bigg|} \\
x + \sqrt{x^{2} - 1} = e^{z},
\end{gather*}
d'où
\[
x - \sqrt{x^{2} - 1} = e^{-z};
\]
d'où
\[
x = \frac{1}{2}\, (e^{z} + e^{-z})\Add{,}
\]
%% -----File: 314.png---Folio 306-------
\emph{les \Card{2} nappes de la développée d'une surface à courbure totale
constante sont applicables sur l'alysséide}. c\Add{.}à\Add{.}d.\ sur la surface
engendrée par une chaînette qui tourne autour de sa base.


\ExSection{XIII}

\begin{Exercises}
\item[54.] Soit $S$ une surface quelconque et $\Pi$~un plan quelconque. On
considère toutes les sphères~$U$ ayant leurs centres sur~$S$ et
coupant le plan~$\Pi$ sous un angle constant~$\phi$ tel que l'on ait
$\cos\phi = \dfrac{1}{\DPtypo{K}{k}}$. Soit $S'$ la surface déduite de~$S$ en réduisant les
%[** TN: Fraction has imaginary value, but also appears in typeset edition]
ordonnées de~$S$ perpendiculaires à~$\Pi$ dans le rapport $\dfrac{\sqrt{1-k^2}}{1}$.

Les sphères~$U$ enveloppent une surface à deux nappes. Montrer
que leurs lignes de courbure correspondent point par point à
celles de~$S'$. Examiner le cas où $S$~est du second degré.

\item[55.] De chaque point~$M$ d'une surface~$S$ comme centre, on décrit un
cercle~$K$ situé dans le plan tangent à~$S$, et dont le rayon soit
égal à une constante donnée.

%[** Regularized formatting of parts]
\Primo. Déterminer les familles de
$\infty^{1}$~cercles~$K$ qui engendrent une surface sur laquelle ces cercles
soient lignes de courbure. Lieux des centres des sphères
dont une telle surface est l'enveloppe.

\Secundo. Trouver la condition
nécessaire et suffisante pour que les cercles~$K$ forment
%% -----File: 328.png---Folio 320-------
un système cyclique. Cette condition étant supposée
remplie, soit~$S_{1}$, l'une des surfaces normales aux cercles~$K$;
montrer que les lignes de courbure de~$S_{1}$, correspondent à celles
de~$S$, quand on fait correspondre à chaque point~$M$ de~$S$
le point~$M_{1}$ du cercle~$K$ correspondant où $S_{1}$~est normal à~$K$.

\Tertio. Montrer que $S_{1}$~a une courbure totale constante, et que
la congruence de droites qui a~$S,S_{1}$ pour surfaces focales est
une congruence de normales.

\Quarto. Soit $C$~l'un des centres de
courbure principaux de~$S$ en~$M$, et $C_{1}$~le centre de courbure
principal de~$S_{1}$ en~$M_{1}$, qui correspond à~$C$. \DPchg{Etudier}{Étudier} la congruence
des droites~$CC_{1}$.

\item[56.] \DPchg{Etant}{Étant} donnée une surface~$S$, on désigne par~$C$ l'une quelconque
des lignes de courbure de l'une des familles, par~$C'$ l'une
quelconque des lignes de courbure de l'autre famille, de
sorte qu'en un point~$M$ de~$S$ se croisent une courbe~$C$ et une
courbe~$C'$. Soient $\omega, \omega'$ les centres de courbure principaux
correspondant à ces deux courbes; et soient $G,G'$ les centres
de courbure géodésique de ces deux courbes.

% [** TN: Regularized formatting of parts]
\Primo. Que peut-on
dire des congruences définies respectivement par les quatre
droites $MG, MG', G\omega, G'\omega'$?

\Secundo. Soit $(\gamma)$~le cercle osculateur
à~$C$ en~$M$. Démontrer que $(\gamma)$~engendre une surface canal
quand $M$~décrit une courbe~$C'$. Trouver les sphères dont cette
surface canal est l'enveloppe.

\Tertio. Montrer que si $S$~fait
partie de l'une des familles d'un système triple orthogonal,
les cercles osculateurs aux trajectoires orthogonales des
surfaces de cette famille, construits aux divers points de~$S$
forment un système cyclique.

\item[57.] Soit $O$ un point fixe, et $S$~une surface quelconque; en un point
quelconque~$M$ de~$S$ on mène le plan tangent~$P$ et de~$O$ on abaisse
la perpendiculaire sur~$P$; soit $H$ non pied.

%[** TN: Regularized formatting of parts]
\Primo. Trouver les
courbes de~$S$ qui, en chacun de leurs points~$M$, admettent $MH$~pour
normale.

\Secundo. Soit $HI$ la médiane du triangle~$OHM$; la
congruence des droites~$HI$ est une congruence de normales.
Trouver les surfaces normales à toutes ces droites. Montrer
que leurs lignes de courbure correspondent à un réseau de
courbes conjuguées décrites par~$M$ sur~$S$.

\Tertio. Soit $K$ le
point où le plan perpendiculaire à~$MO$ rencontre~$MH$; et soit~$(\gamma)$
le cercle de centre~$K$, passant en~$O$, et \DPtypo{situe}{situé} dans le
plan~$MOK$. Les cercles~$(\gamma)$ forment un système cyclique.

\item[58.] De chaque point~$M$ du \DPchg{paraboloide}{paraboloïde}
\[
\Tag{(P)}
xy - az = 0,
\]
comme centre, on décrit une sphère~$\Sigma$ tangente au plan~$\DPtypo{xoy}{xOy}$.
Soit $A$ le point de contact de~$\Sigma$ avec ce plan et $B$~le second
point de contact de~$\Sigma$ avec son enveloppe.

%[** TN: Regularized formatting of parts]
\Primo. Quelles courbes
doit décrire~$M$ sur~$(P)$ pour que $AS$~engendre une développable?
Ces courbes forment sur~$P$ un réseau conjugué, et leurs
tangentes en chaque point~$M$ sont perpendiculaires aux plans
focaux de la congruence engendrée par~$AS$.

\Secundo. Déterminer
les lignes de courbure de l'enveloppe de~$\Sigma$; les normales
menées à cette enveloppe le long de chaque ligne de courbure
découpent sur~$(P)$ un réseau \DPtypo{conjugue}{conjugué}.

\Tertio. On considère le
cercle~$C$ normal à~$\Sigma$ en $A$~et~$B$. Montrer qu'il y a une infinité
de surfaces normales à tous les cercles~$C$, et les déterminer.

\Quarto. Montrer que ces surfaces forment l'une des familles d'un
système triple orthogonal, et achever de déterminer ce
système.
\end{Exercises}

%[** TN: Exercises moved to the end of the respective chapters]
%% -----File: 315.png---Folio 307-------
% Chapitre II: #8 -- #11
%% -----File: 316.png---Folio 308-------
% Chapitre III: #12 -- #14
%% -----File: 317.png---Folio 309-------
% #14 -- #17
%% -----File: 318.png---Folio 310-------
% Chapitre IV: #18 -- #20; Chapitre V: #21 -- #26
%% -----File: 319.png---Folio 311-------
% #26 -- #28
%% -----File: 320.png---Folio 312-------
% #28; Chapitre VI: #29 -- #31
%% -----File: 321.png---Folio 313-------
% #31; Chapitre VII: #32 -- #36
%% -----File: 322.png---Folio 314-------
% #36 -- #39
%% -----File: 323.png---Folio 315-------
% #39 -- Chapitre VIII: #40 -- #41
%% -----File: 324.png---Folio 316-------
% #41 -- #42
%% -----File: 325.png---Folio 317-------
% Chapitre IX: #43 -- #44; Chapitre X: #45 -- #47
%% -----File: 326.png---Folio 318-------
% #47 -- #49; Chapitre XI: #50 -- #52; Chapitre XII: #53
%% -----File: 327.png---Folio 319-------
% #53; Chapitre XIII: #54 -- #55
%% -----File: 329.png---Folio 321-------
% #55 -- #56
%% -----File: 330.png---Folio 322-------
% #57 -- #58
%% -----File: 331.png---Folio 323-------
% #58

\iffalse%%[** TN: Raw DP formatter code for errata]
\Section{Errata\Add{.}}

\DPnote{[** d^o means dito, used
\newcommand{\dito}{\qquad d$^\text{o}$\qquad}]}

\begin{tabular}{ccll}
Page & Ligne && Lire \\
[x]7  & 6      & Au lieu de $- \dfrac{1}{6R^2} ds$ & $- \dfrac{1}{6R^2} ds^3$ \\
[x]7  & Figure & [Illustration] & [Illustration] \\
[x]7  & 15     & Au lieu de $T\ 0$ &  $T < 0$ \\
[x]11 & avant dernière & \dito  le lieu des sphères & le lieu des centres des sphères. \\
[x]16 & 7      & \dito  $- \dfrac{1}{6R} ds^3$ & $- \dfrac{1}{6R^2} ds^3$ \\
[x]17 & 8      & \dito  secteur  & vecteur \\
[x]19 & 15     & \dito  $\sum \dfrac{\dd x}{\dd u} \dfrac{\dd x}{\dd v^2}$ & $\sum \dfrac{\dd x}{\dd u} \dfrac{\dd x}{\dd v}$ \\
[x]20 & 8 en remontant & \dito  $(S') (S')$ & $(S) (S')$ \\
[x]21 & 3      & \dito            $x = F$   & $x = F_1$ \\
[x]   &        & \phantom{\dito } $y = G_2$ & $y = G_1$ \\
[x]   &        & \phantom{\dito } $z = H$   & $z = H_1$ \\
[x]21 & 7 en remontant & \dito  $\dfrac{E_1}{E} = \dfrac{F_1}{F} = \dfrac{G_1}{G}$ & $\dfrac{E}{E_1} = \dfrac{F}{F_1} = \dfrac{G}{G_1}$ \\
[x]22 & 13, 14 & \dito  $dd(uv),d\beta(uv)$ & $d\alpha(u,v),d\beta(u,v)$ \\
[x]29 & 9 en remontant & \dito  $\dfrac{a\sin\theta}{R}$ & $- \dfrac{a\sin\theta}{R}$ \\
[x]30 & 9      & \dito  $\sum a, \dfrac{d^2x}{ds}$ & $\sum a, \dfrac{d^{2}x}{ds^2}$ \\
[x]31 & 3 en remontant & \dito  $\Omega^2 (du\,d^{2}v - \dots$ & $- H^2 (du\,d^{2}v$ \\
[x]33 & Figure & la lettre M &  Manque au sommet de l'angle $\theta$. \\
[x]35 & dernière & Au lieu de $1$  & $l$ \\
[x]37 & 15     & \dito  $r\,d^{2}x$ & $r\,dx^2$ \\
[x]37 & 10 en remontant & \dito   elipse  & ellipse \\
\end{tabular}
%% -----File: 332.png---Folio 324-------
\begin{tabular}{ccll}
\emph{Page} & \emph{Ligne} &&  \emph{Lire} \\
[x]41  & dernière        & Au lieu de $= - c$  &  $= - c^2$ \\
[x]49  & 3 en remontant  & \dito $h()$  & $h (u)$ \\
[x]53  & 4 en remontant  & \dito pour coordonnées  &  pour lignes coordonnées \\
[x]57  & 3 en remontant  & \dito $E\, du + F'\, dv$  &  E'\,du + F'\,dv \\
[x]74  & 3               & \dito $A' < 0$  &   $A A'< 0$ \\
[x]75  & 5 en remontant  & \dito $\dots dv\,dv - \dots dv\,du \dots$  &  $d\gamma \dots d\gamma$ \\
[x]87  & 3 en remontant  & \dito $MG$ fait avec $MG$  &  $MG_1$ fait \dots \\
[x]94  & 1               & \dito par $u,v,w,\dots a,s,$  &  par $u',v',w',\dots$ a~$s$, \\
[x]114 & 8 en remontant  & \dito $z = (v)\phi$  &   $z = \phi(v)$ \\
[x]142 & 4 en remontant  & \dito $\dfrac{1}{du} \dfrac{2du}{1+w^2}$  &  $\dfrac{1}{du} \dfrac{2dw}{1+w^2}$ \\
[x]152 & 10              & \multicolumn{2}{l}{Mettre le chiffre (3) à l'équation précédente} \\
[x]156 & 12 en remontant & Au lieu de sur $(\phi)$    &   sur $(\phi')$ \\
[x]163 & 10 en remontant & \dito   $\dfrac{-r\,dr}{dr}$  &  $\dfrac{-r\,dr}{dr^2}$ \\
[x]165 & Figure          & $(T)$  &  $(\Gamma)$ \\
[x]169 & 2 en remontant  & \dito   $+\zeta\left(-\dfrac{a}{R} - \dfrac{a''}{T} -\right)ds$   &  $+\eta \left(-\dfrac{a}{R} - \dfrac{a''}{T}\right)ds$ \\
[x]175 & 10 en remontant & \dito   résolues en $x,y$  &  résolues en $x_1,y_1$ \\
[x]176 & 2               & \dito   avec $0,x$  &  $0x_1$  \\
[x]188 & 2               & \dito   $\rho = \cte$  &  $\rho = 0$ \\
[x]189 &                 & \dito   $M M$  &   $M M_1$  \\
[x??]189 & 8 en remontant  & \dito  $x = x + \rho x \text{etc}\dots$  &  $= x + \rho x,$ \\
[x]191 & 12              & \dito   $x$  &  $x_1$
\end{tabular}
%% -----File: 333.png---Folio 325-------
\begin{tabular}{ccll}
\emph{Page} & \emph{Ligne} &&  \emph{Lire} \\
[x]191 &  10 en remontant &  Au lieu de $\dfrac{\dd Q}{\dd \lambda}$  &  $\dfrac{\dd Q}{\dd \lambda} \dfrac{\dd x}{\dd \mu$ \\
[x]191 &  7  en remontant &  \dito  $\dfrac{\dd x}{\dd \mu$  &  $\dfrac{\dd x'}{\dd \mu}$ \\
[x]191 &  7  en remontant &  \dito   car $\dfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}$ etc\dots  &  car $\dfrac{\dd\DPtypo{'}{^2} x}{\dd \lambda\, \dd \mu} = \dfrac{\dd x_1}{\dd \mu}$ et $\dfrac{\dd x}{\dd \lambda} = x_1$ \\
[x]193 &  4               &  \dito   $(S)$  &  (5) \\
[x]19[** TN: sic, presumed 193] &  12     &  \dito   $x_1$  &  $x$  \\
[x]199 &  6 en remontant  &  \dito   $(S_1)$  &  $(S'_1)$  \\
[x]199 &  2 en remontant  &  \dito   l'homothétique de~$M$  &  l'homothétique de~$M_1$ \\
[x]200 &  3               &  \dito   au rayon~$OM$  &   au rayon~$OM_1$  \\
[x]200 &  7               &  \dito   $OM$  &   $OM_1$  \\
[x]200 &  8               &  \dito   $(S)$ (au commencement de la ligne)  &  $(S_1)$  \\
[x]204 &  14              &  \dito   $= 0 \lambda$ &  $= 0$ \\
[x]207 &  6 en remontant  &  \dito   $f(x,y,z,U}{W,V}{W) = 0$  &  $f(x,y,z,-U}{W,-V}{W) = 0$ \\
[x?]212 &  9               &  \dito   les développables de l'une des familles  &  ces développables \\
[x]212 &  11              &  \dito   indépendant de la développable     &      indépendant de la congruence \\
[x]222 &  13              &  \dito   $p = cY-bz$ \dots  &  ajouter: ou encore $p = yz-zY$ et l'équation écrite à la ligne
 18 sera $\chi (X-x, Y-y, Z-z, yZ-zY, zX-xZ, xY-yX) = 0$ \\
[x]223 &  11 en remontant &  \dito   $p = yz' - zy$  &  $p = yz' - zy'$ \\
[x]    &                  &          $q = zx' - xz$  &  $q = zx'- xz'$ \\
[x]224 &  9               &  \dito   $p_{ik} = \begin{vmatrix}x & x_k \\ y & y_k \end{matrix}$ & $p_{ik} = \begin{vmatrix}x_i & x_k \\ y_i & y_k \end{matrix}$
\end{tabular}
%% -----File: 334.png---Folio 326-------
\begin{tabular}{ccll}
\emph{Page} & \emph{Ligne} &&  \emph{Lire} \\
[x]232 &  8               & Au lieu de $+ c R$  &  $+ C R$ \\
[x]243 &  4               & \dito    focal &  polaire \\
[x]270 &  1               & \dito   $\dfrac{\dd \Psi}{dy} + \dfrac{\dd \Psi}{dz} = 0$  &  $\dfrac{\dd \Psi}{\dd y} + q \dfrac{\dd \Psi}{\dd z} = 0$ \\
[x]271 &  5 en remontant  & \dito   intégralité &  intégrabilité \\
[x]277 &  6               & \dito   $\sum (x-x)^2$  & $\sum (x-x_0)^2$ \\
[x]277 &  4 en remontant  & \dito   $dC = \dfrac{dz_0}{2R_0}$  &  $dC = \dfrac{dz_0}{2R}$ \\
[x]278 &  6 en remontant  & \dito   du groupe des rayons &  du groupe des transformations par rayons\dots \\
[x]278 &  1 en remontant  & \dito   $-\dfrac{(x^2+y^2+z^2+R^2)}{4R^2 (e-\lambda)}$  &  $-\dfrac{(x^2+y^2+z^2+R^2)^2}{4R^2 (e-\lambda)}$ \\
[x]284 &  11 en remontant &  \dito   $(H)$  &  (4) \\
[x]285 &  Figure          & [Illustration] &  [Illustration] \\
[x]286 &  7               & \dito   $\sin^2 \theta [$  &  $\sin^4 \theta [$ \\
[x]287 &  8 en remontant  & \dito   $= -\dfrac{1}{2}$.  &  $= \dfrac{1}{2}$. \\
[x]288 &  9 en remontant  & \dito   $\Psi_1 + \cos i \Psi = 0$  &  $\Psi_1 = 0$ \\
[x]289 &  6 en remontant  & \dito   $\sum df · dl$.  &  $-\sum df · dl$. \\
[x]293 &  4 en remontant  & \dito   $('\sigma) (\sigma)$  & $(\sigma) (\sigma')$ \\
[x]296 &  13              & \dito   $w^2 \dfrac{\dd c'}{\dd u}$  &  $w^2 \dfrac{\dd C' }{\dd u}]$
\end{tabular}
\fi


%%%% LICENSE %%%%
\backmatter
\pagenumbering{Alph}
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{License.}{License}
\fancyhead[C]{LICENSE}
\SetPageNumbers

\begin{PGtext}
End of Project Gutenberg's Leçons de Géométrie Supérieure, by Ernest Vessiot

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or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
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- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from
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     owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he
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     returns.  Royalty payments should be clearly marked as such and
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     destroy all copies of the works possessed in a physical medium
     and discontinue all use of and all access to other copies of
     Project Gutenberg-tm works.

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     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
     electronic work is discovered and reported to you within 90 days
     of receipt of the work.

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     distribution of Project Gutenberg-tm works.

1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
electronic work or group of works on different terms than are set
forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
Foundation as set forth in Section 3 below.

1.F.

1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
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works, and the medium on which they may be stored, may contain
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property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a
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LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
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receive the work electronically in lieu of a refund.  If the second copy
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opportunities to fix the problem.

1.F.4.  Except for the limited right of replacement or refund set forth
in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.

1.F.5.  Some states do not allow disclaimers of certain implied
warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages.
If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the
law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be
interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
the applicable state law.  The invalidity or unenforceability of any
provision of this agreement shall not void the remaining provisions.

1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the
trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
with this agreement, and any volunteers associated with the production,
promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of Project Gutenberg's Leçons de Géométrie Supérieure, by Ernest Vessiot
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LEÇONS DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE ***
%                                                                         %
% ***** This file should be named 35052-t.tex or 35052-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/3/5/0/5/35052/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

###
@ControlwordReplace = (
  ['\\tableofcontents', ''],
  ['\\Preface', 'PREFACE.'],
  ['\\Primo', '1^o '],
  ['\\Secundo', '2^o '],
  ['\\Tertio', '3^o '],
  ['\\Quarto', '4^o '],
  ['\\Numero', 'N^o '],
  ['\\No', 'N^o '],
  ['\\no', 'N^o '],
  ['\\begin{Exercises}', ''],
  ['\\end{Exercises}', '']
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@ControlwordArguments = (
  ['\\SetHead', 1, 0, '', ''],
  ['\\ExSection', 1, 0, 'EXERCICES.', ''],
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  );
###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6)  24 JAN 2011 05:33
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**35052-t.tex
(./35052-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
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Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
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File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
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Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen104
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*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/tools/calc.sty
Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
\calc@Acount=\count91
\calc@Bcount=\count92
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LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75.
LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
\calc@Ccount=\count93
\calc@Cskip=\skip45
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Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip46
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen107
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Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen108
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Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count94
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count95
\leftroot@=\count96
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count97
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LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
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LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
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LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
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LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty
Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
\symrsfs=\mathgroup6
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Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
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Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
\col@sep=\dimen116
\extrarowheight=\dimen117
\NC@list=\toks21
\extratabsurround=\skip49
\backup@length=\skip50
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Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
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\KV@toks@=\toks22
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count106
))
\Gin@req@height=\dimen118
\Gin@req@width=\dimen119
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
\wrapoverhang=\dimen120
\WF@size=\dimen121
\c@WF@wrappedlines=\count107
\WF@box=\box28
\WF@everypar=\toks23
Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip51
\f@ncyO@elh=\skip52
\f@ncyO@erh=\skip53
\f@ncyO@olh=\skip54
\f@ncyO@orh=\skip55
\f@ncyO@elf=\skip56
\f@ncyO@erf=\skip57
\f@ncyO@olf=\skip58
\f@ncyO@orf=\skip59
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
\Gm@cnth=\count108
\Gm@cntv=\count109
\c@Gm@tempcnt=\count110
\Gm@bindingoffset=\dimen122
\Gm@wd@mp=\dimen123
\Gm@odd@mp=\dimen124
\Gm@even@mp=\dimen125
\Gm@dimlist=\toks24
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen126
\Hy@linkcounter=\count111
\Hy@pagecounter=\count112
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count113
\Field@Width=\dimen127
\Fld@charsize=\dimen128
\Choice@toks=\toks25
\Field@toks=\toks26
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count114
\c@Item=\count115
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count116
)
\TmpLen=\skip60
(./35052-t.aux)
\openout1 = `35052-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 471.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 471.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 471.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 471.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 471.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 471.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 471.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 471.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 471.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 471.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 471.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 471.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 471.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 471.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 471.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 471.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count117
\scratchdimen=\dimen129
\scratchbox=\box29
\nofMPsegments=\count118
\nofMParguments=\count119
\everyMPshowfont=\toks27
\MPscratchCnt=\count120
\MPscratchDim=\dimen130
\MPnumerator=\count121
\everyMPtoPDFconversion=\toks28
)
-------------------- Geometry parameters
paper: a4paper
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 77.11816pt, 404.71243pt, 115.67728pt
v-parts: 63.39273pt, 686.56499pt, 95.08913pt
hmarginratio: 2:3
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: --
includefoot: --
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  597.50787pt
\paperheight 845.04684pt
\textwidth  404.71243pt
\textheight 686.56499pt
\oddsidemargin  4.84818pt
\evensidemargin 43.40729pt
\topmargin  -40.75105pt
\headheight 15.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 81.30374pt
\marginparsep   24.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 471.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count122
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 471.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 471.
(./35052-t.out) (./35052-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `35052-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 483.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 507.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 507.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+rsfs on input line 507.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd
File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmss on input line 550.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmss.fd
File: t1cmss.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
) [1


] [2


] (./35052-t.toc [3] [4])
\tf@toc=\write4
\openout4 = `35052-t.toc'.

[5] [6

] [7] [8

] [1

] [2] [3] <./images/012a.pdf, id=680, 150.5625pt x 155.58125pt>
File: ./images/012a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/012a.pdf> [4 <./images/012a.pdf>] [5] <./images/015a.pdf, id=708,
 232.87pt x 287.0725pt>
File: ./images/015a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/015a.pdf> [6]
Underfull \hbox (badness 6825) in paragraph at lines 1250--1257
[]\T1/cmr/m/n/12 La consi-dé-ra-tion des for-
 []


Underfull \hbox (badness 1057) in paragraph at lines 1250--1257
\T1/cmr/m/n/12 mules $\OT1/cmr/m/n/12 (7)$ \T1/cmr/m/n/12 prises deux à deux
 []


Underfull \hbox (badness 1127) in paragraph at lines 1250--1257
\T1/cmr/m/n/12 montre que sur le plan rec-ti-
 []


Underfull \hbox (badness 1087) in paragraph at lines 1250--1257
\T1/cmr/m/n/12 fiant $\OT1/cmr/m/n/12 (XZ)$ \T1/cmr/m/n/12 la pro-jec-tion a au

 []

[7 <./images/015a.pdf>] [8]
Overfull \hbox (0.80162pt too wide) in paragraph at lines 1438--1438
[] 
 []

[9] [10] [11] [12] [13] <./images/024a.pdf, id=771, 134.5025pt x 92.345pt>
File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/024a.pdf>
File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/024a.pdf>
File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/024a.pdf>
File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/024a.pdf>
File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/024a.pdf>
File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/024a.pdf>
File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/024a.pdf>
File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/024a.pdf> [14 <./images/024a.pdf>] [15] [16] [17

] [18] [19] [20] [21] [22]
Overfull \hbox (0.78564pt too wide) detected at line 2284
\OT1/cmr/m/n/12 E[] = [] \OML/cmm/m/it/12 ;  \OT1/cmr/m/n/12 F[] = [] \OML/cmm/
m/it/12 ;  \OT1/cmr/m/n/12 G[] = [] \OML/cmm/m/it/12 :
 []

[23] <./images/036a.pdf, id=848, 197.73875pt x 139.52126pt>
File: ./images/036a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/036a.pdf> [24 <./images/036a.pdf>] [25]
Overfull \hbox (11.09929pt too wide) detected at line 2529
[]
 []

[26] [27] [28] <./images/041a.pdf, id=896, 178.6675pt x 162.6075pt>
File: ./images/041a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/041a.pdf> [29

 <./images/041a.pdf>] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [4
1] [42] <./images/060a.pdf, id=977, 161.60374pt x 231.86626pt>
File: ./images/060a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/060a.pdf> [43 <./images/060a.pdf>] <./images/062a.pdf, id=993, 16
2.6075pt x 196.735pt>
File: ./images/062a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/062a.pdf>
Underfull \hbox (badness 1924) in paragraph at lines 3656--3667
\T1/cmr/m/n/12 à $\OT1/cmr/m/n/12 (C)$\T1/cmr/m/n/12 . Sur chaque courbe $\OT1/
cmr/m/n/12 (K)$ \T1/cmr/m/n/12 por-tons à
 []


Underfull \hbox (badness 4108) in paragraph at lines 3656--3667
\T1/cmr/m/n/12 par-tir du point $\OT1/cmr/m/n/12 M$ \T1/cmr/m/n/12 où elle ren-
contre la
 []

[44 <./images/062a.pdf>] [45] [46] [47] [48] [49] [50

] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] <./images/083a.pdf, id
=1110, 252.945pt x 171.64125pt>
File: ./images/083a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/083a.pdf> [62 <./images/083a.pdf>] [63] <./images/085a.pdf, id=11
29, 400.49625pt x 152.57pt>
File: ./images/085a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/085a.pdf> [64 <./images/085a.pdf>] <./images/086a.pdf, id=1148, 1
72.645pt x 150.5625pt>
File: ./images/086a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/086a.pdf> <./images/086b.pdf, id=1149, 170.6375pt x 127.47626pt>
File: ./images/086b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/086b.pdf> [65 <./images/086a.pdf> <./images/086b.pdf>] [66] <./im
ages/088a.pdf, id=1182, 144.54pt x 88.33pt>
File: ./images/088a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/088a.pdf> [67

 <./images/088a.pdf>] [68] <./images/092a.pdf, id=1206, 148.555pt x 125.46875pt
>
File: ./images/092a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/092a.pdf> [69] <./images/093a.pdf, id=1216, 198.7425pt x 196.735p
t>
File: ./images/093a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/093a.pdf> [70 <./images/092a.pdf>]
Underfull \hbox (badness 2689) in paragraph at lines 5333--5339
[]\T1/cmr/m/n/12 Considérons deux so-lu-tions $\OML/cmm/m/it/12 ^^_; ^^_[]$ \T1
/cmr/m/n/12 de
 []


Underfull \hbox (badness 1430) in paragraph at lines 5333--5339
\T1/cmr/m/n/12 l'équa-tion $\OT1/cmr/m/n/12 (1)$\T1/cmr/m/n/12 , la dif-fé-renc
e $\OML/cmm/m/it/12 ^^_ \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ \OML/cmm/m/it/12 ^^_[]$ \T1/cmr/m/
n/12 est
 []

<./images/094a.pdf, id=1234, 192.72pt x 159.59625pt>
File: ./images/094a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/094a.pdf>
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5370--5371

 []

[71 <./images/093a.pdf>]
Overfull \hbox (0.2183pt too wide) detected at line 5394
\OML/cmm/m/it/12 dx \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 u dl \OT1/cmr/m/n/12 = 0
\OML/cmm/m/it/12 ;  dy \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 u dm \OT1/cmr/m/n/12 
= 0\OML/cmm/m/it/12 ;  dz \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 u dn \OT1/cmr/m/n/
12 = 0;
 []

[72 <./images/094a.pdf>] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] <./images/105a.pdf,
 id=1301, 190.7125pt x 82.3075pt>
File: ./images/105a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/105a.pdf> [80 <./images/105a.pdf>] [81] <./images/109a.pdf, id=13
22, 196.735pt x 174.6525pt>
File: ./images/109a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/109a.pdf> [82 <./images/109a.pdf>] [83] [84] [85] [86] [87] [88] 
[89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99

] [100] [101] [102] [103] <./images/138a.pdf, id=1463, 197.73875pt x 106.3975pt
>
File: ./images/138a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/138a.pdf> [104]
Underfull \hbox (badness 4353) in paragraph at lines 7656--7669
[][]\T1/cmr/m/n/12 Nous avons ainsi une des fa-milles
 []


Underfull \hbox (badness 2318) in paragraph at lines 7656--7669
\T1/cmr/m/n/12 de dé-ve-lop-pables. Consi-dé-rons alors les
 []

[105 <./images/138a.pdf>] <./images/140a.pdf, id=1483, 277.035pt x 145.54375pt>
File: ./images/140a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/140a.pdf> <./images/141a.pdf, id=1484, 269.005pt x 138.5175pt>
File: ./images/141a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/141a.pdf> [106 <./images/140a.pdf> <./images/141a.pdf>] [107] [10
8] [109] <./images/146a.pdf, id=1525, 190.7125pt x 213.79875pt>
File: ./images/146a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/146a.pdf> [110 <./images/146a.pdf>] [111] <./images/151a.pdf, id=
1546, 212.795pt x 163.61125pt>
File: ./images/151a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/151a.pdf> <./images/151b.pdf, id=1547, 304.13625pt x 153.57375pt>
File: ./images/151b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/151b.pdf> [112] [113 <./images/151a.pdf> <./images/151b.pdf>] <./
images/153a.pdf, id=1583, 166.6225pt x 147.55125pt>
File: ./images/153a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/153a.pdf> [114 <./images/153a.pdf>] [115] [116] <./images/158a.pd
f, id=1608, 118.4425pt x 218.8175pt>
File: ./images/158a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/158a.pdf> [117

 <./images/158a.pdf>] [118] <./images/162a.pdf, id=1635, 157.58875pt x 215.8062
4pt>
File: ./images/162a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/162a.pdf> <./images/163a.pdf, id=1636, 190.7125pt x 117.43875pt>
File: ./images/163a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/163a.pdf> [119] [120 <./images/162a.pdf> <./images/163a.pdf>] <./
images/164a.pdf, id=1665, 109.40875pt x 108.405pt>
File: ./images/164a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/164a.pdf> [121 <./images/164a.pdf>] [122] <./images/169a.pdf, id=
1687, 164.615pt x 137.51375pt>
File: ./images/169a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/169a.pdf> [123 <./images/169a.pdf>] <./images/170a.pdf, id=1707, 
147.55125pt x 149.55875pt>
File: ./images/170a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/170a.pdf> [124 <./images/170a.pdf>] <./images/171a.pdf, id=1724, 
142.5325pt x 112.42pt>
File: ./images/171a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/171a.pdf> [125 <./images/171a.pdf>] <./images/173a.pdf, id=1740, 
115.43124pt x 114.4275pt>
File: ./images/173a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/173a.pdf> [126 <./images/173a.pdf>] <./images/175a.pdf, id=1753, 
186.6975pt x 96.36pt>
File: ./images/175a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/175a.pdf> [127 <./images/175a.pdf>] <./images/176a.pdf, id=1767, 
205.76875pt x 148.555pt>
File: ./images/176a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/176a.pdf>
Underfull \hbox (badness 1248) in paragraph at lines 9220--9222
\T1/cmr/m/n/12 va-riables sont $\OML/cmm/m/it/12 s$ \T1/cmr/m/n/12 et $\OML/cmm
/m/it/12 '$\T1/cmr/m/n/12 . Écri-vons que
 []

[128 <./images/176a.pdf>] [129] <./images/180a.pdf, id=1791, 155.58125pt x 146.
5475pt>
File: ./images/180a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/180a.pdf> [130 <./images/180a.pdf>] <./images/181a.pdf, id=1802, 
176.66pt x 160.6pt>
File: ./images/181a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/181a.pdf> [131 <./images/181a.pdf>] [132] <./images/183a.pdf, id=
1823, 190.7125pt x 135.50626pt>
File: ./images/183a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/183a.pdf> <./images/184a.pdf, id=1824, 116.435pt x 139.52126pt>
File: ./images/184a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/184a.pdf> [133 <./images/183a.pdf>] [134 <./images/184a.pdf>] [13
5] [136] [137] [138

]
Overfull \hbox (2.88942pt too wide) in paragraph at lines 9815--9818
[]\T1/cmr/m/n/12 Il est na-tu-rel alors d'em-ployer des co-or-don-nées ho-mo-gè
nes. Soient $\OT1/cmr/m/n/12 M(\OML/cmm/m/it/12 x; y; z; t\OT1/cmr/m/n/12 )$
 []

[139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] <./images/203a.pdf,
 id=1943, 170.6375pt x 153.57375pt>
File: ./images/203a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/203a.pdf> [149] [150 <./images/203a.pdf>] [151] [152] [153] [154]
<./images/210a.pdf, id=1993, 193.72375pt x 212.795pt>
File: ./images/210a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/210a.pdf> <./images/210b.pdf, id=1994, 114.4275pt x 168.63pt>
File: ./images/210b.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/210b.pdf> [155

 <./images/210a.pdf>]
Underfull \hbox (badness 1565) in paragraph at lines 10954--10957
\T1/cmr/m/n/12 il suf-fit qu'il existe une re-la-tion entre les pa-ra-
 []

[156 <./images/210b.pdf>] [157] [158] <./images/217a.pdf, id=2043, 138.5175pt x
 122.4575pt>
File: ./images/217a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/217a.pdf> [159 <./images/217a.pdf>] [160] [161] [162] [163] [164]
[165] [166] [167

] [168]
Overfull \hbox (3.12169pt too wide) in paragraph at lines 11862--11864
[]\T1/cmr/m/n/12 Corrélativement, dé-fi-nis-sons la droite par deux plans $\OT1
/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u; v; w; s\OT1/cmr/m/n/12 )$\T1/cmr/m/n/12 , $\OT
1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u[]; v[]; w[]; s[]\OT1/cmr/m/n/12 )$\T1/cmr/m/n/
12 .
 []

[169] [170] [171] [172] <./images/237a.pdf, id=2133, 127.47626pt x 95.35625pt>
File: ./images/237a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/237a.pdf> [173 <./images/237a.pdf>] [174] [175] [176] [177] [178]
[179] [180] [181] [182] [183] [184] [185

] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] <./images/266a.pdf, id=2254, 154.57
75pt x 121.45375pt>
File: ./images/266a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/266a.pdf> [193 <./images/266a.pdf>] [194] [195] [196] [197] [198]
[199

] [200] [201] [202] [203]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[204] [205] [206] <./images/289a.pdf, id=2352, 239.89626pt x 112.42pt>
File: ./images/289a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/289a.pdf> [207

]
Underfull \hbox (badness 3343) in paragraph at lines 14343--14363
\T1/cmr/m/n/12 face $\OT1/cmr/m/n/12 (S)$ \T1/cmr/m/n/12 deux di-rec-tions $\OM
L/cmm/m/it/12 !l; !l[]$\T1/cmr/m/n/12 ;
 []


Underfull \hbox (badness 1454) in paragraph at lines 14343--14363
\T1/cmr/m/n/12 tions $\OT1/cmr/m/n/12 (2)$\T1/cmr/m/n/12 , ou en-core, puisque 
les
 []

<./images/291a.pdf, id=2366, 173.64874pt x 167.62625pt>
File: ./images/291a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/291a.pdf> [208 <./images/289a.pdf> <./images/291a.pdf>] [209] <./
images/293a.pdf, id=2396, 153.57375pt x 152.57pt>
File: ./images/293a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/293a.pdf> [210 <./images/293a.pdf>] [211] [212] [213] [214] <./im
ages/300a.pdf, id=2432, 158.5925pt x 160.6pt>
File: ./images/300a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/300a.pdf> [215] [216 <./images/300a.pdf>] <./images/302a.pdf, id=
2455, 127.47626pt x 123.46124pt>
File: ./images/302a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/302a.pdf> [217 <./images/302a.pdf>] [218] <./images/306a.pdf, id=
2479, 168.63pt x 121.45375pt>
File: ./images/306a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/306a.pdf> [219] [220 <./images/306a.pdf>] [221]
Underfull \hbox (badness 4595) in paragraph at lines 15301--15304
\T1/cmr/m/n/12 Multiplions la deuxième ligne par $\OMS/cmsy/m/n/12 ^^@[] []$\T1
/cmr/m/n/12 , la troi-sième par
 []

[222] [223] [224] [225] [226] [227] [228]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[1

]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[2]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[3]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[4]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[5] [6] (./35052-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
mathrsfs.sty    1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
   array.sty    2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
 wrapfig.sty    2003/01/31  v 3.6
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
supp-pdf.tex
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 35052-t.out
 35052-t.out
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
   ursfs.fd    1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
  t1cmss.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
./images/012a.pdf
./images/015a.pdf
./images/024a.pdf
./images/024a.pdf
./images/024a.pdf
./images/024a.pdf
./images/024a.pdf
./images/024a.pdf
./images/024a.pdf
./images/024a.pdf
./images/036a.pdf
./images/041a.pdf
./images/060a.pdf
./images/062a.pdf
./images/083a.pdf
./images/085a.pdf
./images/086a.pdf
./images/086b.pdf
./images/088a.pdf
./images/092a.pdf
./images/093a.pdf
./images/094a.pdf
./images/105a.pdf
./images/109a.pdf
./images/138a.pdf
./images/140a.pdf
./images/141a.pdf
./images/146a.pdf
./images/151a.pdf
./images/151b.pdf
./images/153a.pdf
./images/158a.pdf
./images/162a.pdf
./images/163a.pdf
./images/164a.pdf
./images/169a.pdf
./images/170a.pdf
./images/171a.pdf
./images/173a.pdf
./images/175a.pdf
./images/176a.pdf
./images/180a.pdf
./images/181a.pdf
./images/183a.pdf
./images/184a.pdf
./images/203a.pdf
./images/210a.pdf
./images/210b.pdf
./images/217a.pdf
./images/237a.pdf
./images/266a.pdf
./images/289a.pdf
./images/291a.pdf
./images/293a.pdf
./images/300a.pdf
./images/302a.pdf
./images/306a.pdf
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 6577 strings out of 94074
 84450 string characters out of 1165154
 144370 words of memory out of 1500000
 8896 multiletter control sequences out of 10000+50000
 35335 words of font info for 85 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 26i,20n,43p,258b,496s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texm
f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type
1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.p
fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/b
luesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb
></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-t
exlive/fonts/type1/hoekwater/rsfs/rsfs10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publ
ic/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440
.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2074.pfb></usr/share/tex
mf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publi
c/cm-super/sfcc1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1200.
pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/texm
f/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public
/cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.p
fb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1728.pfb></usr/share/texmf
/fonts/type1/public/cm-super/sfsx0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/
cm-super/sfsx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfsx1095.pf
b></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0800.pfb></usr/share/texmf/
fonts/type1/public/cm-super/sfti1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/c
m-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sftt0900.pfb
>
Output written on 35052-t.pdf (244 pages, 1758171 bytes).
PDF statistics:
 2834 PDF objects out of 2984 (max. 8388607)
 783 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 1211 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

